2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）1.已知直线2x−y+1=0与直线x+my+2=0垂直，则m=______．2.已知函数f(x)=2x2+1，则limx→03.2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师相邻，则不同排法的种数为______．4.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=2a2，P(X=1)=a，那么a=______．5.双曲线C：49mx2−16m6.投掷一颗骰子，记事件A={2,4,5}，B={1,2,4,6}，则P(A|B)=______．7.已知点A(1,1)，F1是椭圆x28+y24=1的左焦点，8.已知圆C：x2+y2−6x=0，l1，l2是过原点且互相垂直的两条直线，若l1被C截得的弦长与l2被C截得的弦长的比为2：9.若m，n∈N∗，m≥3，n≥m+2，则Anm=A10.下列说法中正确的是______．

①设随机变量服X从二项分布B(6,12)，则p(x=3)=516；

②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9，则P(0<X<2)=0.4；

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=11.在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案(备选单词中有一个是多余的)，则4个空格全部选错的概率是______．12.如图，有一张较大的矩形纸片ABCD，O，O1分别为AB，CD的中点，点P在OO1上，|OP|=2.将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)经过P点，记AB上与P点重合的点为M，折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m，并与折痕l交于点Q，按上述方法多次折叠，Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N，则△PQN的面积的最小值为______．

二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13.某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C53C7A.P(ξ=2) B.P(ξ=3) C.P(ξ≤2) D.P(ξ≤3)14.已知二项式(1+2x)5，则(

)A.展开式中第3项与第4项的二项式系数相等

B.展开式中第三项为40x2

C.展开式所有项的系数和为32

15.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2A.−1 B.1 C.3 D.−1或316.设定义域为R的偶函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，若f′(x)+(x+1)2也为偶函数，且f(2a+4)>f(a2+1)，则实数A.(−∞,−1)∪(3,+∞) B.(−∞,−3)∪(1,+∞)

C.(−3,1) D.(−1,3)三、解答题（共78分）17.已知(x−1)(mx+1)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x18.已知函数f(x)=aex+sinx−2，且f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直．

(1)求a的值；

(2)当x≥0时，求f(x)的导函数f′(x)19.某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是45、34，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是23、12，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．

(1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目．

①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；

②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是20.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线上一点与右焦点F(2,0)的最短距离为2．

(1)求双曲线的方程；

(2)O为坐标原点，直线x=ty+2与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．

(ⅰ)求实数t的取值范围．

(ⅱ)设S121.已知函数f(x)=alnx−ax+1，a∈R．

(1)若经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(2,f(2))，求实数a的值；

(2)设g(x)=f(x)+12x2−1，若函数g(x)在区间(32,4)为严格递减函数时，求实数a的取值范围；

(3)对于(2)中的函数g(x)，若函数g(x)有两个极值点为x1，参考答案1.2

2.8

3.48

4.125.7x±4y=0

6.127.[38.±19.An−210.①②③④

11.5312012.813.B

14.AB

15.D

16.A

17.解：(1)在(x−1)(−x+1)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a8x8中，

取x=1，得0=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a818.解：(1)f(x)=aex+sinx−2，

则f′(x)=cosx+aex，

所以f′(0)=a+1

因为直线x+2y−1=0的斜率为−12，f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直．

所以(a+1)⋅(−12)=−1，解得a=1；

(2)令g(x)=f′(x)=cosx+ex(x≥0)．

19.解：(1)甲获得决赛资格的概率P1=45×34=35，乙获得决赛资格的概率P2=23×12=13，

X012P483所以E(X)=0×415+1×815+2×315=1415；

(2)设事件Ai=“甲取到i道选择题”，i=0，1，2；事件B=“乙取到第一题是选择题”，

由题意可知，P(A0)=C32C62=20.解：(1)设双曲线的焦距为2c，

此时c=2，

因为F(2,0)到直线bx−ay=0的距离为|2b|b2+a2=2，

所以b=2，

则a=c2−b2=2，

故双曲线的方程为x22−y22=1；

(2)(ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=ty+2x2−y2=2，消去x并整理得(t2−1)y2+4ty+2=0，

此时t2−1≠0Δ=8t2+8>0y1+y2=−4tt2−1y1⋅y2=2t2−1，

因为直线与双曲线右支交于两点，

所以y1y221.解：(1)已知f(x)=alnx−ax+1，函数定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=ax−a，

此时f′(2)=−a2，

因为经过点(2,f(2))的切线经过原点，

所以k=f(2)2=−a2，

即aln2−2a+12=−a2，

解得a=11−ln2；

(2)因为g(x)=f(x)+12x2−1=alnx+12x2−ax，函数定义域为(0,+∞)，

可得g′(x)=ax+x−a，

若函数g(x)在区间(32,4)为严格递减函数，

此时g′(x)=ax+x−a≤0在区间(32,4)上恒成立，

即a≥x2x−1在区间(32,4)上恒成立，

不妨设ℎ(x)=x2x−1，函数定义域为(32,4)，

可得ℎ′(x