2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月阶段性测试(一)数学试题(理)(（解析版）)

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省商洛市部分学校2024届高三上学期10月阶段性测试(一)数学试题(理)一､选择题1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则．故选：D.

3.已知函数，若，则（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗因为函数，所以，所以，又，所以，故选：A4.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A.3 B.7 C.11 D.15〖答案〗C〖解析〗不等式组表示的平面区域如下图，目标函数化为，表示斜率为的一组平行线，当直线过点时，直线截距最大，即取得最大值，联立，得，即，所以.故选：C5.记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（）A.12 B.22 C.37 D.55〖答案〗B〖解析〗由题意，且是公差为的等差数列，可知的首项为，则，故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，令，即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，故的最大值为，故选：B6.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，因为的图象关于坐标原点对称，所以，即，因为，故当时，m取得最小值．故选：B.

8.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为．故选：C.9.如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在棱长为2的正方体中，平面，平面，则，由，得，在中，，则，即点为中点，又平面，平面，因此平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，由，得，解得，在中，，则，所以点到平面的距离之和为.故选：B.10.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．（1）正三棱锥当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，如图，设正三棱锥的底面边长为a，取底边的中点，则，平面VAD，故平面，即为面积最大的轴截面图形.所以，即，可得正三棱锥的体积为．（2）正四棱锥当轴截面经过底面的一条对角线时，轴截面面积最大，如图，设正四棱锥底面边长为b，连接，即为面积最大的轴截面图形.所以，即，则底面的面积为，可得正四棱锥的体积为．（3）正六棱锥当轴截面经过底面两个相对的顶点时，轴截面面积最大，如图，设正六棱锥的底面边长为c，连接，即为面积最大的轴截面图形.所以，则，可得正六棱锥的体积为．所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为，即．故选：C.11.在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是9，故选：D12.已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆，与的右支的一个交点为A，若，则的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，且为锐角，故，而，故，将代入中，得，结合整理得，即，解得或,由于双曲线离心率，故舍去，故，故选：D二､填空题13.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则___________．〖答案〗4〖解析〗把代入抛物线方程（），得，得，根据抛物线的定义有，解得，故〖答案〗为：4.14.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.〖答案〗53〖解析〗设2020年的销量为，2021年的销量为，，由题意可知，中位数为，平均数为，由，得，所以这四年的总销量为万量.故〖答案〗为：53.15.已知数列满足，，则满足的最小正整数___________．〖答案〗5〖解析〗由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故〖答案〗为：5．16.已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，所以函数在上单调递增．不等式即，即．因为，所以．故由，得.所以不等式的解集为，故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.（1）求；（2）若，求BC.解：（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，，在中，由余弦定理得，所以.18.如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．（1）证明：在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以．平面，平面，则平面，因为，则，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，则平面，又因为，且平面，所以平面平面．（2）解：因为，，，由余弦定理可得，所以，从而．以B为坐标原点，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．故，，，．从而，，．设平面ABD的法向量为，由，得，取，则为平面ABD的一个法向量，所以，所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．19.已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．（1）求C的离心率；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．（1）解：由得C的半焦距为，所以，又C过点，所以，解得，所以，．故C的离心率为．（2）证明：由（1）可知C的方程为．设，，．由题意可得直线MN的方程为，联立，消去y可得，则，，则，又，因此．20.小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（），且每个科目每次考试的结果互不影响．（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点．（2）以（1）中确定的作为p的值．（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求．解：（1）由题意知，，则，当时，，当时，，所以函数在单调递增，单调递减，所以当时，取最大值，即．（2）（ⅰ）小李第一次考试3个科目都合格的概率为，小李第一次考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率为，小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率为，所以小李这项资格考试过关的概率为．（ⅱ）X的所有可能取值为60，80，100，则，，，故．21.已知函数，且．（1）若当时，恒成立，求m的取值范围；（2）若，且，使得，求证：．（1）解：当时，，所以由，可得．令，则，令，则，而，得．故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，所以m的取值范围为．（2）证明：易知，所以，等价于，等价于．不妨设，由（1）可知．要证，即证，又因为在上单调递减，所以需证，即．令，则，当时，，，所以，则在上单调递增，所以，即，因此，．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，与轴交于点，求的值.解：（1）由曲线的参数方程消去参数，得普通方程为.因为，所以，将代入得.（2）由于直线与轴的交点坐标为，倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入，得，设对应参数分别为，则，所以.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于不等式的解集为，求实数的取值范围.解：（1）由，可得，当时，原不等式可化为，化简得，不成立；当时，原不等式可化为，解得，故；当时，原不等式可化为，化简得，恒成立，故.综上可知的取值范围为.（2）因为，当，即时，取最小值，且最小值为，由题可知关于的不等式的解集为，即不等式恒成立，所以，解得.故实数的取值范围是.陕西省商洛市部分学校2024届高三上学期10月阶段性测试(一)数学试题(理)一､选择题1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则．故选：D.

3.已知函数，若，则（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗因为函数，所以，所以，又，所以，故选：A4.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A.3 B.7 C.11 D.15〖答案〗C〖解析〗不等式组表示的平面区域如下图，目标函数化为，表示斜率为的一组平行线，当直线过点时，直线截距最大，即取得最大值，联立，得，即，所以.故选：C5.记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为（）A.12 B.22 C.37 D.55〖答案〗B〖解析〗由题意，且是公差为的等差数列，可知的首项为，则，故，则数列为，公差为的等差数列，且为递减数列，令，即等差数列的前4项为正项，从第5项开始为负，故的最大值为，故选：B6.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，因为的图象关于坐标原点对称，所以，即，因为，故当时，m取得最小值．故选：B.

8.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为．故选：C.9.如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在棱长为2的正方体中，平面，平面，则，由，得，在中，，则，即点为中点，又平面，平面，因此平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，由，得，解得，在中，，则，所以点到平面的距离之和为.故选：B.10.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．（1）正三棱锥当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，如图，设正三棱锥的底面边长为a，取底边的中点，则，平面VAD，故平面，即为面积最大的轴截面图形.所以，即，可得正三棱锥的体积为．（2）正四棱锥当轴截面经过底面的一条对角线时，轴截面面积最大，如图，设正四棱锥底面边长为b，连接，即为面积最大的轴截面图形.所以，即，则底面的面积为，可得正四棱锥的体积为．（3）正六棱锥当轴截面经过底面两个相对的顶点时，轴截面面积最大，如图，设正六棱锥的底面边长为c，连接，即为面积最大的轴截面图形.所以，则，可得正六棱锥的体积为．所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为，即．故选：C.11.在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，，则的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是9，故选：D12.已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆，与的右支的一个交点为A，若，则的离心率为（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可知，且为锐角，故，而，故，将代入中，得，结合整理得，即，解得或,由于双曲线离心率，故舍去，故，故选：D二､填空题13.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则___________．〖答案〗4〖解析〗把代入抛物线方程（），得，得，根据抛物线的定义有，解得，故〖答案〗为：4.14.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.〖答案〗53〖解析〗设2020年的销量为，2021年的销量为，，由题意可知，中位数为，平均数为，由，得，所以这四年的总销量为万量.故〖答案〗为：53.15.已知数列满足，，则满足的最小正整数___________．〖答案〗5〖解析〗由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故〖答案〗为：5．16.已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，所以函数在上单调递增．不等式即，即．因为，所以．故由，得.所以不等式的解集为，故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.（1）求；（2）若，求BC.解：（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，，在中，由余弦定理得，所以.18.如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．（1）证明：在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以．平面，平面，则平面，因为，则，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，则平面，又因为，且平面，所以平面平面．（2）解：因为，，，由余弦定理可得，所以，从而．以B为坐标原点，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．故，，，．从而，，．设平面ABD的法向量为，由，得，取，则为平面ABD的一个法向量，所以，所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．19.已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．（1）求C的离心率；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．（1）解：由得C的半焦距为，所以，又C过点，所以，解得，所以，．故C的离心率为．（2）证明：由（1）可知C的方程为．设，，．由题意可得直线MN的方程为，联立，消去y可得，则，，则，又，因此．20.小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（），且每个科目每次考试的结果互不影响．（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点．（2）以（1）中确定的作为p的值．（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20