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高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题1.已知集合,,,则实数的值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知:,当,即,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;当,即或,若,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;若,则,,满足要求.综上,.故选:A.2.下列函数中,是偶函数且在上单调递减的是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上不是单调递减,不符合题意;故A错误;对于B,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上单调递减,符合题意;故B正确;对于C,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上单调递增;不符合题意;故C错误;对于D,定义域为,不是偶函数,不符合题意;故D错误;故选:B.3.中,点为上的点,且,若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示,因为,由向量的线性运算法则,可得因为,所以,所以.故选:D.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为()A.228里 B.192里 C.126里 D.63里〖答案〗B〖解析〗由题意得,该人所走路程构成以为公比的等比数列,令该数列为,其前项和为,则有,解得,故选:B.5.已知函数满足,当时,,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以是以6为周期的函数,所以,故选:D.6.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为且关于点对称,则φ的值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为则,,又因为其关于点对称,,即,则,解得,且,所以.D正确.故选:D.7.若函数在区间内单调递减,则实数的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在区间上单调递减,由函数在定义域内单调递增,则函数在区间上单调递减,且恒成立,可得.故选:C.8.给定函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数恰有两个零点,即方程有两个不相等的实数根,即函数与函数图象有两个交点,易知,令,解得,所以当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以在取得最小值,易知当时,,且时,在同一坐标系下分别画出两函数图象,如下图所示:由图可知当时,函数与函数图象有两个交点故选:C.二、多项选择题9.下列命题中正确的是()A.若,则B.命题:“”的否定是“”C.已知函数的定义域为,则函数的定义域为D.若函数则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A,由,得,,则,,所以当时,取到最小值,所以,故选项A正确;对于选项B,“”的否定是“”,故选项B不正确;对于选项C,函数的定义域为,则中的范围为,即,所以,由抽象函数的定义域可得,中的范围为,故函数的定义域为;所以选项C正确;对于选项D,令,则,,由得,,所以,,所以选项D正确.故选:ACD.10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()A.若,则一定是钝角三角形B.若,则有两解C.若,则为等腰三角形D.若为锐角三角形,则〖答案〗AD〖解析〗对于A选项,因为,则,故角为钝角,A选项正确;对于B选项,在,,,,,则由正弦定理得,,得,所以无解,所以B错误;对于C选项,因为,即,整理可得,所以,或,故为等腰三角形或直角三角形,C选项错误;对于D选项,若为锐角三角形,所以,所以,则,D选项正确.故选:AD.11.已知的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,P是AB边上的动点,则的值可能为().A.﹣12 B.﹣8 C.﹣2 D.0〖答案〗BCD〖解析〗因为,所以由正弦定理得,,又,故,又,,故⊥,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,设,,则,则,因为,所以,A错误,BCD正确.故选:BCD.12.已知函数,则下列结论正确的是()A.是周期为的奇函数 B.在上为增函数C.在内有20个极值点 D.在上恒成立的充要条件是〖答案〗BCD〖解析〗A选项,的定义域为R,,是奇函数,但是,不是周期为的函数,故A错误;B选项,当时,,,单调递增,当时,,,单调递增,且在连续,故在单调递增,故B正确;C选项,当时,,,令得,,当时,,,令得,,且以上零点均为变号零点,故均为极值点,因此,在内有20个极值点,故C正确;D选项,由题意得在上恒成立,令,当时,,令,,,因为,所以,则,由于,故,当且仅当时,等号成立,故在上单调递增,所以,故满足在上恒成立;当时,,由于,所以,则,又,故,若,此时,则在单调递减,则,不合要求,若,则存在,使得,当时,,当时,,故在处取得极小值,且,不合要求.综上:,故D正确;故选:BCD.第Ⅱ卷非选择题(共90分)三、填空题13.已知单位向量满足若向量则_____.〖答案〗〖解析〗因为为单位向量,所以,又因为所以,,又因为,所以.故〖答案〗为:.14.在等差数列中,为其前n项和.若,则数列的公差d=______.〖答案〗2〖解析〗由题意得,故,故是以为首项,为公差的等差数列,,得,故〖答案〗为:215.在平面直角坐标系中,已知点为角终边上一点,若,,则______.〖答案〗〖解析〗因为点为角终边上一点,,,,,因为,所以,,因为,所以,,故,所以.故〖答案〗为:.16.数列满足则数列的前60项和为______.〖答案〗〖解析〗由,得,,所以,即,又,所以,所以数列为各项均为1的常数数列,所以,又由得,,即,所以,所以数列的前60项和为.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知函数最大值为1.(1)求a的值;(2)将的图象向上平移1个单位,再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若求面积的最大值.解:(1)∵函数,函数的最大值为,∴,.(2)由已知则因为在中,,所以所以,所以又由余弦定理及得:,即,所以,即(当且仅当时等号成立).所以.18.已知等差数列的公差,其前n项和为,若,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的取值范围.解:(1)因为为等差数列,且,所以,由成等比数列,得,即,因为,所以,所以,故;(2)因为,所以,所以,故.因为,即递增数列,所以,所以19.设函数.(1)若,求在处的切线方程;(2)当时,证明:.(1)解:时,所以,所以在处的切线方程为.(2)证明:当时,化为.令,时,,此时函数单调递减;,此时函数单调递增.时,函数取得极小值即最小值,所以只要证明,即证明即可.令,,,可得时,函数取得极小值即最小值,,所以在上恒成立,所以,当时,成立.20.如图,的内角、、的对边分别为、、,外一点(与在同一平面内)满足,,.(1)求;(2)若的面积为2,求线段的长.解:(1)因为,由正弦定理可得,即,,即.又,,故,即,所以,即,因为,,所以,得.(2)因为的面积,所以,即,,由余弦定理得,所以,因为平分,所以,所以.21.已知数列中,其前项和为,且对任意,都有.等比数列中,,.(1)求数列、的通项公式;(2)求数列的前项和.解:(1)由得,……………①当时,,………………②由①-②得,,即,整理得,∵,∴,由已知得,当时,,即,解得.故数列是首项为1,公差为2的等差数列.∴.设等比数列的公比为,则,所以.故,即,解得.故.(2)记数列的前项和为,数列的前项和为.则.当偶数时,奇数项与偶数项各有项.则;当为奇数时,奇数项为项,偶数项为项.则.所以.22.已知函数.(1)当时,求函数的极小值;(2)若上,使得成立,求的取值范围.解:(1)当时,令0,得且在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增所以在时取得极小值为.(2)由已知:,使得,即:设,则只需要函数在上的最小值小于零.又,令,得(舍去)或.①当,即时,在上单调递减,故在上的最小值为,由,可得.因为,所以.②当,即时,在上单调递增,故在上的最小值为,由,可得(满足).③当,即时,在上单调递减,在上单调递增,故在上的最小值为.因为,所以,所以,即,不满足题意,舍去.综上可得或,所以实数的取值范围为.辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024届高三上学期10月月考数学试题第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题1.已知集合,,,则实数的值为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知:,当,即,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;当,即或,若,则,与集合中元素互异性有矛盾,不符合;若,则,,满足要求.综上,.故选:A.2.下列函数中,是偶函数且在上单调递减的是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上不是单调递减,不符合题意;故A错误;对于B,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上单调递减,符合题意;故B正确;对于C,由题意可知的定义域为,,所以是偶函数且在上单调递增;不符合题意;故C错误;对于D,定义域为,不是偶函数,不符合题意;故D错误;故选:B.3.中,点为上的点,且,若,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示,因为,由向量的线性运算法则,可得因为,所以,所以.故选:D.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为()A.228里 B.192里 C.126里 D.63里〖答案〗B〖解析〗由题意得,该人所走路程构成以为公比的等比数列,令该数列为,其前项和为,则有,解得,故选:B.5.已知函数满足,当时,,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为,所以是以6为周期的函数,所以,故选:D.6.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为且关于点对称,则φ的值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为则,,又因为其关于点对称,,即,则,解得,且,所以.D正确.故选:D.7.若函数在区间内单调递减,则实数的取值范围为()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数在区间上单调递减,由函数在定义域内单调递增,则函数在区间上单调递减,且恒成立,可得.故选:C.8.给定函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数恰有两个零点,即方程有两个不相等的实数根,即函数与函数图象有两个交点,易知,令,解得,所以当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以在取得最小值,易知当时,,且时,在同一坐标系下分别画出两函数图象,如下图所示:由图可知当时,函数与函数图象有两个交点故选:C.二、多项选择题9.下列命题中正确的是()A.若,则B.命题:“”的否定是“”C.已知函数的定义域为,则函数的定义域为D.若函数则〖答案〗ACD〖解析〗对于选项A,由,得,,则,,所以当时,取到最小值,所以,故选项A正确;对于选项B,“”的否定是“”,故选项B不正确;对于选项C,函数的定义域为,则中的范围为,即,所以,由抽象函数的定义域可得,中的范围为,故函数的定义域为;所以选项C正确;对于选项D,令,则,,由得,,所以,,所以选项D正确.故选:ACD.10.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是()A.若,则一定是钝角三角形B.若,则有两解C.若,则为等腰三角形D.若为锐角三角形,则〖答案〗AD〖解析〗对于A选项,因为,则,故角为钝角,A选项正确;对于B选项,在,,,,,则由正弦定理得,,得,所以无解,所以B错误;对于C选项,因为,即,整理可得,所以,或,故为等腰三角形或直角三角形,C选项错误;对于D选项,若为锐角三角形,所以,所以,则,D选项正确.故选:AD.11.已知的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且,P是AB边上的动点,则的值可能为().A.﹣12 B.﹣8 C.﹣2 D.0〖答案〗BCD〖解析〗因为,所以由正弦定理得,,又,故,又,,故⊥,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,设,,则,则,因为,所以,A错误,BCD正确.故选:BCD.12.已知函数,则下列结论正确的是()A.是周期为的奇函数 B.在上为增函数C.在内有20个极值点 D.在上恒成立的充要条件是〖答案〗BCD〖解析〗A选项,的定义域为R,,是奇函数,但是,不是周期为的函数,故A错误;B选项,当时,,,单调递增,当时,,,单调递增,且在连续,故在单调递增,故B正确;C选项,当时,,,令得,,当时,,,令得,,且以上零点均为变号零点,故均为极值点,因此,在内有20个极值点,故C正确;D选项,由题意得在上恒成立,令,当时,,令,,,因为,所以,则,由于,故,当且仅当时,等号成立,故在上单调递增,所以,故满足在上恒成立;当时,,由于,所以,则,又,故,若,此时,则在单调递减,则,不合要求,若,则存在,使得,当时,,当时,,故在处取得极小值,且,不合要求.综上:,故D正确;故选:BCD.第Ⅱ卷非选择题(共90分)三、填空题13.已知单位向量满足若向量则_____.〖答案〗〖解析〗因为为单位向量,所以,又因为所以,,又因为,所以.故〖答案〗为:.14.在等差数列中,为其前n项和.若,则数列的公差d=______.〖答案〗2〖解析〗由题意得,故,故是以为首项,为公差的等差数列,,得,故〖答案〗为:215.在平面直角坐标系中,已知点为角终边上一点,若,,则______.〖答案〗〖解析〗因为点为角终边上一点,,,,,因为,所以,,因为,所以,,故,所以.故〖答案〗为:.16.数列满足则数列的前60项和为______.〖答案〗〖解析〗由,得,,所以,即,又,所以,所以数列为各项均为1的常数数列,所以,又由得,,即,所以,所以数列的前60项和为.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知函数最大值为1.(1)求a的值;(2)将的图象向上平移1个单位,再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若求面积的最大值.解:(1)∵函数,函数的最大值为,∴,.(2)由已知则因为在中,,所以所以,所以又由余弦定理及得:,即,所以,即(当且仅当时等号成立).所以.18.已知等差数列的公差,其前n项和为,若,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的取值范围.解:(1)因为为等差数列,且,所以,由成等比数列,得,即,因为,所以,所以,故;(2)因为,所以,所以,故.因为,即递增数列,所以,所以19.设函数.(1)若,求在处的切线方程;(2)当时,证明:.(1)解:时,所以,所以在

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