2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市2024届高三上学期9月联考数学试题一､选择题1.集合，若，则满足条件的集合的个数为（）A.4 B.5 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，因为，所以满足条件的集合的个数为.故选：D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，其共轭复数是.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.12 B. C.13 D.〖答案〗C〖解析〗因为为上的奇函数，所以，，所以.故选：C.5.的展开式中的系数为（）A.55 B.60 C.65 D.70〖答案〗A〖解析〗的展开式的通项为，，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故展开式中的系数为.故选；A.6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（）A.30% B.40% C.60% D.70%〖答案〗B〖解析〗由题意知，当时，，则，解得，所以，可得，所以，当时，.故选：B.7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．8.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，，且，所以，令，则，所以，由，而，得，取得最小值，则的最小值为．故选：B．二､多选题9.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由函数的图象，可得，所以，可得，当时，，又由，解得，所以，因为.故选：AC.10.已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，当，，时，，故C错误；对于D，因为，故D正确.故选:ABD.11.已知函数，则（）A.有三个零点 B.有两个极值点C.点是曲线的对称中心 D.曲线有两条过点的切线〖答案〗BCD〖解析〗对于B，由题，，令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故B正确；对于A，由的单调性，且极大值，极小值，又，所以函数在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；对于C，令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向下移动2个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，设切点为，，则切线的斜率为，切线的方程为，代入，可得，整理并解得：或，则过点的切线方程有两条，D正确．故选：BCD．12.设符号函数，已知函数，则（）A.的最小正周期为B.在上的值域为C.在上单调递减D.函数在上有5个零点〖答案〗CD〖解析〗当时，，，，当时，，，，当时，，，，即，作出的部分图象，如图所示：由图可知，不是周期函数，故A错误；由图可知，在上的值域为，故B错误；由图可知，在上单调递减，故C正确；令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点，所以在上有5个零点，故D正确.故选：CD.三､填空题13.已知非零向量，的夹角为，，，则___________.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，，所以.故〖答案〗为：2.14.已知，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，则.故〖答案〗为：.15.已知，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗由，可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，又由，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，当时，取得最小值.故〖答案〗为：.16.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________．〖答案〗〖解析〗因为椭圆：的离心率为，则，又因为，即，则，可得，所以，①又因为，可得，②又因为，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即的斜率为．故〖答案〗为：.四､解答题17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的取值集合.解：（1）设等差数列的公差为.因为，所以，则.①又因为，所以，得，②联立①②，解得，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，即为，当时，，解得（舍）或（舍）；当时，，解得，所以，所以满足条件的的取值集合为.18.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；（1）求a；（2）若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间内的车辆数；（3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.解：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，可列等式为，所以.（2）样本中停车时长在区间内的频率为，所以估计该天停车时长在区间内的车辆数是.（3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则，所以，所以确定免费停车时长为153分钟.19.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求大小；（2）若为边上一点，且，求值.（1）解：因为，由正弦定理得，又由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：因为，所以，，，在中，由正弦定理得，即，化简得，即，所以.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求平面BPD与平面夹角的余弦值.（1）证明：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，，平面，所以平面.（2）解：取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则由得取，则，由（1）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.21.已知函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.（1）解：由函数的定义域为，且，当时，无单调性；当时，对任意恒成立，所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间；当时，对任意恒成立，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）解：由不等式，即，则，设，，根据题意，存在，，又由，且，当时，在上恒成立，不满足题意；当时，方程，可得，即在上恒成立，则在上单调递增，所以，即在上恒成立，不满足题意；当时，令，得，，由和，得，则当时，，在上单调递减，此时，因此，当时，存在，使得不等式成立，所以满足题意的的取值范围为.22.设双曲线的右焦点为F，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于A，B两点.（1）若，求的离心率的取值范围；（2）若恒为锐角，求的实轴长的取值范围.解：（1）因为，所以，因为，所以，，所以，则的离心率，又，所以的离心率的取值范围是.（2）因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为.结合，联立得，设，由韦达定理，得由于两点均在的右支上，故，即.则.由恒为锐角，得对，均有，即恒成立.由于，因此不等号左边是关于的增函数，所以只需时，成立即可，解得，结合，可知的取值范围是.综上所述，的实轴长的取值范围是.辽宁省朝阳市2024届高三上学期9月联考数学试题一､选择题1.集合，若，则满足条件的集合的个数为（）A.4 B.5 C.7 D.8〖答案〗D〖解析〗，因为，所以满足条件的集合的个数为.故选：D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，其共轭复数是.故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则成立，故充分性成立；若，则，不一定为，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.设为上的奇函数，且当时，，则（）A.12 B. C.13 D.〖答案〗C〖解析〗因为为上的奇函数，所以，，所以.故选：C.5.的展开式中的系数为（）A.55 B.60 C.65 D.70〖答案〗A〖解析〗的展开式的通项为，，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故展开式中的系数为.故选；A.6.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业､人才､文化､生态､组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：.已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（参考数据：）（）A.30% B.40% C.60% D.70%〖答案〗B〖解析〗由题意知，当时，，则，解得，所以，可得，所以，当时，.故选：B.7.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．8.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为，设，由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，，且，所以，令，则，所以，由，而，得，取得最小值，则的最小值为．故选：B．二､多选题9.函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由函数的图象，可得，所以，可得，当时，，又由，解得，所以，因为.故选：AC.10.已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，当，，时，，故C错误；对于D，因为，故D正确.故选:ABD.11.已知函数，则（）A.有三个零点 B.有两个极值点C.点是曲线的对称中心 D.曲线有两条过点的切线〖答案〗BCD〖解析〗对于B，由题，，令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故B正确；对于A，由的单调性，且极大值，极小值，又，所以函数在定义域上有且仅有一个零点，故A错误；对于C，令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向下移动2个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，设切点为，，则切线的斜率为，切线的方程为，代入，可得，整理并解得：或，则过点的切线方程有两条，D正确．故选：BCD．12.设符号函数，已知函数，则（）A.的最小正周期为B.在上的值域为C.在上单调递减D.函数在上有5个零点〖答案〗CD〖解析〗当时，，，，当时，，，，当时，，，，即，作出的部分图象，如图所示：由图可知，不是周期函数，故A错误；由图可知，在上的值域为，故B错误；由图可知，在上单调递减，故C正确；令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点，所以在上有5个零点，故D正确.故选：CD.三､填空题13.已知非零向量，的夹角为，，，则___________.〖答案〗2〖解析〗因为，所以，，所以.故〖答案〗为：2.14.已知，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，则，则.故〖答案〗为：.15.已知，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗由，可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，又由，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，当时，取得最小值.故〖答案〗为：.16.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为________．〖答案〗〖解析〗因为椭圆：的离心率为，则，又因为，即，则，可得，所以，①又因为，可得，②又因为，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即的斜率为．故〖答案〗为：.四､解答题17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的取值集合.解：（1）设等差数列的公差为.因为，所以，则.①又因为，所以，得，②联立①②，解得，，即数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，即为，当时，，解得（舍）或（舍）；当时，，解得，所以，所以满足条件的的取值集合为.18.某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图（顾客的停车时长均不超过600分钟）；（1）求a；（2）若某天该商场到访顾客的车辆数为500，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间内的车辆数；（3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）.解：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，可列等式为，所以.（2）样本中停车时长在区间内的频率为，所以估计该天停车时长在区间内的车辆数是.（3）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则，所以，所以确定免费停车时长为153分钟.19.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求大小；（2）若为边上一点，且，求值.（1）解：因为，由正弦定理得，又由余弦定理得，又因为，所以.（2）解：因为，所以，，，在中，由正弦定理得，即，化简得，即，所以.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；（2）求平面BPD与平面夹角的余弦