2024届湖北省武汉市部分学校高三上学期九月调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市部分学校2024届高三上学期九月调研考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故选：B2复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，于是，所以.故选：C3.两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，，且，所以.设与的夹角为，，则,所以.故选；D.4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗B〖解析〗因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.5.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为.故选：A6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%〖答案〗C〖解析〗依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C.7.过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，因为切圆于，则，有，因为，则有，，而为的中点，于是，即，，在中，，整理得，所以双曲线E的离心率.故选：C8.已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，

∵，∴点为中点，则，

由为外心，故，则，

由题意可得平面，

故平面与平面的夹角，即为的余角.

在中，，，

则由正弦定理可得，

由球的半径为，故，,

由平面，平面，可得，

则中，,即，

故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.故选:B.二、选择题9.四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第一项与第四项时，此时，当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第三项与第二项时，此时，当对应等比数列的第二项与第三项时，此时，当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第一项时，此时，故选：ABD10.直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A. B.抛物线E的准线方程是C.以MN为直径的圆与定直线相切 D.的大小为定值〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.11.已知实数a，b满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，

则由，得.

对于A：设，，

则在区间上，，为增函数，

所以由题意可得，所以，故A正确；

对于B：由，得,故B错误；

对于C：由A可知在区间上为增函数，

且，则，即,

则,

由,得,

令,则,

所以在上单调递增,

所以,

所以,故C错误；

对于D：又,

令,

则,

所以在上单调递增,所以，

所以,

又，且,

令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以，综上可得，故D正确；

故选:AD.12.若函数存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k的可能取值有（）A. B. C.0 D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，令，显然函数是偶函数，是周期为的周期函数，而，则当时，，当时，，因此，当时，，于是函数的所有零点从小到大排成一列构成公差为的等差数列，A正确；当时，，显然此方程在余弦函数的周期长的区间内只有两个根，取，则方程在内有4个根，显然有，于是，，即有，则不成等差数列，由周期性知，当时，函数不存在连接4个零点依次构成等差数列，B错误；当时，或，取函数的4个连续零点为，显然成等差数列，C正确；当时，或，令，则函数在内有4个零点，并满足，且，显然，，，显然，，因此，所以成等差数列，D正确.故选：ACD.三、填空题13.的展开式中含项的系数为________．〖答案〗〖解析〗由二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为.故〖答案〗为：.14.圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是________．〖答案〗〖解析〗依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，由解得，因此所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的方程为.故〖答案〗为：15.若函数是上的增函数，则实数a的最大值为________．〖答案〗〖解析〗的定义域为，若在上单调递增，则恒成立，即设，则，当时，，函数在上单调递减;时，，函数上单调递增，故，所以，故实数a的最大值为.故〖答案〗为：.16.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则________；________．〖答案〗.〖解析〗由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲甲甲甲，其概率为②：甲甲乙甲，其概率为③：甲乙甲甲，其概率为④：甲乙丙甲，其概率为所以投掷3次后，球在甲手中的概率为.记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，则，即，即又因为，当时，；当时，；当时，，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题17.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．（1）证明：数列为常数列；（2）求数列的前n项和．（1）证明：依题意，，，两式相减得：，即，整理得，即，因此，所以数列是常数列.（2）解：当时，，解得，由（1）得：，于是，则，所以.18.设的内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，且的内切圆半径，求的面积．解：（1）由正弦定理得：，

即，

即，即.

因为，所以，所以.

因为，

所以.（2）面积，

代入，和，整理得：①，

由余弦定理：，得：，

即②，①②联立可得：，解得：或（舍去），

所以.19.近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．（1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；（2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀男生45女生合计参考公式与数据：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：，样本平均数的估计值为：，显然数据落在区间的频率为，落在的频率为，因此样本中位数在区间内，其估计值为；，则，解得，所以.（2）总的成绩优秀人数为：，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200于是的观测值为，所以根据小概率值的独立性检验，认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.20.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD满足，，，棱PD上的点E满足．

（1）证明：直线平面PAB；（2）若，，且，求直线CE与平面PBC所成角正弦值．（1）证明：由题意得：连接，过C做，交BD于T点，如图所示：

，，又在中，解得：平面，平面，平面，平面，平面，平面又相交于点平面平面平面直线平面PAB（2）解：连接AC交BD于O点在和中，由可得，即解得：，满足，所以又又有AC交BD于O点，所以平面，满足PO，CO，DO两两垂直故以O为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，于是有，设平面的法向量为，由取又故所求角的正弦值为所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.21.椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点在椭圆内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值．解：（1）由题意,,得.

离心率,得，

所以椭圆的标准方程为；（2）设，

点,直线方程为,即.

与椭圆方程联立得:,解得:.

点,直线的方程为.

与椭圆方程联立得:,解得:.

三角形面积比.又因为,

所以，

由题意,,

整理得,解得:或.

又由点在椭圆内部,故,即.22.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．解：（1）时，，，令，可得或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以在和上单调递增，在上单调递减.（2），令，可得.由题意可得，是关于的方程的两个实根，所以.由，有，所以.将代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化为，设，即，则，记，则.记，则，所以在上单调递增，所以，所以，在上单调递增，所以.所以，在上单调递减.又，当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2.因为在上单调递减，所以.所以的最小值为.湖北省武汉市部分学校2024届高三上学期九月调研考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故选：B2复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，于是，所以.故选：C3.两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，，且，所以.设与的夹角为，，则,所以.故选；D.4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位〖答案〗B〖解析〗因为,所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象.故选:B.5.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：）为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为.故选：A6.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%〖答案〗C〖解析〗依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C.7.过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，因为切圆于，则，有，因为，则有，，而为的中点，于是，即，，在中，，整理得，所以双曲线E的离心率.故选：C8.已知是半径为的球体表面上的四点，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设球心为，分别取，的外接圆圆心为，连接，

∵，∴点为中点，则，

由为外心，故，则，

由题意可得平面，

故平面与平面的夹角，即为的余角.

在中，，，

则由正弦定理可得，

由球的半径为，故，,

由平面，平面，可得，

则中，,即，

故平面与平面的夹角为，故其余弦值为.故选:B.二、选择题9.四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第一项与第四项时，此时，当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第三项与第二项时，此时，当对应等比数列的第二项与第三项时，此时，当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第一项时，此时，故选：ABD10.直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A. B.抛物线E的准线方程是C.以MN为直径的圆与定直线相切 D.的大小为定值〖答案〗BC〖解析〗对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则，而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.11.已知实数a，b满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意可得，

则由，得.

对于A：设，，

则在区间上，，为增函数，

所以由题意可得，所以，故A正确；

对于B：由，得,故B错误；

对于C：由A可知在区间上为增函数，

且，则，即,

则,

由,得,

令,则,

所以在上单调递增,

所以,

所以,故C错误；

对于D：又,

令,

则,

所以在上单调递增,所以，

所以,

又，且,

令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以，综上可得，故D正确；

故选:AD.12.若函数存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k的可能取值有（）A. B. C.0 D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，令，显然函数是偶函数，是周期为的周期函数，而，则当时，，当时，，因此，当时，，于是函数的所有零点从小到大排成一列构成公差为的等差数列，A正确；当时，，显然此方程在余弦函数的周期长的区间内只有两个根，取，则方程在内有4个根，显然有，于是，，即有，则不成等差数列，由周期性知，当时，函数不存在连接4个零点依次构成等差数列，B错误；当时，或，取函数的4个连续零点为，显然成等差数列，C正确；当时，或，令，则函数在内有4个零点，并满足，且，显然，，，显然，，因此，所以成等差数列，D正确.故选：ACD.三、填空题13.的展开式中含项的系数为________．〖答案〗〖解析〗由二项式的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为.故〖答案〗为：.14.圆心在直线上且与直线相切于点的圆的方程是________．〖答案〗〖解析〗依题意，过切点的圆的半径所在直线方程为，即，由解得，因此所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的方程为.故〖答案〗为：15.若函数是上的增函数，则实数a的最大值为________．〖答案〗〖解析〗的定义域为，若在上单调递增，则恒成立，即设，则，当时，，函数在上单调递减;时，，函数上单调递增，故，所以，故实数a的最大值为.故〖答案〗为：.16.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则________；________．〖答案〗.〖解析〗由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲甲甲甲，其概率为②：甲甲乙甲，其概率为③：甲乙甲甲，其概率为④：甲乙丙甲，其概率为所以投掷3次后，球在甲手中的概率为.记当投掷次骰子后，球在甲手中的概率为，再三次投掷后，即投掷次，球仍在甲手中的概率为，则，即，即又因为，当时，；当时，；当时，，所以.故〖答案〗为：；.四、解答题17.记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．（1）证明：数列为常数列；（2）求数列的前n项和．（1）证明：依题意，，，两式相减得：，即，整理得，即，因此，所以数列是常数列.（2）解：当时，，解得，由（1）得：，于是，则，所以.18.设的内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，且的内切圆半径，求的面积．解：（1）由正弦定理得：，

即，

即，即.

因为，所以，所以.

因为，

所以.（2）面积，

代入，和，整理得：①，

由余弦定理：，得：，

即②，①②联立可得：，解得：或（舍去），

所以.19.近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．（1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；（2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀男生45女生合计参考公式与数据：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：，样本平均数的估计值为：，显然数据落在区间的频率为，落在的频率为，因此样本中位数在区间