实数与平面直角坐标系教材分析-王景

《实数》与《平面直角坐标系》

教材分析

燕山教研中心王景2014年2月

第6章实数

2011版——新课标第3版2002版——新课标第2版2001版——新课标第1版实数，你究竟应该在哪里？2011版——新课标第3版数及数的运算有理数、实数运算技能运算能力开平方约公元前500年约19世纪后期数的历史发展顺序小数在哪里？直到18世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成数系扩充的结构顺序数系扩充的结构顺序数的历史发展顺序教学的顺序？算术根、平方根、开平方有理数、无理数、实数想说爱你不容易引入一种新运算引入一种新数算术根、平方根、开平方有理数、无理数、实数形象、具体、尽可能地与学生已有经验建立联系引入一种新运算引入一种新数1．无理数同样是现实生活中逐渐形成和发展起来的2．知道除外还有些无理数3．承认某些数的开方是无理数4．刻画线段长度5．建立起“数轴上的点与实数一一对应”的感知6.无理数问题转化为有理数来研究7.加深有理数的理解一、课程标准二、教学建议数的研究1．运算对象的认识2．运算背景的认识3．运算法则4．运算应用实数本章教学时间约需8课时，具体分配如下：

6．1平方根

3课时

6．2

立方根

2课时

6．3实数2课时复习

1课时第一节算术平方根

学习目标1．理解算术平方根的有关概念。（三种表示，与乘方的关系，符号表示的各部分名称）2．能准确将算术平方根的文字语言和符号语言进行转换。3．会求一个平方数的算术平方根，并会表示。从运算角度给出算术根的定义问题1：怎么拼？问题2：求边长？两个变量且信息量极大从特殊入手：引发强烈认知冲突从特殊入手：对于正数x，若x2=2，那么正数x叫做2的算术平方根.2的算术平方根记作，读作“根号2”，2叫做被开方数.从特殊入手：对于正数x，若x2=2，那么正数x叫做2的算术平方根.2的算术平方根记作，读作“根号2”，2叫做被开方数.对于正数x，若x2=3……对于正数x，若x2=5……对于正数x，若x2=6……算术根与平方的关系从特殊到一般符号语言从一般到特殊文字语言符号语言文字语言符号语言运算顺序运算顺序回归定义文字语言符号语言文字语言符号语言用符号语言表示“4的算术根”负数没有算术根为什么a≥0为什么深入思考正数的算术根是正数0的算术根是02的算术平方根它还表示一个数带有运算符号的数算术平方根的定义算术根的增减性无限不循环小数估算计算器的作用100以内的算术根、立方根利用算术根的增减性进行估算很难啊!算术根重出江湖??拓展从特殊入手与算术根建立联系与算术根建立联系转化与类比多边形内角和与三角形内角和梯形中位线与三角形中位线利用算术根得出结论再梳理一下几个关键问题面积为2的正方形的边长形象直观意义非凡突出重点突破难点有理数:整数、分数有理数:有限小数、无限循环小数分数及分数形式勾股定理与无理数

回归定义同类二次根式的运算非同类二次根式的运算回归定义回归定义第七节复习课1．一个定义2.两个体系1．一个定义算术根2．两个体系——知识体系（1）两类数（2）六种运算（3）三个非负数2．两个体系——方法体系（1）从特殊到一般（2）类比（3）转化（4）分类（5）数形结合合情推理的两个重要方法理解概念的两个重要途径1.的理解与认知2.意义非凡的图形老师要知道的两件事面积为2的正方形的边长的几何意义直角三角形的边长的代数意义第13章实数教材分析的代数意义

在数轴上意义非凡的图形直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长是勾股定理的探究与证明猜测:直角三角形三边满足什么样的数量关系?等腰直角三角形三边满足什么样的数量关系?直角边长为1的等腰直角三角形三边满足什么样的数量关系?从特殊入手从特殊入手意义非凡的图形两个边长为1的小正方形拼成一个面积2的大正方形的边长，直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长是.两个边长为2的小正方形拼成一个面积8的大正方形的边长，直角边长为2的等腰直角三角形的斜边长是.两个边长为3的小正方形拼成一个面积18的大正方形的边长，直角边长为3的等腰直角三角形的斜边长是.两个边长为4的小正方形拼成一个面积32的大正方形的边长，直角边长为4的等腰直角三角形的斜边长是.……猜测:等腰直角三角形的三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方.猜测:直角三角形的三边满足两直角边的平方和等于斜边的平方.四个全等的等腰直角三角形，拼成一个正方形四个全等的直角三角形，拼成一个正方形意义非凡的图形第七章《平面直角坐标系》主要内容介绍对本章知识背景的思考本章主要内容及课时建议课程目标与中考要求教学思考一、对本章知识背景及地位的思考平面直角坐标系平面上的点←→有序实数对数轴直线上的点←→实数三维空间直角坐标系一维二维几何变换函数解析几何确定物体的位置几何（形）←→（数）代数数形结合类比学生认知角度知识体系角度发展思维角度有序数对一、对本章知识背景及地位的思考思想方法类比!直线平面确定平面两条相交直线两条平行直线特殊化一条数轴两条数轴将一维直线扩展到二维平面一维二维一、对本章知识背景及地位的思考思想方法数形结合!为什么还要与数轴联系起来？用数表示的优越性何在？

在数学科学中，由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题．用代数的方法来研究几何（描述点的位置、刻画点的变换）对应？一、对本章知识背景及地位的思考基于以上分析：1.呈现“怎样建立平面直角坐标系”？（形成过程）2.数形之间的相互转化优越性何在？3.这种转化不会出现歧义吗？（一一对应）最后，作为工具的使用。

就坐标系而言，除了“平面直角坐标系”外，还有“空间直角坐标系”、“平面极坐标系，“空间极坐标系”，“斜坐标系”，“球面坐标系”和“柱面坐标系”等。一、对本章知识背景及地位的思考

平面直角坐标系是解决数学问题的一个重要工具，利用它可以使很多数学问题变得直观、形象而简明；用坐标研究可以符号化、形式化，便于论证、推理，进而利用算法解决。二、本章的主要内容及课时建议主要内容一条数轴确定直线上点的位置确定平面内点的位置建立平面直角坐标系两条数轴垂直有公共原点变化到二维怎样理解纵坐标难点充分理解建系的必要性点坐标（有序数对）

P（x,y）重点

第一节①有序数对②平面直角坐标系

第二节③用坐标表示地理位置④用坐标表示平移平面直角坐标系的应用：解析法二、本章的主要内容及课时建议参考课时建议§7.1平面直角坐标系 …………3课时有序数对1课时平面直角坐标系1课时具有特殊位置的点的坐标特征1课时§7.2坐标方法的简单应用 …………4课时用坐标表示地理位置1课时用坐标表示平移1课时用坐标计算图形的面积1课时数学活动1课时小结…………2课时图形与坐标坐标与图形位置坐标与图形运动结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系在实际问题中，能建立适当的直角坐标系描述物体的位置在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置新课标要求三、课程目标与中考要求三、课程目标与中考要求本章学习目标1．结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。2．理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。体会引入有序数对的必要性体会点与坐标之间的对应性3．在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。体会建立坐标系的相对性本章学习目标5．在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。。三、课程目标与中考要求4．对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单的图形。体会数形结合的思想坐标与图形运动

2013中考要求2014中考要求认识并能画出平面直角坐标系；在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征认识并能画出平面直角坐标系；在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围（与方程和不等式结合）；会求点到坐标轴的距离；在同一直角坐标系中，会求图形变换后点的坐标能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围（与方程和不等式结合）；会求点到坐标轴的距离；在同一直角坐标系中，会求图形变换后点的坐标灵活运用不同的方式确定物体的位置灵活运用不同的方式确定物体在坐标平面内的位置中考考点基础与核心：是求图形上有关点的坐标问题的延伸：是综合类问题（坐标系中的动点、图形变换问题及函数）的基础观察归纳图形性质几何计算三、课程目标与中考要求教学方法③内容简单但可以通过再现知识的形成过程实现思想方法，留给学生充分探索的空间，着眼于培养学生的思维能力①紧密联系实际：从实际出发，立足于解决现实问题②准确把握教学要求，突出数形结合的思想④抓住时机，突出情感、态度、价值观教学目标四、教学思考1、密切结合生活实际，利用学生熟悉的素材体会位置的确定可以用有序数对来表示。引入时关注必要性，重点是体会表示平面内的点要用一对数。实例：国庆阅兵、航海、电影院座位、邮箱设置等四、教学思考有序数对的教学

通过实例让学生体会如下几点,为学习平面直角坐标系做好铺垫,防止一进入坐标系的学习就变成操作性的记忆:有序性相对性(找坐位等身边的问题易于学生理解,可为建系做铺垫)可度量性(前后两个数的绝对值可表示距离)可为突破坐标和距离转化这一难点做铺垫,并且能够更好地理解坐标原点如果用(1,1)表示,实际如第一排第一列作为参照点,(3,2)到第一排的距离2,而不是3和标记的单位不一致,涉及到计算)工具性四、教学思考2、前提：是要有对序的定义——以何为序？一种人为约定方式（符合实际、简洁直观）一种建系的法则为下一课时做好准备3、易错：对序的理解（与顺序有关）；位置不同，意义改变深入理解它也是一种对应关系点坐标（有序数对）

P（x,y）图形特别的：纵坐标与横坐标之间的对应形式多样：（方向，距离）（x，2x）二元一次方程的解四、教学思考四、教学思考一些参考资料小游戏：象棋对弈

中国象棋棋盘，横、列标上数字.分成若干小组，解说对弈回合.1、坐标系的引入：类比数轴（参照）

线上的点——面上的点一条直线——两条相交直线——两条垂直直线2、建系、描点、观察、总结（让学生充分探索）

——结合画法认识平面直角坐标系的有关概念由坐标描点，由点写坐标平面直角坐标系的教学四、教学思考3、点与坐标的对应如何解释？（几何依据）

点唯一，垂线唯一，交点唯一四、教学思考4、开放性探究点的坐标特征（探究结果分成两大部分）①一个点：坐标表示、符号特征、几何意义②两个或多个有特殊位置关系的点的坐标关系距离：分类引申：两点间距离

较好学生可以进一步研究：体会两条平行线间的距离二、四象限角分线点的坐标特征平面上横坐标相同的点形成的图形平面上某个区域的点的坐标特征等等

建议：结合习题中第5、8题，补充平行于x轴、y轴的直线特点及象限角平分线上点的坐标的特点。开放式探究5、数学史介绍易错点①画数轴时单位长度何时一致？②有序数对的意义不清③混淆点到x轴、y轴的距离与坐标的关系④数轴上点的坐标的负迁移（直角坐标系中两轴上的点）四、教学思考拓展：思考空间中的点如何确定？（三维）解决方案注意紧密结合图形，引导学生从图形上认识、理解进而掌握概念和规律，要求学生多画图、多观察，不要养成死背公式的习惯，更不能想当然注意举例时坐标类型尽量丰富，给学生全面的感受来帮助概念的认知，特别注意避免结合实际问题时点的坐标都出现在同一象限（尤其是第一象限）的情况四、教学思考【例题】距离多解问题到横轴距离为4，且到纵轴距离为5的点是___________错解:（一）（4，5）（二）考虑不全面只找到了（5，4）四、教学思考【例题】特殊图形已知两点坐标为（1，0）,（3，0）则能与这两点构成等腰直角三角形的第三点的坐标是_____________利用图形性质（平行四边形、中垂线、等腰三角形等）多解问题四、教学思考【例题】概念辨析与取值范围点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（）

A.第一象限内B.x轴负半轴上

C.x轴正半轴上D.y轴正半轴上错解：选A，因为点P（m，1）在第二象限内，所以m<0，从而-m>0，点Q（-m，0）在第一象限内；选D，因为纵坐标为0，所以Q在纵轴上。

如何纠错？落实概念教学四、教学思考四、教学思考用坐标表示地理位置的教学1、由图建系，由坐标建系（形与数）2、会根据实际情况选择明显或熟悉的地点为原点，按习惯选择向东、向北为横、纵轴的正方向，建立平面直角坐标系四、教学思考3、确定适当比例尺，从而确定坐标系中的单位长