2024届青海省西宁市大通县高三上学期开学摸底考试数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学试题（文）一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B．2.已知，，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故所对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.3.已知满足约束条件则目标函数最大值为（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗画出满足约束条件的平面区域，如图所示，易得直线与的交点，平移直线，当经过A时，目标函数取得最大值，即．故选：C．4.乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有个，其中恰为1黄1白基本事件有个，所以概率．故选：A．5.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且为第四象限角，，，，故选：C6.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．7.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.函数的图象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为R，又，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选:A．9.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于在上单调递增，故，即；由于在上单调递减且，故，即；由于在上单调递增，故，即；所以.故选：A.10.已知是等比数列的前项和，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，，又是等比数列，所以，即，解得，所以．当时，，又满足，所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以．故选：A.11.已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故选:D.12.已知直线与曲线相切，则最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，则，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：A.二、填空题13.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．故〖答案〗为：.15.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的〖解析〗式为_________．〖答案〗〖解析〗函数的图象向左平移个单位长度，可得，再向上平移4个单位长度，可得．故〖答案〗为：.16.某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．〖答案〗〖解析〗设加工成的圆柱的底面半径为，高为，轴截面如图，则，则加工后所得圆柱的体积，所以，可得当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值为.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015～2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．①参考数据：012390330②参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．解：（1）由图表数据可知：平均值为：，中位数为：．（2）由图表数据得：，则，所以线性回归方程，所以在2024年时，所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．18.记的内角的对边分别为，，.（1）求的面积；（2）若，求.解：（1），，即，，由正弦定理得：，即，，，则，.（2）由（1）知：；由正弦定理知：，则，，又，.19.如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．（1）证明：如图，取的中点，连接，是的中点，．又，，四边形是平行四边形，．又平面平面．平面．（2）解：连接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点．（1）求的方程；（2）若，过的直线与交于、两点，求证：．（1）解：设椭圆的方程为，将点、坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的端点，不妨设点，则点，则，，成立；若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，∴轴平分，∴．综上所述，．21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，，求证.（1）解：由题意，函数的定义域为，且，设方程，可得，①当时，即时，，所以在上单增；②当时，即时，设方程的两根为和，且，则，，且，①当时，可得，，所以在上单减，在上单增；②当时，可得，，所以在上单增，在上单减，在上单增.综上可得：①当时，在上单增；②当时，在上单减，在上单增；③当时，在和上单增，在上单减.（2）证明：由（1）可知，当时，函数存在两个极值点，，且满足，，又由，令，可得，所以在上单减，所以，即.（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为，.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值.解：（1）因为曲线的极坐标方程为，又，，所以，所以曲线的直角坐标方程为.因为曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）.把的参数方程代入，得，所以，设所对应的参数分别为，则，所以同号，所以.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式；（2）若的最小值为，且，求的最小值.解：（1）不等式等价于或或解得，故不等式的解集为.（2）因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以.因为，当且仅当等号成立，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为2.青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学试题（文）一、选择题1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以．故选：B．2.已知，，则在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故所对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.3.已知满足约束条件则目标函数最大值为（）A. B. C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗画出满足约束条件的平面区域，如图所示，易得直线与的交点，平移直线，当经过A时，目标函数取得最大值，即．故选：C．4.乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有个，其中恰为1黄1白基本事件有个，所以概率．故选：A．5.已知为第四象限角，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，且为第四象限角，，，，故选：C6.在等差数列中，，是方程的两个根，则的前23项的和为（）A. B. C.92 D.184〖答案〗C〖解析〗，是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选:C．7.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.函数的图象有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗函数的定义域为R，又，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；易知的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选:A．9.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于在上单调递增，故，即；由于在上单调递减且，故，即；由于在上单调递增，故，即；所以.故选：A.10.已知是等比数列的前项和，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，，，又是等比数列，所以，即，解得，所以．当时，，又满足，所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，所以．故选：A.11.已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（）A.5 B.-4 C.3 D.-3〖答案〗D〖解析〗由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，由于A在第一象限，所以，所以，所以.故选:D.12.已知直线与曲线相切，则最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设切点为，则，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：A.二、填空题13.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以，双曲线的离心率为.故〖答案〗为：.14.在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．〖答案〗〖解析〗因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．故〖答案〗为：.15.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的〖解析〗式为_________．〖答案〗〖解析〗函数的图象向左平移个单位长度，可得，再向上平移4个单位长度，可得．故〖答案〗为：.16.某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．〖答案〗〖解析〗设加工成的圆柱的底面半径为，高为，轴截面如图，则，则加工后所得圆柱的体积，所以，可得当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值为.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015～2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．①参考数据：012390330②参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．解：（1）由图表数据可知：平均值为：，中位数为：．（2）由图表数据得：，则，所以线性回归方程，所以在2024年时，所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．18.记的内角的对边分别为，，.（1）求的面积；（2）若，求.解：（1），，即，，由正弦定理得：，即，，，则，.（2）由（1）知：；由正弦定理知：，则，，又，.19.如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面；（2）求多面体的体积．（1）证明：如图，取的中点，连接，是的中点，．又，，四边形是平行四边形，．又平面平面．平面．（2）解：连接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．20.已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过、两点．（1）求的方程；（2）若，过的直线与交于、两点，求证：．（1）解：设椭圆的方程为，将点、坐标代入椭圆的方程可得，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的端点，不妨设点，则点，则，，成立；若直线不与轴重合，设直线的方程为，