全国版高考数学一轮复习第七单元平面向量学案

第七单元平面向量

教材复习课彳“平面向量”相关基础知识一课过对应学生用书

向量的有关概念

［过双基］

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的长度（或称模）

零向量长度为9的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土合

|a|

方向相同或相反的非零向量（平行向量

平行向量0与任一向量平行或共线

又叫做共线向量）

两向量只有相等或不等，不能比

相等向量长度相等且方向相同的向量

较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

［小题速通］

1.若向量a与b不相等，则a与b一定（）

A.有不相等的模B.不共线

C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

解析：选C若a与b都是零向量，则0=1）,故选项C正确.

2.关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.平面内的单位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量

D.共线向量就是相等向量

解析：选C对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B,单

位向量的模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C,方向相反的向量一定是共

线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D,由共线向量和相等向量的

定义可知D不正确，故选C.

3.下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；

②模相等的两个平行向量是相等向量；

1

③若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选A对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；

对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，

故④错误.

综上，正确的命题个数是0.

［清易错］

L对于平行向量易忽视两点:

(1)零向量与任一向量平行.

(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.

-2.单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制.

1.若m〃n,n//k,则向量0与向量A()

A.共线B.不共线

C.共线且同向D.不一定共线

解析：选D可举特例，当〃=0时，满足©Mi,n//k,故A、B、C选项都不正确，故

D正确.

oh

2.设a,b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使二十2=0成立的是()

A.a=2bB.a/1)

1

C.a=——bD.a_Lb

o

ah

解析：选c“百+E=0,且a,b都是非零向量”等价于“非零向量a,b共线且

反向”，故答案为C.

rro向量共线定理及平面向量基本定理

［过双基］

1.向量共线定理

向量b与a(aWO)共线的充要条件是有且只有一个实数/，使得b=/a.

2.平面向量的基本定理

如果ez是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且

只有一对实数人,白，使

2

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

［小题速通］

1.已知a,b是不共线的向量，AB=Aa+b,AC=a+//b,A,〃£R,则B,C

三点共线的充要条件为（）

A.几十〃=2B.4——〃=1

C.4〃=—1D.44=1

解析：选D・.Z,B,。三点共线，

・•・AB//AC,

设AB=mAC(m#0),即Xa+b=^+b,

^zzz,

•\4〃=1.

l=mu,

2.（2018•南宁模拟）已知ei,e2是不共线向量，a=roi+2e2,b=77ei—e2,且曲WO,

若a"嵋的值为（）

11

AB

2-2-

C.-2D.2

［几n=m，ui

解析：选CVaz^b,，a=4b,即雁i+2e2=几（〃ei—e2）,贝小故一=—

［—4=2,n

3.已知点〃是△/回的边8。的中点，点£在边”上，且左=2次，则后=（）

1—►1—►

A.-AC+-ABB.-AC+TAB

26

1—*,1—►1—►3—*■

C.-AC+-ABD.TAC+-AB

6262

解析：选C如图，

——*■—*■—**—►2—>1—*•2—►1.—►—1—►1

EC=^AE,：.EM=EC^CM=~AC+-CB=~AC+-UB-AC)AC+-

AB.

［清易错］

1.在向量共线的重要条件中易忽视“aWO”，否则几可能不存在，也可能有无数个.

3

2.平面向量基本定理指出：平面内任何一个非零向量都可以表示为沿两个不共线的方

向分离的两个非零向量的和，并且一旦分解方向确定后，这种分解是唯一的.这一点是易忽

视的.

1.（2018•大连双基测试）给出下列四个命题:

①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小;

③4a=0（4为实数），贝IJa必为零；

@A,〃为实数，若4a=〃b,则a与b共线.

其中假命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C①错误，两向量是否共线是要看其方向而不是起点或终点；②正确，因为

向量既有大小，又有方向，故向量不能比较大小，但向量的模均为实数，故可以比较大小；

③错误，当a—0时，不论才为何值，都有Xa=0；④错误，当八=〃=0时，Xa=〃b,

此时a与b可以是任意向量.

2.如图，在中，户为线段48上的一点，~OP^rOA+yOB,

且定=2万7,贝！|（）

21O

A.^=-,y=-

—►—►—►—►—►—►—►2—►—►

解析：选A由题意知OP=OB+即，又第=2必，所以OP=OB+&BA=OB+

2,---*■---\2--->1---►btr21

OA—OB)=-OA+-OB,所以x=-,y=-

。00OO

平面向量的运算

［过双基］

1.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

4

求两个向也卜(1)交换律：a+b=b+a；

弓一7三角形法则

加法量和的运(2)结合律：(a+b)+c=a

"匹'平行四边形法则

算+(b+c)

求a与b的

相反向量一

减法-b的和的a—b=a+(—b)

a

运算叫做a三角形法则

与b的差

(1)儿a［=|，||a|；

求实数，⑵当A>0时，la的方向4(〃a)=(4〃)a；

数乘与向量a的与a的方向相同；当2<0时，(4+〃)a=4a+〃a；

积的运算Xa的方向与a的方向相反;4(a+b)=Xa+Xb

当A=0时，Aa=0

2.平面向量的坐标运算

(1)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

⑵平面向量的坐标运算

①向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(矛1,%),b=(如㈤，则

a+b=(XI+E,%+度),

a—b=(荀一千，%一刑),

4a=(几Xi,>%),

a|=5+说

②向量坐标的求法

设/(X1,yi),6(热，%),则AB=("一荀，姓—%)，|AB\=yj~苞―Xi~~•一为_①.

(3)平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(如㈤，则a〃boxi%一不跖=0.

［小题速通］

1.(2018•嘉兴测试)在△/阿中，已知〃是8c边的中点，设方=a,~CA=b,则方

=()

11,

A.,a—bB.^a+b

5

--->---->----►----►1---►1

解析：选AAM=AC+CM=—CA+-CB=—b+~a.

2.设，是线段固的中点，且/6+/C=4/£,则（）

A.AD=2AEB.AD=4AE

C.~AD=2,~EAD.~AD=^EA

解析：选A...〃是线段宽的中点，

：.^B=2AD,

'：^B+~AC=CAE,

：.~AD^2AE.

3.已知AC为平行四边形26缪的一条对角线，第'=(2,4),下=(1,3),则万=()

A.(-1,-1)B.(3,7)

C.(1,1)D.(2,4)

解析：选A由题意可得AD=BC=AC—AB=(1,3)—⑵4)=(—1,—1).

4.已知2(2,3),6(4,-3),且N=3/，则点户的坐标为.

解析：设P(x,。，

•.3(2,3),5(4,-3),且1?=3方，

(x—2,y—3)=3(2,—6)=(6,—18),

x—2=6

」解得x=8,y=-15,

{y—3=-18,

.••点户的坐标为(8,-15).

答案：(8,-15)

5.已知向量a=(1,3),b=(—2,1),cj3,2).若向量c与向量Aa+b共线，则实数

k=.

解析：—+b=A(l,3)+(—2,1)=(k—2,3A+1),

因为向量c与向量jfet+b共线，

所以2(4—2)—3(3A+1)=0,解得"=-1.

答案：一1

6.设。在△Z6C的内部，。为"的中点，且OA+OB+23=0,则△/6C的面积与

△4%的面积的比值为.

6

解析：•・•〃为四的中点，：.OA+OB=2OD,

,・,方+苏+2~OC=0,

：.~OC=-~OD,

・・・。是切的中点,

1

--

2伽

答案：4

［清易错］

1.向量坐标不是向量的终点坐标，与向量的始点、终点有关系.

2.数乘向量仍为向量，只是模与方向发生变化，易误认为数乘向量为实数.

3.若a=(xi,yi),b=(如姓)，则a〃b的充要条件不能表示成上=星，因为热，姓有

可能等于0,所以应表示为荀乃一也%=0.

1.若向量而=(1,2),商=(3,4),则77=()

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(4,6)D.(-4,-6)

解析：选C7"=79+豆=(4,6).

2.已知向量a,b不共线，若下=a+2b,~BC^-4a~b,~CD=-5a-3b,则四边

形封》是()

A.梯形B.平行四边形

C.矩形D.菱形

解析：选A因为第'=a+2b,"5C=-4a-b,~CD=-5a-3b,

所以/=方+南+万=—8a—2b,

所以拓=2南，即直线相与充平行，

而向量为与"不共线，即直线相与必不平行，

故四边形46徵是梯形.

3.(2018•河北联考)已知向量a=(1,2),b=(—2,ni),若@〃卜则2a+3b=()

A.(—5,—10)B.(—2,—4)

C.(—3,—6)D.(—4,—8)

解析：选D由a〃b,得0+4=0,即勿=-4,所以2a+3b=2(1,2)+3(―2,—4)=

(—4,-8).

7

平面向量的数量积

［过双基］

1.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零向量a

设。是a与b的夹8=0°或夕=180°

和b,作/=a,~0B

角，则9的取值范围Qa〃b,。=90°0a

=b,则/加g就是a

二.是0°W^W180°±b

与b的夹角

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a,b的夹角为9,则数量abcos，叫做a与b

定义

的数量积，记作a-b

|a|cosJ叫做向量a在b方向上的投影，

投影

|b|cos。叫做向量b在a方向上的投影

数量积a•b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos夕的乘

几何意义

积

3.平面向量数量积的运算律

(1)a,b=b,a.

(2)(Aa),b=A(a,b)—a,(^b).

(3)(a+b)•c—a•c+b•c.

4.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,再)，9=(a,b).

结论几何表示坐标表示

模|a|:=7a•aa=N"+尤

a•b—+Ji-

夹角CSCOS81~~9-----5f-9----9

°「alibiy/xi+yi•yjx2+

a±b的充要条件a•b=0

a・b与/a//b/的关

a«b|</a//b//刘+M/wq^j+ji■+正

系

［小题速通］

1.设向量ei,e2是两个互相垂直的单位向量，且a=2&—ez,b=e2,则|a+2b|=()

A.2镜B.小

8

C.2D.4

解析：选B•・•向量ere2是两个互相垂直的单位向量，

/.|ei|=1,|e2|=1,ei-e<=0,

・3.——2©ie2,b==©29

，a+2b=2ei+e2,

/.|a+2b|2=4e?+4ei•ez+e：=5,

Z.|a+2b|=乖.

2.（2018•云南检测）设向量a=（—1,2）,b=（q1）,如果向量a+2b与2a—b平行，

那么a与b的数量积等于（）

71

A--万B--]

35

C.-D.-

解析：选D因为a+2b=（—1+2见4）,2a—b=（—2—m,3）,由题意得3（—1+2加）一

1

4（一2一血=0,则%=2-

所以a•b=—1X^—^J+2X1=|.

3.已知|a|=l,|b|=2,a・（a—b）=3,则a与b的夹角为（）

JIJI

A.-B.—

36

JI

C.—D.兀

解析：选D设a与b的夹角为9,由题意知|a|=l,|b|=2,

Va•（a—b）=a2—a•b=l2—lX2Xcos。=3,

cos<9=—1.

又夕e[0,it],

；.a与b的夹角为it.

2JI

4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=l,a与b的夹角为飞一，则J|a+2bl=.

解析：,**（a+2b）2=a2+4a•b+4b2=4+4X2XlX（一^+4=4,|a+2b|=2.

答案：2

—*•3—*■

5.（2018•衡水中学检测）在直角三角形/回中，。=90°,9=2,4。=1,若AD=-AB,

贝IJ苏・~CB=.

q

—*■3—*■

解析：*.*AD=~AB,

—►—►—►—►—►(—►3——►

CD•CB=(CA+AD)•CB=\CA+-AB\•CB

—20J,CB=~CB,

又・.・。=90°,AB=2,AC=lf

...%=的...苏•方=|.

9

答案：2

1”A■■A■,A'|*A

6.(2018•东北三校联考)已知正方形力及力的边长为2,DE=2EC,DF=-{DC+

DB),贝ij庞•DF=.

解析：如图，以6为原点，8c所在直线为x轴，相所在直线为y

轴建立平面直角坐标系.

2I)

则B(0,0),2(2,2).

A'|>>A

由DF=1(DC+DB),知尸为优'的中点，所以户(1,0),故BE

2,DF=(—L—2),

—►—►410

BE•DF=-2—-=——

uu

Fd10

答案：一行

［清易错］

1.0与实数0的区别：0a=0W0,a+(—a)=0W0,a•0=0W0.

2.a•b=0不能推出a=0或b=0,因为a•b=0时，有可能aJ_b.

3.在运用向量夹角时，注意其取值范围为［0,兀］.

1.有下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若a・b>0,则a和b的夹角为锐角，若a・b<0,则a和b的夹角为钝角;

③(a,b)c=a(b•c)；

④若a•b=0,贝lja=0或b=0.

其中正确的说法个数为()

A.0B.3

1。

C.4D.2

答案：A

2.已知a=(l,3),b=(2+2,1),且a与b的夹角为锐角，则实数八的取值范围是

解析：由题意可得a・b>0,且a,b不共线,

2+几+3>0,5

-

即

V2+21且A

-3-

13-

\

答案：(—5,+8)

3.已知向量a,b满足a=(2,0),|b|=1,若|a+b|=4，则a与b的夹角是.

解析：由|a+b|=巾，得(a+b)2=a?+2a•b+b?=4+2a•b+l=7,

/.a,b=1,

|a|•|b|,cos〈a,b〉=1,

cos〈a,b)=1■•又3，b〉£[0,兀],

JI

**.a,b的夹角为耳

答案：y

□双基过关检测■........................................

一、选择题

1.(2018•常州调研)已知4B,C三点不共线，且点。满足/+浸+/=0,则

下列结论正确的是()

—►1—►2—►—>•2—*■1—

A.0A=-AB+-BCB.0A=-AB+-BC

uOuu

—*■1—>2—►—*■2—►1—

C.0A=-AB――BCD.0A=――AB――BC

OOoO

解析：选D'：~OA+~OB+~OC=0,

为△/况■的重心，

---A21---A---A1---►---►

/.OA=--X-(AB+JC)=--(AB+AC)

1►---►---►1---►---►

AB+AB+BC)^--(2.AB+BC)

21

2—*■1—*■

=——AB――BC.

2.（2018•合肥质检）已知。，A,B,C为同一平面内的四个点，若2元+方=0,则

向量下等于（）

2—1—►1—►2—►

L-OA--OBB.--OA+-OB

C.2~OA~~OBD.~~OA+2~OB

解析：选C因为定=/一方，~CB='OB~~OC,

所以2宗+方=2（法一/）+（苏一/）

=~OC-TCOA+~OB=0,

所以定=2亩一无＞.

3.已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=/,|b|=2,则|a—b|的值为（）

A.1B.A/13

C.13D.^7-273

解析：选A由向量a与b的夹角为30°,且|a|=/,|b|=2,

可得a・b=|a|Tb|,cos30°=-\]3X2,X^—=3,

所以Ia-b|=7_a~b—廿+户一2a・b

=：3+4—2X3=l.

4.（2018•成都一诊）在边长为1的等边△26C中，设下=a,~CA=b,第'=c，则a•b

+b•c+c•a=（）

3

A.--B.0

3

C.D.3

•a=d)+00=-1.

解析：选A依题意有a•b+b•c+c

5.已知非零向量a,b满足a•b=0,;a=3,且a与a+b的夹角为宁，则b=()

A.6B.3^/2

C.272D.3

解析：选D由非零向量a,b满足a・b=0,可知两个向量垂直，由a=3,且a与a

12

JI

+b的夹角为牙，说明以向量a,b为邻边，a+b为对角线的平行四边形是正方形，所以|b|

=3.

6.（2017•青岛二模）在平面直角坐标系中，已知向量a=（1,2）,@一表=（；3,1）,c=

(x,3),若(2a+b)〃c,则x=()

所以2a+b=(-2,6),所以6x=

7.在平面直角坐标系xOy中，已知8（0,1）,。为坐标平面内第一象限内一点,

JI———>■—►

且/加C=T，且|%|=2,若％=2勿+〃/,贝!]/+〃=()

A.2^/2B.书

C.2D.4也

---*■JT

解析：选A因为|%|=2,ZAOC^—,

所以p,

又0c=8OA+口OB,

所以(m，革)=/(1,0)+〃(0,1)=(3〃),

所以A=11=y[2,入+“=2巾.

8.己知函数/1（x）=/sin（nx+。）的部分图象如图所示，点6,C

是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于〃£两点，则

（南+南）•（万一万）的值为（）

1

民--

AC.2

1

2

2-D.

解析:选D注意到函数F（x）的图象关于点。对称，因此。是线段庞的中点，BD+BE

=2BC.

又BE—CE=BE+ECBC,

।---*■।1123T

且IBCI=57=5乂兀=1,

X3

因此(BD+BE)•(BE-CE)=2Bd=2.

二、填空题

9.(2018・洛阳一模)若三点/(I,-5),庾a,-2),C(—2,—1)共线，则实数a的

值为.

解析：：/8=(a—1,3),/C=(—3,4),

据题意知AB//AC,

4(a—1)=3X(—3),

即4a——5,

5

5

答案：一7

10.已知办阅9的对角线47和劭相交于。，且2=a,OB=b,贝!J%=,

BC=.(用a,b表示)

解析：如图，~DC=^B=~OB~~OA~^C=~OC~~OB=~~~^7C

一一

OA-OB=—a—b.4之----》

答案：b—a—a—b

11.已知向量a=(2,1),b=(1,—2),若因+z?b=(9,-8)(如刀£R),则勿一刀的值

为.

解析：•.•困+疝=(2%+〃，m—2ri)=(9,—8),

J2R+/?=9,[m=2,

\m—2n=S,[n=5,

ZZ7-77=2—5=—3.

答案：一3

12.若向量a=(2,3),b=(—4,7),a+c=0,则c在b方向上的投影为—

解析：•・，a+c=0,

/.c=—a=(—2,—3),

Ac•b=8—21=—13,且|b|=y[&59

・・・c在b方向上的投影为

I(IIc•bc•b13晅

1C1C°S°b>=ld丁~莉~5•

14

答案:

5

三、解答题

13.已知向量a=(3,0),b=(—5,5),c=(2,A).

(1)求向量a与b的夹角；

(2)若b〃c,求A的值;

⑶若b±(a+c),求k的值.

解：(1)设向量a与b的夹角为e,

Va=(3,0),b=(—5,5),

.'.a•b=3X(—5)+0X5=—15,|a|=3,|b|=yj—

ea•b_____—15正

..cos

~\a\•\b\-3X5^2-2,

又・.・9£[0,n],

3兀

0=-

(2);b〃c,・•・一5A=5X2,：.k=~2.

(3)Va+c=(5,4),又bJ_(a+c),

.*.b•(a+c)=0,

—5X5+5XA=0,

k=5.

14.在平面直角坐标系xcy中，已知向量n=(sinx,cosx),

(1)若/_L〃，求tanx的值;

,JI

(2)若勿与刀的夹角为丁，求x的值.

解：⑴若旌L/?,则勿•〃=().

由向量数量积的坐标公式得坐sinX一坐cosx=0,

•・tanx—1.

it

(2)：〃与A的夹角为T，

..m,n=m"cos]

25

1

2,

TlJI5兀

・.•X—1=至，即X=~L2'

高考研究课平面向量的基本运算

考点考查频度考查角度

平面向量的线性运算5年1考三角形中的线性运算

平面向量的坐标运算5年3考求坐标及待定参数

共线向量定理5年3考已知共线求参数值

g平面向量的线性运算

［典例］⑴(2018•济南模拟)在中，46边的高为CD,若方=a,N=b,a・b

=0,|a|=l,|b|=2,则/〃=()

1122

A.~a——bB.［a——b

OuOO

⑵在梯形/阅9中，已知AB//CD,AB=2CD,M,“分别为CD,6c的中点.若4?=4

+tiAN,贝！|4+〃=.

［解析］⑴：a・b=0,.•.//)=90°,

:.A8=&芈，

U

#4A/5

:・BD=*,4?=V-,：.AD\BD=4:1.

55

—►4—>4,—*■—、44

AD=1AB=二(CB—CA)=只一力.

5555

(2)法一：由/=4嬴+〃下K

---A1---»---►1---►---►

得志=4AD+AC)+u•-(AC+AB),

(H、--►--►f-A［iA---►

则■—1JAB+—AD+ry+v|AC=0,

得住-1项万+（：+高（万+译）=0,

得g/+|〃一1）/+（4+券）万=0.

因为4）不共线,

ri,3

-^+-//-1=0,

所以由平面向量基本定理得《

U+5口=°,

法二：连接廨并延长交26的延长线于T,

4

由已知易得以=？17,

5

4—►—►—►—►

则厂AT=AB=AAM+AN,

5

—>5—►5—►

即AT=~AAM+-UAN,

55

因为T,M,N三点共线，所以^4十彳〃=1.

4

故

4

［答案］(DD(2)-

U

［方法技巧］

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向

量的加、减或数乘运算.

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

17

［即时演练］

1.向量ei,e2,a,b在正方形网格中的位置如图所示，则a—b=(

A.—4ei—2e2B.12ei—4e2

C.ei一3e2D.3ei—e2

解析：选C结合图形易得，a=—ei—4e2,b=-2ei—e2,故a—b=ei—3e2.

2.如图，正方形地/中,£为小的中点，若AE=A

则几十〃的值为()

11

--

2B.-2

C.1D.-1

-A-A.A■A“A［.A.A］.A

解析：选A法一：由题意得/£=/〃+5力6=加+/C—万/8,

A=一2=1,A+JJ=-1)故选A.

法二：利用坐标法，以力为坐标原点，4?所在直线分别为x轴，了轴建立平面直角

坐标系(图略)，设正方形的边长为1,则2(0,0),6(1,0),。(1,1),£(；,11,.•.定=&,1

芯=(1,1),则1)=4(1,0)+“(1,1),

AB=(1,0),A+4=去

Esa平面向量的坐标运算