2024届辽宁省名校联盟高三上学期9月联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2024届高三上学期9月联合考试数学试题一、选择题1.设全集，集合，，则集合中的元素个数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个〖答案〗B〖解析〗由题意得，，，所以,故选:B2.已知命题：，，则（）A.p：， B.p：，C.p：， D.p：，〖答案〗D〖解析〗根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以：，的否定是：，，故选：D.3.设、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，则“”“”；但当时，取，，则，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要.其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位:），q为发动机的喷射速度（单位:），，分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（）（参考数据:，）A.4.44 B.7.2 C.9.2 D.8.8〖答案〗C〖解析〗由题意得，初末质量比最大为10，则该型号单级火箭能获得的最大理想速度．故选：C．5.设为数列的前n项和，已知，，，，则（）A.是等比数列 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且，，令，可得，又因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以B正确，D项错误；由，，可得，所以数列不是等比数列，所以A项错误；由，所以C项错误．故选：B．6设，若，则（）A. B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，知，且，，，所以，．故选：C．7.已知，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得的定义域为R，，又，则为增函数，而为R上的增函数，所以为增函数，又，所以，即，即，所以，所以,即不等式的解集为，故选：D.8.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，下面先证明，设函数，则，当时，，在内单调递增，当时，，在内单调递减，所以，所以当时，，设，，令，则，所以，所以①，所以，即．再设，，又由①知，所以在内单调递减，所以，所以，所以，即，所以．综上，．故选：B．二、选择题9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A项，因为，则，，所以，A项正确；对于B项，因为，所以，所以，所以，B项正确；对于C项，令，，则，C错误；对于D项，由均值定理即可得到，D项正确．故选：ABD．10.定义在R上的连续函数满足，，，，则（）A.B.当x，时，C.若，则为偶函数D.当时，〖答案〗BC〖解析〗对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误；对于B项，当x，时，取，则，所以，所以，B项正确；对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且，则，所以为偶函数，C项正确；对于D项，令，则满足题中所给条件，但当时，，故不成立，D项错误．故选：BC11.设表示不超过x的最大整数，如，．已知函数，则（）A.B.在区间，上单调递减C.当时，有3个零点D当时，有4个零点〖答案〗BD〖解析〗由题意得，则，A错误；当时，，，令，得，所以时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，当且无限趋近于0时，无限趋近于2，，，当时，；当，时，，则在区间，上单调递减，B正确；结合以上分析可作出函数的大致图像，如图：图像可知当时，的图象与的交点可能有2个或3个，故有2个或3个零点，C错误；当时，的图象与的交点有4个即有4个零点，D正确，故选：BD12.设数列满足，，记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，由，所以当时，由二次函数单调性知，所以，，所以，A项正确；，因为，所以，，所以，所以，显然，所以．又，所以，所以，B项错误，D项正确；，，，所以，C项正确．故选：ACD．三、填空题13.若数列a，27，，b，为等比数列，则____________．〖答案〗〖解析〗由题意得，，从而等比数列公比为，所以，所以，故〖答案〗为：14.函数的值域为____________．〖答案〗〖解析〗设，则且，根据反比例函数性质，从而，所以．故〖答案〗为：.15.已知，，则的最小值为____________．〖答案〗〖解析〗，因为，所以当，，上述等号在时成立．故〖答案〗为：16.已知满足，，则____________．〖答案〗〖解析〗由，可得，即，且，可得，设，则，原式化为，即，又由，可得，令函数，显然为增函数，所以，则，所以．故〖答案〗为：.四、解答题17.函数，若“”是“”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．解：由，可得，解得，即，又由，得，当时，；当时，；当时，．因为“”是“”充分不必要条件，所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；当时，满足，解得．综上可得，实数的取值范围为．18.已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）判断与的大小关系并证明你的结论．（1）解：设等差数列的公差为，由，可得．又，所以公差，所以．（2）解：．证明如下：由（1）可求得，当时，；当时，，所以.综上所述，对任意的，.19.已知函数，．（1）若，，求a的取值范围；（2）设函数，，若斜率为1的直线与曲线，都相切，求b的值．解：（1）由题意，，得，即在时有解．设，则，易知．令，则，所以单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．（2）由题意得，所以，令，解得，，所以直线与的两个切点坐标分别为，，所以切线方程分别为和．令，得，令，解得或．令，得，令，无解．经检验，直线与的两个切点坐标分别为，，综上，或．20.定义在R上的函数满足：①对，，当时，总有；②对，．（1）求；（2）若对任意，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围．解：（1）由条件①知，当时，有，即在R上单调递增．再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．又上式对成立，所以，所以，即．设，因为，所以单调递增．又，所以．所以；（2）构造函数，由题意“对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形”等价于“对任意，，恒成立”．又，令，当且仅当时，即时取等号，则（），当时，，因为且，所以，解得，即；当时，，满足条件；当时，，因为且，所以，即．综上，实数k的取值范围是．21.已知函数定义在区间内，，且当，时，恒有．（1）证明：为奇函数；（2）若数列，满足，，，，且对，，求的取值范围．（1）证明：由题意知的定义域为．令，则，故．再令，则，所以．故为奇函数．（2）解：由题意得，又，所以，即，所以，故是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，所以，两式相减得，所以．所以恒成立，即恒成立．设，则，所以数列递增．当n为奇函数时，，当时，有最大值，故；当n为偶数时，，当时，有最小值，故．综上，的取值范围是．22.已知，，函数和的图像共有三个不同的交点，且有极大值1．（1）求a的值以及b的取值范围；（2）若曲线与的交点的横坐标分别记为，，，且．证明：．（1）解：因为，，所以当时，，，所以在上单调递增，无极大值；当时，，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以为极大值点，所以，解得．因为，图像共有三个不同的交点，所以方程有三个不等正实根．设，则，且当时，t与x一一对应，所以问题转化为关于t的方程有三个不等实根．又0不满足方程，所以方程有三个实根．设，则函数与函数的图像有三个交点，当或时，，，所以在，上单调递增；当时，，，所以在上单调递减．当，时，，而；当时，，无论还是，当时，都有，当时，．根据以上信息，画出函数的大致图像如下图所示，所以当时，函数与函数的图像有三个交点，故b的取值范围为．（2）证明：要证原式，只需证，只需证．设（1）中方程的三个根分别为，，，且，，，2，3，从而只需证明．又由（1）的讨论知，，．下面先证明，设，则．当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增，所以，所以当时，，从而当，时，．又由（1）知在，上单调递增，在上单调递减．所以当时，，令，解得，由得；当时，，令，解得，由得；当时，，令，解得，由得．综上，，得证．辽宁省名校联盟2024届高三上学期9月联合考试数学试题一、选择题1.设全集，集合，，则集合中的元素个数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个〖答案〗B〖解析〗由题意得，，，所以,故选:B2.已知命题：，，则（）A.p：， B.p：，C.p：， D.p：，〖答案〗D〖解析〗根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以：，的否定是：，，故选：D.3.设、，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由，得，则“”“”；但当时，取，，则，即“”“”.所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.4.2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要.其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位:），q为发动机的喷射速度（单位:），，分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（）（参考数据:，）A.4.44 B.7.2 C.9.2 D.8.8〖答案〗C〖解析〗由题意得，初末质量比最大为10，则该型号单级火箭能获得的最大理想速度．故选：C．5.设为数列的前n项和，已知，，，，则（）A.是等比数列 B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且，，令，可得，又因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以B正确，D项错误；由，，可得，所以数列不是等比数列，所以A项错误；由，所以C项错误．故选：B．6设，若，则（）A. B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，知，且，，，所以，．故选：C．7.已知，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意得的定义域为R，，又，则为增函数，而为R上的增函数，所以为增函数，又，所以，即，即，所以，所以,即不等式的解集为，故选：D.8.已知，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，下面先证明，设函数，则，当时，，在内单调递增，当时，，在内单调递减，所以，所以当时，，设，，令，则，所以，所以①，所以，即．再设，，又由①知，所以在内单调递减，所以，所以，所以，即，所以．综上，．故选：B．二、选择题9.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A项，因为，则，，所以，A项正确；对于B项，因为，所以，所以，所以，B项正确；对于C项，令，，则，C错误；对于D项，由均值定理即可得到，D项正确．故选：ABD．10.定义在R上的连续函数满足，，，，则（）A.B.当x，时，C.若，则为偶函数D.当时，〖答案〗BC〖解析〗对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误；对于B项，当x，时，取，则，所以，所以，B项正确；对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且，则，所以为偶函数，C项正确；对于D项，令，则满足题中所给条件，但当时，，故不成立，D项错误．故选：BC11.设表示不超过x的最大整数，如，．已知函数，则（）A.B.在区间，上单调递减C.当时，有3个零点D当时，有4个零点〖答案〗BD〖解析〗由题意得，则，A错误；当时，，，令，得，所以时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，当且无限趋近于0时，无限趋近于2，，，当时，；当，时，，则在区间，上单调递减，B正确；结合以上分析可作出函数的大致图像，如图：图像可知当时，的图象与的交点可能有2个或3个，故有2个或3个零点，C错误；当时，的图象与的交点有4个即有4个零点，D正确，故选：BD12.设数列满足，，记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，由，所以当时，由二次函数单调性知，所以，，所以，A项正确；，因为，所以，，所以，所以，显然，所以．又，所以，所以，B项错误，D项正确；，，，所以，C项正确．故选：ACD．三、填空题13.若数列a，27，，b，为等比数列，则____________．〖答案〗〖解析〗由题意得，，从而等比数列公比为，所以，所以，故〖答案〗为：14.函数的值域为____________．〖答案〗〖解析〗设，则且，根据反比例函数性质，从而，所以．故〖答案〗为：.15.已知，，则的最小值为____________．〖答案〗〖解析〗，因为，所以当，，上述等号在时成立．故〖答案〗为：16.已知满足，，则____________．〖答案〗〖解析〗由，可得，即，且，可得，设，则，原式化为，即，又由，可得，令函数，显然为增函数，所以，则，所以．故〖答案〗为：.四、解答题17.函数，若“”是“”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．解：由，可得，解得，即，又由，得，当时，；当时，；当时，．因为“”是“”充分不必要条件，所以当时，满足，解得；当时，不符合题意；当时，满足，解得．综上可得，实数的取值范围为．18.已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）判断与的大小关系并证明你的结论．（1）解：设等差数列的公差为，由，可得．又，所以公差，所以．（2）解：．证明如下：由（1）可求得，当时，；当时，，所以.综上所述，对任意的，.19.已知函数，．（1）若，，求a的取值范围；（2）设函数，，若斜率为1的直线与曲线，都相切，求b的值．解：（1）由题意，，得，即在时有解．设，则，易知．令，则，所以单调递增，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以．（2）由题意得，所以，令，解得，，所以直线与的两个切点坐标分别为，，所以切线方程分别为和．令，得，令，解得或．令，得，令，无解．经检验，直线与的两个切点坐标分别为，，综上，或．20.定义在R上的函数满足：①对，，当时，总有；②对，．（1）求；（2）若对任意，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数k的取值范围．解：（1）由条件①知，当时，有，即在R上单调递增．再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．又上式对成立，所以，所以，即．设，因为，所以单调递增．又，所以．所以；（2）构造函数，由题意“对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形”等价于“对任意，，恒成立”．又，令，当且仅当时，即时取等号，则（），当时，，因为且，所以，解得，即；当时，，满足条件；当时，，因为且，所以，即．综上，实数k的取值范围是．21.已知函