2024届辽宁省重点高中沈阳市郊联体高三上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题1.已知集合，，，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A.2.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.3.中，点为上的点，且，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，因为，由向量的线性运算法则,可得因为，所以，所以.故选：D.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（）A.228里 B.192里 C.126里 D.63里〖答案〗B〖解析〗由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B.5.已知函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以是以6为周期的函数，所以，故选：D.6.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为且关于点对称，则φ的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为则，，又因为其关于点对称，，即，则，解得，且，所以.D正确.故选：D.7.若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增，则函数在区间上单调递减，且恒成立，可得.故选：C.8.给定函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数恰有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即函数与函数图象有两个交点，易知，令，解得，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以在取得最小值，易知当时，，且时，在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：由图可知当时，函数与函数图象有两个交点故选：C.二、多项选择题9.下列命题中正确的是（）A.若，则B.命题：“”的否定是“”C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，由，得，，则，，所以当时，取到最小值，所以，故选项A正确；对于选项B，“”的否定是“”，故选项B不正确；对于选项C，函数的定义域为，则中的范围为，即，所以，由抽象函数的定义域可得，中的范围为，故函数的定义域为；所以选项C正确；对于选项D，令，则，，由得，，所以，，所以选项D正确.故选：ACD.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则一定是钝角三角形B.若，则有两解C.若，则为等腰三角形D.若为锐角三角形，则〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，则，故角为钝角，A选项正确；对于B选项，在，，，，，则由正弦定理得，，得，所以无解，所以B错误；对于C选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，则，D选项正确.故选：AD.11.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，P是AB边上的动点，则的值可能为（）．A.﹣12 B.﹣8 C.﹣2 D.0〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，则，则，因为，所以，A错误，BCD正确.故选：BCD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是周期为的奇函数 B.在上为增函数C.在内有20个极值点 D.在上恒成立的充要条件是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，的定义域为R，，是奇函数，但是，不是周期为的函数，故A错误；B选项，当时，，，单调递增，当时，，，单调递增，且在连续，故在单调递增，故B正确；C选项，当时，，，令得，，当时，，，令得，,且以上零点均为变号零点，故均为极值点，因此，在内有20个极值点，故C正确；D选项，由题意得在上恒成立，令，当时，，令，，，因为，所以，则，由于，故，当且仅当时，等号成立，故在上单调递增，所以，故满足在上恒成立；当时，，由于，所以，则，又，故，若，此时，则在单调递减，则，不合要求，若，则存在，使得，当时，，当时，，故在处取得极小值，且，不合要求.综上：，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题13.已知单位向量满足若向量则_____．〖答案〗〖解析〗因为为单位向量，所以，又因为所以，，又因为，所以.故〖答案〗为：.14.在等差数列中，为其前n项和．若，则数列的公差d＝______．〖答案〗2〖解析〗由题意得，故，故是以为首项，为公差的等差数列，，得，故〖答案〗为：215.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则______．〖答案〗〖解析〗因为点为角终边上一点，，，，，因为，所以，，因为，所以，，故，所以．故〖答案〗为：．16.数列满足则数列的前60项和为______．〖答案〗〖解析〗由，得，，所以，即，又，所以，所以数列为各项均为1的常数数列，所以，又由得，，即，所以，所以数列的前60项和为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数最大值为1．（1）求a的值；（2）将的图象向上平移1个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若求面积的最大值．解：（1）∵函数，函数的最大值为，∴，．（2）由已知则因为在中，，所以所以，所以又由余弦定理及得：，即，所以，即（当且仅当时等号成立）．所以.18.已知等差数列的公差，其前n项和为，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为为等差数列，且，所以，由成等比数列，得，即，因为，所以，所以，故；（2）因为，所以，所以，故.因为，即递增数列，所以，所以19.设函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）当时，证明：．（1）解：时，所以，所以在处的切线方程为．（2）证明：当时，化为.令，时，，此时函数单调递减；，此时函数单调递增．时，函数取得极小值即最小值，所以只要证明，即证明即可．令，，,可得时，函数取得极小值即最小值，，所以在上恒成立，所以，当时，成立．20.如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，.（1）求；（2）若的面积为2，求线段的长.解：（1）因为，由正弦定理可得，即,，即.又，，故，即，所以，即，因为，，所以，得.（2）因为的面积，所以，即，，由余弦定理得，所以，因为平分，所以，所以.21.已知数列中，其前项和为，且对任意，都有．等比数列中，，．（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）由得，……………①当时，，………………②由①－②得，，即，整理得，∵，∴，由已知得，当时，，即，解得．故数列是首项为1，公差为2的等差数列．∴．设等比数列的公比为，则，所以．故，即，解得．故．（2）记数列的前项和为，数列的前项和为．则．当偶数时，奇数项与偶数项各有项．则；当为奇数时，奇数项为项，偶数项为项．则．所以．22.已知函数．（1）当时，求函数的极小值；（2）若上，使得成立，求的取值范围．解：（1）当时，令0，得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以在时取得极小值为.（2）由已知：，使得，即：设，则只需要函数在上的最小值小于零．又，令，得（舍去）或．①当，即时，在上单调递减，故在上的最小值为，由，可得．因为，所以．②当，即时，在上单调递增，故在上的最小值为，由，可得（满足）．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．因为，所以，所以，即，不满足题意，舍去．综上可得或，所以实数的取值范围为．辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题1.已知集合，，，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A.2.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.3.中，点为上的点，且，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，因为，由向量的线性运算法则,可得因为，所以，所以.故选：D.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（）A.228里 B.192里 C.126里 D.63里〖答案〗B〖解析〗由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为，则有，解得，故选：B.5.已知函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以是以6为周期的函数，所以，故选：D.6.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为且关于点对称，则φ的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为则，，又因为其关于点对称，，即，则，解得，且，所以.D正确.故选：D.7.若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增，则函数在区间上单调递减，且恒成立，可得.故选：C.8.给定函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数恰有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即函数与函数图象有两个交点，易知，令，解得，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以在取得最小值，易知当时，，且时，在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：由图可知当时，函数与函数图象有两个交点故选：C.二、多项选择题9.下列命题中正确的是（）A.若，则B.命题：“”的否定是“”C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A，由，得，，则，，所以当时，取到最小值，所以，故选项A正确；对于选项B，“”的否定是“”，故选项B不正确；对于选项C，函数的定义域为，则中的范围为，即，所以，由抽象函数的定义域可得，中的范围为，故函数的定义域为；所以选项C正确；对于选项D，令，则，，由得，，所以，，所以选项D正确.故选：ACD.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若，则一定是钝角三角形B.若，则有两解C.若，则为等腰三角形D.若为锐角三角形，则〖答案〗AD〖解析〗对于A选项，因为，则，故角为钝角，A选项正确；对于B选项，在，，，，，则由正弦定理得，，得，所以无解，所以B错误；对于C选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，则，D选项正确.故选：AD.11.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，P是AB边上的动点，则的值可能为（）．A.﹣12 B.﹣8 C.﹣2 D.0〖答案〗BCD〖解析〗因为，所以由正弦定理得，，又，故，又，，故⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，则，则，因为，所以，A错误，BCD正确.故选：BCD.12.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是周期为的奇函数 B.在上为增函数C.在内有20个极值点 D.在上恒成立的充要条件是〖答案〗BCD〖解析〗A选项，的定义域为R，，是奇函数，但是，不是周期为的函数，故A错误；B选项，当时，，，单调递增，当时，，，单调递增，且在连续，故在单调递增，故B正确；C选项，当时，，，令得，，当时，，，令得，,且以上零点均为变号零点，故均为极值点，因此，在内有20个极值点，故C正确；D选项，由题意得在上恒成立，令，当时，，令，，，因为，所以，则，由于，故，当且仅当时，等号成立，故在上单调递增，所以，故满足在上恒成立；当时，，由于，所以，则，又，故，若，此时，则在单调递减，则，不合要求，若，则存在，使得，当时，，当时，，故在处取得极小值，且，不合要求.综上：，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题13.已知单位向量满足若向量则_____．〖答案〗〖解析〗因为为单位向量，所以，又因为所以，，又因为，所以.故〖答案〗为：.14.在等差数列中，为其前n项和．若，则数列的公差d＝______．〖答案〗2〖解析〗由题意得，故，故是以为首项，为公差的等差数列，，得，故〖答案〗为：215.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则______．〖答案〗〖解析〗因为点为角终边上一点，，，，，因为，所以，，因为，所以，，故，所以．故〖答案〗为：．16.数列满足则数列的前60项和为______．〖答案〗〖解析〗由，得，，所以，即，又，所以，所以数列为各项均为1的常数数列，所以，又由得，，即，所以，所以数列的前60项和为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数最大值为1．（1）求a的值；（2）将的图象向上平移1个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若求面积的最大值．解：（1）∵函数，函数的最大值为，∴，．（2）由已知则因为在中，，所以所以，所以又由余弦定理及得：，即，所以，即（当且仅当时等号成立）．所以.18.已知等差数列的公差，其前n项和为，若，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围.解：（1）因为为等差数列，且，所以，由成等比数列，得，即，因为，所以，所以，故；（2）因为，所以，所以，故.因为，即递增数列，所以，所以19.设函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）当时，证明：．（1）解：时，所以，所以在