高中数学必考-圆锥曲线中的定点和定值问题的解题策略

高中数学必考-圆锥曲线中的定点和定值问题的解题策略

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略（一）

在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成

为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的"变"中寻求定值的

"不变"性.

题型一：定值问题

解答圆锥曲线定值问题的策略：

1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是"方程铺路、参数搭桥"，解题的关键是对问

题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.

2,把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值,再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.

1、两点间的距离为定值

(2021・广东中山市高三期末)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为

22,1

£+a=1(［〉/,>0),则椭圆在其上一点/(x/)处的切线方程为g+g=l,

试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆C：

(

x2y2l(a>b>0)的离心率为也,且经过点4L咚

\2/

(1)求椭圆。的方程;

(2)设尸为椭圆。的右焦点，直线/与椭圆。相切于点尸(点尸在第一象限)，过

原点。作直线/的平行线与直线尸尸相交于点0,问：线段尸。的长是否为定值？

若是，求出定值；若不是，说明理由.

[e>/2

____

a2

a—y/2

(1)由题意知v-■+•^77=1=>

a2bb二l

a2=b2+c2

椭圆。的方程为y+./=l.

(2)设尸(1%,%),题意可知，切线/的方程为工0*+2.%了=2,

过原点O且与/平行的直线，的方程为方》+2.%"=0,

椭圆C的右焦点”1,0),

所以直线PF的方程为-1)y-尢=0,

联立桦一(/T—。=0,

lxox+2yoy=O

(2\

妪亘_3为定值.

±±2x211-

(2-x0)1(2-%)2

解题思路：设动点尸（吃,%），由题意可知，切线/的方程为/x+2%y=2,过原

点。且与/平行的直线，的方程为%％+2%.旷=0,求出。的坐标，表示出。。的

长，再化简即可.

2、求某一代数式为定值

(2021•全国高三模拟)己知双曲线C:4=1(。>0,6>0)的左顶点为4,

ab~

右焦点为尸，离心率e=2,焦距为4.

(1)求双曲线。的方程；

(2)设M是双曲线。上任意一点，且河在第一象限，直线与10的倾斜角

分别为4,%,求2囚+%的值.

2c=4

\ra—\

(1)由｛c，得｛_G，所以62=。2-々2=3,

——2[c=2

2

所以双曲线C的方程为W—二=1.

3

(2)由(1)知双曲线C的方程为f-匕=1,

3

所以左顶点力右焦点尸(2,0).

设构%,％)(%>0,%>0),则X；-£=1.

当=2时，及)=3,此时6以=1,,(x2--

所以2%+%=兀；

00

当X。W2,=tanax=',k城=tana2='.

xn+1xn-2

因为y；=3（君一i）,

2M

%+12(%+1)州2(.%+1).1,0=

所以tan2%==

Jo(%+1)2-y；(%+1)2-3(*-1)%-2

又由点V在第一象限，易知名中《），a,e（O,Ji）,

所以2?+a2=兀.

综上，2%+a2的值为兀.

解题思路：利用点在双曲线上，满足1,利用整体代换思想求出tan2%和

tan%相反.

3、求某一个量为定值

22

（2021•江苏盐城市伍佑中学高三期末）己知椭圆c:1+二=＞。＞0）离心率

ab~

2

为g,点、A,B,D,£分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形4。麻•的面积

为6节.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）己知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线4P,BQ

的交点为了，求证：点7■横坐标为定值.

（1）设椭圆C的半焦距长为C,根据题意<；-20-25=66，解得

c2=a2-b2卜=2

r2v2

故C的标准方程为三+2=1.

95

（2）由（1）知力（-3,0）,5（3,0）,尸（2,0）,

设丁（豌,%,）,尸（项,必），。（吃,必），

由&1=及惟=>=:一①，

x0+3Xj+3

%_%

,②

①②两式相除得官;言

又泊“哈t

所以（$3）（3+3）=_宜,故Vi5X]—3

95玉+39乂

x-3_y/一3_5a-3)(X-3)

所以0x2③

%+3演+3y29乂%

由题意知直线尸。不平行于x轴，由于直线尸。经过F点,

所以设直线尸。的方程为X=〃少+2,

（直线尸。的方程为x=7”+2,可避免讨论直线产。的斜率是否存在，简化计算,

提高正确率）

22

代入］Y+（=1整理，得（5/+9）y2+20niy-25=0,

20〃/

V.+V,=-5——

-5〃/+9

把《代入③,

25

所以

〃,M3-〃（4+%）+1

工0-3「一5al-3肌-3）,5（〃沙1—1）（〃丛—1）=5

%+39yxy29.%必—9

225、/—20/7/x

7〃Z（---5-）―〃?（一S-）+11

Xn—355〃/+9，5/+9，1

所以

255

-5m2+9

解得/=；9.

9

所以点,横坐标为定值嗟

解题思路：设丁（工0，%,）,夕（再,“），0（孙必），根据电=%,&B=%B可得

/一3_必当—3

,根据P（*i，M）在椭圆C上，代入方程化简整理可得

%+3再+3y2

x-3_马3_5(Xj-3)(X-3)

02设直线尸。的方程为x=〃V+2,与椭

%+3须+3%9乂%

圆C联立，得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理，可得.％+必，,J2的表

达式，代入上式即可.

22

例8、（2021•湖北武汉市高,三月考）已知椭圆C：=r+与V=1（。>5>0）的左右

a~

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略（二）

在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成

为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的"变"中寻求定值的

"不变"性.

题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题

解答圆锥曲线的定点问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，

即确定题目中核心变量(通常为变量后)；②利用条件找到左过定点的曲线厂(x,y)=O之

间的关系，得到关于〃与修'的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标;

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

1、直线过定点问题

Y2V2

(2020•江西吉安市高三其他模拟(理))已知椭圆。:彳+多■=1(〃>6〉0)经过

1、

点尸­,且罔心率e石

2)T

(1)求椭圆C的方程;

(2)己知斜率存在的直线/与椭圆相交于4,8两点，点。［竽,0总满足

ZAQO=ABQO,证明：直线/过定点.

(1)因为椭圆。：］+，=1(。>5〉0)的离心率9=9.

所以/=>「=*］，即/=4/,

又椭圆C:5+。-=1(a>/>>0)经过点尸收;］，

cTb,\2y

代入椭圆方程可得了3+京=1,

___I____-1

联立方程组可得。24b2,解得〃=4,〃=1.

a2=4b2

丫2

所以椭圆。的方程为三+/=i.

4,

(2)设直线/的方程为y=h+w,4(3(孙必),

V2

联立方程组\T+y=消去V得(1+4A-2).r2+8k〃ix+4〃/_4=0,

v-kx-Vin

A=16(/2—〃/+1)〉0,即〃/2<4*+1,

-8Aw4〃/-4

因为40O=NB0O,所以k.AQ+A物=0,

竽)+(3+〃/)再4冉

即（处+7〃）x

2亍

/

473八.\8g八

=2kxix24-in-a-（-玉+吃）一一—w=0

3

得2A■（4〃/—4）—8方〃in--------7〃（1+止）=0,

33

化简得加=-标，直线/的方程为蚱六卜-百卜

所以，直线/恒过定点（百,o）.

解题思路：设直线/的方程为y=h+7〃，4（M，M），5（孙必），将直线方程与椭

圆方程联立，写出韦达定理，又因为4。。=/50。，所以上闻+心。=0,将韦

达定理代入得出答案.

2、动点在定直线上的问题

(2021•山东威海市高三期末)已知椭圆C:岂+理=1(〃>，＞0)的离心率为

分别是它的左、右顶点，尸是它的右焦点，过点尸作直线与C交于尸,°(异

9

于3两点'当尸。u轴时，根尸。的面积为

(1)求c的标准方程；

(2)设直线4P与直线8。交于点河，求证:点M在定直线上.

解：（1）由题意知一二一，所以4=2C,又〃b2+c2,

a2

所以6二gc

9

当尸。_Lx轴时，UP。的面积为―，

2

由N1/\2〃9

所以一（4+C）・=—

2a2

解得。2=1,

所以“2=4,/=3,

22

所以椭圆。的标准方程为土+匕=1.

43

(2)由(1)知产(L0),设直线尸。的方程为x="y+l,

与椭圆[+[=1联立,得(3/+4)/+6*9=0.

显然△>()恒成立.

设尸(再,必),。(孙必)，

所以有乂+必=一,弘必=一?(*)

37〃+43m+4

直线"的方程为y=」\(x+2),直线30的方程为丁=一三(》-2),

演+2/一2

联立两方程可得，所以卷(x+2)=3(x-2)

西+2-2

x+2_X[+2y2_(+3)y2_myxy2+3y2

x-2必X2-22f

3

由（*）式可得=丁（弘+必），

2m

3(-39

»2_#+必)+3-%+升

代入上式可得=3,

x2区+龙

~孤1+%)_.%

22

解得I,

故点M在定直线x=4上.

解题思路：设直线P。的方程为x=〃V+l,联立椭圆方程，设尸区,必）,。（％外），

由韦达定理，可知乂+%=-=£，乂%=-：^工7,将直线4P的方程

3/77+43m+4

V=W（x+2）与直线50的方程卜=上彳"-2）联立，利用韦达定理，化简计

再+2-2

算，即可证明结果.

3、圆过定点问题

22

例14、（2021•湖北武汉市高三月考）设户是椭圆G三Y+2小5〉/,〉。）上异

ab

于长轴顶点4,4的任意一点，过尸作。的切线与分别过4,4的切线交于与，

区两点，己知44=4,椭圆。的离心率为

（1）求椭圆。的方程；

（2）以4星为直径的圆是否过X轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求

出定点；如果不过定点，说明理由.

%阕=2a=4

解：（1）由题可知1c1,解得a=2,c=l,由°2=62+°2得〃=3,

e=—=—

La2

2

椭圆。的方程为土i+v2=1.

43

(2)设尸(%,%),由于尸是异于长轴顶点4,4的任意一点，故切线斜率存在.

y=kx+b

设过P的椭圆的切线为.丫=米+3联立方程Y2

—+—=1

143

得(3+442)*2+8kbx+4〃-12=0,A=(8初2_4(3+4/)(4〃-12)=0,

*%=乜+方

得/=3+4k2,由《宕宕