2024届四川省绵阳市高中高三突击班第一次诊断性考试模拟测试数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省绵阳市高中2024届高三突击班第一次诊断性考试模拟测试数学试题（理）一、选择题1.已知集合，，且，则实数取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，.故选：D.2.已知，命题，命题表示焦点在x轴上的椭圆.则下列命题中为假命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于命题，由，，解得，则命题为真命题；对于命题，由方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故命题为真命题；综上，可知命题，，为真命题，命题为假命题.故选：B.3.展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C.4.涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A.6 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示：设鸽子所在位置为点，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以，解得，则，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为，故选：B5.经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）米．A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗由题知：当，时，，代入得：，当，时，，即，而，解得：或（舍）故选：D.6.若，则（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.7.若向量满足，则向量一定满足的关系为（）A. B.存在实数，使得C.存在实数，使得 D.〖答案〗C〖解析〗，两边同平方得，，对A，时，为任一向量，故A错误，对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误，对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时一定存在实数,,使得，具体分析如下：当，时，此时为任意实数，，当，时，此时为任意实数，，当，时，为任意实数，当，时，因为，则有，根据，则，此时共线，且同向，则存在实数使得（），令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确，对于D，当，时，，故D错误，故选：C.8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，当时，，故，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，显然，综上：只有D选项满足要求.故选：D9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，令恒成立，即在定义域单调递增，且因此在区间上必然存在唯一使得，所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；令，，当时，，∴在区间上为减函数，∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C.10.某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（）A.288种 B.336种 C.384种 D.672种〖答案〗D〖解析〗甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案.故选：D.11.已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗设双曲线的半焦距为c，直线的方程为，有，如图即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有，而，则，又，于是，所以双曲线的离心率.故选：C.12.函数满足：①关于原点对称：②，都有；③当时，；若，直线与无交点，则k的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由①可知，函数为奇函数，满足，由②可知，函数关于点对称，并且，则由①②可知，，函数是周期为4的函数，当，，，且，所以函数是奇函数，由可知，，得，则，，所以周期为2的函数，根据以上函数的性质，画出函数的图象，如图，当直线与无交点，有两个临界值，一个是直线过点，即，得，另一个临界点是直线与，相切，根据周期可知，当时，，设切点为，则，得，即，解得：，所以切线的斜率，且直线过点时，如图，直线与无交点，则k的取值范围是.故选：C.二、填空题13.执行如图所示程序框图，若输入的值为，则输出的值为______.〖答案〗3〖解析〗由题意：，，所以输出值为；故〖答案〗为：3.14.已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，，，又，，，.故〖答案〗为：.15.在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．〖答案〗1〖解析〗∵，由正弦定理可得：，则，整理得①，又∵，则，即，将①式两边同除于，可得，即故〖答案〗为：1.16.已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________．〖答案〗〖解析〗由，得，当时，的最小值为．由，得，即，因为，所以．而，当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题（共60分）17.已知函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，求的值.解：（1），因为相邻对称轴间距离为，所以函数的最小正周期，即，解得：，所以.由，可得，当时，，所以函数在上的单调递增区间为；（2）将函数的图象向左平移个单位后得，因为为偶函数，所以，即，所以，即，又因为，所以，.18.高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．（1）如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度；（2）如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．解：（1）因为，，所以，.由正弦定理得，得米，，米，所以该电缆的长度为米.（2）在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，米，所以米，所以米，所以正六边形的边长为米，在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，所以米，所以3号塔吊高为米.19.已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．解：（1）由题意得．当时，由，函数在上单调递增．当时，令,令或故函数在上单调递减，在和上单调递增．当时，令，令或函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．（2）当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：且解得．∴．又，∴当时，；当时，．又，∴20.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元．（1）根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；（2）某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．解：（1）依题意，，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.（2）消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，所有不同结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个结果，从这两部手机获得的利润不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3个结果，所以商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率.21.已知函数在处的切线与轴垂直．（其中是自然对数的底数）（1）设，，当时，求证：函数在上的图象恒在函数的图象的上方；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：因为函数在处的切线与轴垂直，所以，因为，所以，解得．当时，，令，又令，则，再令，则，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则，易知，所以，即；故在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，所以，故函数在上的图象恒在函数的图象的上方．（2）解：因为，可得；又因为，不等式恒成立，所以，即．令，则，令，解得．故在上单调递增，在上单调递减，则，即．由（1）可知，．当时，，所以，不等式恒成立，则实数的取值范围为．（二）选考题（考生从22、23题中任选一题作答．如有多做，按所做的第一题计分）[选修4-4：极坐标与参数方程]22.如图，在极坐标系中，已知点，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.（1）分别写出曲线、的极坐标方程；（2）直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），求面积的最大值.（1）解：由题意可知，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，结合图形可知，曲线的极坐标方程为.设为曲线上的任意一点，可得．因此，曲线极坐标方程为．（2）解：因为直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），设、，由题意得，，所以，．因为点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正数，，满足，求证：.（1）解：由题意得，因为函数的最大值为，所以，即.因为，所以；（2）证明：由（1）知，，因为，，，所以，当且仅当时，即，等号成立，即，所以，当且仅当时，等号成立.四川省绵阳市高中2024届高三突击班第一次诊断性考试模拟测试数学试题（理）一、选择题1.已知集合，，且，则实数取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，且，所以，.故选：D.2.已知，命题，命题表示焦点在x轴上的椭圆.则下列命题中为假命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于命题，由，，解得，则命题为真命题；对于命题，由方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故命题为真命题；综上，可知命题，，为真命题，命题为假命题.故选：B.3.展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗C〖解析〗因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C.4.涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）A.6 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示：设鸽子所在位置为点，因为它到抛物线焦点的距离为10米，所以，解得，则，所以鸽子到拱顶的最高点的距离为，故选：B5.经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）米．A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗由题知：当，时，，代入得：，当，时，，即，而，解得：或（舍）故选：D.6.若，则（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.7.若向量满足，则向量一定满足的关系为（）A. B.存在实数，使得C.存在实数，使得 D.〖答案〗C〖解析〗，两边同平方得，，对A，时，为任一向量，故A错误，对B，若，时，此时不存在实数，使得，故B错误，对于C，因为，当与至少一个为零向量时，此时一定存在实数,,使得，具体分析如下：当，时，此时为任意实数，，当，时，此时为任意实数，，当，时，为任意实数，当，时，因为，则有，根据，则，此时共线，且同向，则存在实数使得（），令，其中同号，即，即，则存在实数,,使得，故C正确，对于D，当，时，，故D错误，故选：C.8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，当时，，故，，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，显然，综上：只有D选项满足要求.故选：D9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，令恒成立，即在定义域单调递增，且因此在区间上必然存在唯一使得，所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；令，，当时，，∴在区间上为减函数，∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C.10.某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（）A.288种 B.336种 C.384种 D.672种〖答案〗D〖解析〗甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案.故选：D.11.已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗设双曲线的半焦距为c，直线的方程为，有，如图即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有，而，则，又，于是，所以双曲线的离心率.故选：C.12.函数满足：①关于原点对称：②，都有；③当时，；若，直线与无交点，则k的取值范围是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由①可知，函数为奇函数，满足，由②可知，函数关于点对称，并且，则由①②可知，，函数是周期为4的函数，当，，，且，所以函数是奇函数，由可知，，得，则，，所以周期为2的函数，根据以上函数的性质，画出函数的图象，如图，当直线与无交点，有两个临界值，一个是直线过点，即，得，另一个临界点是直线与，相切，根据周期可知，当时，，设切点为，则，得，即，解得：，所以切线的斜率，且直线过点时，如图，直线与无交点，则k的取值范围是.故选：C.二、填空题13.执行如图所示程序框图，若输入的值为，则输出的值为______.〖答案〗3〖解析〗由题意：，，所以输出值为；故〖答案〗为：3.14.已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．〖答案〗〖解析〗设等比数列的公比为，，，又，，，.故〖答案〗为：.15.在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________．〖答案〗1〖解析〗∵，由正弦定理可得：，则，整理得①，又∵，则，即，将①式两边同除于，可得，即故〖答案〗为：1.16.已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________．〖答案〗〖解析〗由，得，当时，的最小值为．由，得，即，因为，所以．而，当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2；当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2；当时，方程，的实数解的个数均为2．所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题（共60分）17.已知函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，求的值.解：（1），因为相邻对称轴间距离为，所以函数的最小正周期，即，解得：，所以.由，可得，当时，，所以函数在上的单调递增区间为；（2）将函数的图象向左平移个单位后得，因为为偶函数，所以，即，所以，即，又因为，所以，.18.高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．（1）如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度；（2）如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）．解：（1）因为，，所以，.由正弦定理得，得米，，米，所以该电缆的长度为米.（2）在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，米，所以米，所以米，所以正六边形的边长为米，在直角梯形中，过作，垂足为，则米，，所以米，所以3号塔吊高为米.19.已知函数（）．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．解：（1）由题意得．当时，由，函数在上单调递增．当时，令,令或故函数在上单调递减，在和上单调递增．当时，令，令或函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．（2）当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：且解得．∴．又，∴当时，；当时，．又，∴20.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元．（1）根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；（2）某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．解：（1）依题意，，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.（2）