2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题1.若，则z的虚部是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗，故z的虚部是1.故选：B.2.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设，所以.故选：D.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三视图知：几何体是将底面半径为1、高为2的圆柱体去掉四分之一所得，所以，几何体体积是圆柱体的，即.故选：C.4.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以由正弦定理得，即，因，故或（舍）所以，由得，故选：D.5.已知是奇函数，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由题设，则，而满足题设.所以.故选：C6.正六边形的边长是2，则（）A. B. C. D.12〖答案〗D〖解析〗以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，故.故选：D7.设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则点A落在区域内的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗表示圆心为原点，半径为2的圆以及内部，区域表示圆心为原点，半径为2和半径为1的圆环以及内部，所以概率为，故选：D.8.若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，甲乙抽到的主题都有6种，故甲乙抽到主题的组合有种，甲乙抽到相同主题的组合有6种，所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为.故选：A10.已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由题意，则，且，所以.故选：C11.已知实数x，y满足方程．则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，因为，当时取最小值，所以的最小值为.故选：D12.设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13.若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最小，，所以的最小值为.故〖答案〗为：14.若，，则__________．〖答案〗〖解析〗由题设.故〖答案〗为：15.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为__________．〖答案〗4〖解析〗因为在上，故，A到准线的距离为，故A到焦点F的距离为4.故〖答案〗为：4.16.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，满足，，，若平面ABC，则__________．〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以，又平面ABC，如图，以为长宽高作长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的直径，即，所以.故〖答案〗为：.三、解答题17.某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；（2）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．解：（1），，，；（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好18.记为数列的前n项和，已知．（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）依题意，，当时，，，当时，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知时，，时，当时，当时，所以.19.如图所示，AB为圆O的直径，平面ABC，Q在线段PA上．（1）求证：平面平面ACQ；（2）若Q为靠近P的一个三等分点，，，求的值．（1）证明：由题知，∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ.（2）解：.20.设函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵∴，，，∴切线方程为：.（2），①当时，，R上单调递增；②当时，，负0正减极小值增综上所述：时，的单调递增区间为R；时，的单调递减区间为，单调递增区间.（3），令，即，.①时，，单调递增，，故不成立，舍去.②时，恒成立，此时.③时，由（2）知，，故只需即可，，即.综上所述：21.已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线l过定点．（1）解：由题设，则，所以抛物线方程为.（2）证明：令l：，，，联立得：，则，，，解得或，由得：，故，∴l：过定点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）写出的直角坐标方程；（2）若与只有一个公共点，写出的直角坐标方程．（1）解：在等式两边同时乘以可得，化为普通方程可得，即，又因为，故曲线表示圆的上半圆，因此，曲线的直角坐标方程为.（2）解：由题意可知，曲线是过点且倾斜角为的直线，由图可知，当与只有一个公共点，直线与曲线相切，且直线的斜率存在，设直线的方程为，且，即，由题意可得，解得，因此，的直角坐标方程为.［选修4-5：不等式选讲］23.已知．（1）画出的图像，并写出的最小值；（2）求与直线围成的封闭图形面积．解：（1），画出的图象如图所示：由图可得函数的最小值为2.（2）令，可得，或，或，解得或.由图可知与直线围成的封闭图形为，其中，所以内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题1.若，则z的虚部是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗，故z的虚部是1.故选：B.2.设集合，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设，所以.故选：D.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三视图知：几何体是将底面半径为1、高为2的圆柱体去掉四分之一所得，所以，几何体体积是圆柱体的，即.故选：C.4.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以由正弦定理得，即，因，故或（舍）所以，由得，故选：D.5.已知是奇函数，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由题设，则，而满足题设.所以.故选：C6.正六边形的边长是2，则（）A. B. C. D.12〖答案〗D〖解析〗以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则，故.故选：D7.设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则点A落在区域内的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗表示圆心为原点，半径为2的圆以及内部，区域表示圆心为原点，半径为2和半径为1的圆环以及内部，所以概率为，故选：D.8.若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，甲乙抽到的主题都有6种，故甲乙抽到主题的组合有种，甲乙抽到相同主题的组合有6种，所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为.故选：A10.已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由题意，则，且，所以.故选：C11.已知实数x，y满足方程．则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，则，因为，当时取最小值，所以的最小值为.故选：D12.设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13.若x，y满足约束条件，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最小，，所以的最小值为.故〖答案〗为：14.若，，则__________．〖答案〗〖解析〗由题设.故〖答案〗为：15.已知点在抛物线C：上，则A到焦点F的距离为__________．〖答案〗4〖解析〗因为在上，故，A到准线的距离为，故A到焦点F的距离为4.故〖答案〗为：4.16.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，满足，，，若平面ABC，则__________．〖答案〗〖解析〗由，，，得，所以，又平面ABC，如图，以为长宽高作长方体，则长方体的体对角线即为三棱锥的直径，即，所以.故〖答案〗为：.三、解答题17.某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高120分，最低0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）如下甲校：96，112，97，108，100，103，86，98；乙校：108，101，94，105，96，93，97，106；（1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；（2）根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．解：（1），，，；（2）甲乙的平均数相同，但是甲的方差大，数据波动就大，乙的方差小，数据相对集中，所以乙的人民满意度比较好18.记为数列的前n项和，已知．（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）依题意，，当时，，，当时，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知时，，时，当时，当时，所以.19.如图所示，AB为圆O的直径，平面ABC，Q在线段PA上．（1）求证：平面平面ACQ；（2）若Q为靠近P的一个三等分点，，，求的值．（1）证明：由题知，∵平面ABC，平面ABC，∴，又∵，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；又∵平面BCQ，∴平面平面ACQ.（2）解：.20.设函数，．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵∴，，，∴切线方程为：.（2），①当时，，R上单调递增；②当时，，负0正减极小值增综上所述：时，的单调递增区间为R；时，的单调递减区间为，单调递增区间.（3），令，即，.①时，，单调递增，，故不成立，舍去.②时，恒成立，此时.③时，由（2）知，，故只需即可，，即.综上所述：21.已知抛物线C：焦点为，直线l与抛物线C交于，两点，且，（O为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线l过定点．（1）解：由题设，则，所以抛物线方程为.（2）证明：令l：，，，联立得：，则，，，解得或，由得：，故，∴l：过定点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程］22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）写出的直角坐标方程；（2）若