高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (九)

必修二第八章第六节《空间直线'平面的垂直》解答题提高训练(9)

1.如图，在四棱锥P-4BCD中，PD1底面A8CQ,底面A8C。是直

角梯形，AB//CD,2048=90。，M为侧棱尸£)上一点，已知48=

AD=-CD=-DP=1.

22

(1)证明：平面PBC_L平面P8D；

(2)若DM=：DP,求二面角A-BM-C的大小.

2.在三棱锥P-ABC中，P4JL平面ABC,CA1CB,乙40C=g,点。在棱AB上且是△48C的外

心，点G是AAOC的内心，PA=AB=2.

(1)求证：平面OPG1平面PAC；

(2)求二面角P-0G-B的余弦值.

3.在平行四边形ABCC中,AB=3,BC=2,过A点作CQ的垂线交8的延长线于点E,AE=b.

连接EB交AO于点居如图1,将4ADE沿AO折起，使得点E到达点尸的位置,如图2.

ED

F卜：

图1图2

(1)证明：直线AD_L平面BFP；

(2)若G为PB的中点，，为C。的中点，且平面ADPJ•平面ABC。，求三棱锥G-BCH的体积.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中,=2,E,F

分别为PC,CD的中点，DE

⑴求证：平面/BE1平面BEF；

(2)设P4=a,若三棱锥B—PED的体积V=%求实数

5.如图，四棱锥E-ABCD中，四边形ABCO是边长为2的菱形4ME=4B4E=45。,N/X4B=60°.

(I)证明：平面ADEJ•平面ABE；

(口)当平面。CE与平面ABE所成锐二面角的余弦值手，求直线OE与平面ABE所成角正弦值.

■jr1

6.如图，四棱锥P—ABCD^,AB//DC,^ADC=5,AB=AD=；CD=2,PD=PB=遍,PD工BC.

(1)求证：平面PBD1平面PBC；

(2)在线段PC上存在点M,使得箸=|,求平面与平面尸8。所成锐二面角的大小.

7.如图1,平行四边形ABC。中，AB=2AD,^DAB=60°,M是BC的中点.将△ADM沿。M折

起，使面4DM1面例8C。，N是CO的中点，图2所示.

(口)若/)是棱48上的动点，当筹为何值时，二面角P-MC-B的大小为60。.

8.已知。是△ABC所在平面外一点，DA=DC=AB=AC=BC=2,BC=布,E是80上一点,

BE*

(1)求证：平面ZMC_L平面ABC-,

(2)求三棱锥。-4CE的体积.

9.在四棱锥P-4BCD中，AD〃BC,401平面PAB,/W=2BC=473.

AB=6,PA=PC,点£是48边上靠近B点的三等分点.

(1)证明：CDJL平面PCE；

(2)若4PCE的面积为6百，求点P到底面A8CQ的距离.

10.如图，四棱锥P-48co中，底面ABC。为菱形，/.ABC=60°,PA=PB=AB=2,点N为

AB的中点，

(1)证明：AB1PC；

(2)若点M为线段PO的中点，平面P4B_L平面ABCO,求二面角M-NC—P的余弦值.

11.如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，44i=24B=2,48441=p。为/!&的中点，点C在平面

4BB1为内的射影在线段8。上.

(1)求证：B[DJ_平面CBD；

(2)若团CBD是正三角形，求三棱柱ABC-4/iCi的体积.

12.如图，在三棱柱ABC-aB1C1中，441=2AB=2,NBA&=：1，。为的中点，点C在平面

J

ABB1&内的射影在线段BD上./或1_

ADAi

(1)求证：ByD1平面CBD;

(2)若ACBD是正三角形，求三棱柱ABC-&B1C1的体积.

13.如图，△ABC为正三角形,半圆。以线段8c为直径，。是圆弧8c上入

的动点(不包括B,C点)平面ABC_L平面BCD.

若不存在，/\\

(1)是否存在点。，使得EDIAC?若存在，求出点。的位置,

请说明理由；

(2"CBD=30°,求直线AC与平面43。所成角的正弦值.

14.在多面体4BC0E/中，底面48CC是梯形，四边形AOEF是正方形，AB//DC,AB=AD=1,

CD=2,AC=EC=V5.

(1)求证：平面EBC，平面EBD；

(2)设M为线段EC上一点，3前=前，求二面角M-BD—E的平面角的余弦值.

15.已知空间几何体A8CDE中，△BCD与ACDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的

等腰三角形，平面CDE1平面BCD,平面力BC1平面BCD

(1)试在平面BC£＞内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线E尸均与平面ABC平行，并给

出详细证明；

(2)求三棱锥E-4BC的体积.

16.如图，三棱锥S-4BC的底面A8C和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC_L平面ABC.

(1)若P点是线段SA的中点，求证：54_1_平面尸26

(2)点Q在线段出上且满足AQ=^AS,求B。与平面SAC所成角的正弦值.

17.如图,在三棱柱ABC-A/iCi中,四边形4BB14和A&CCi均为

菱形，平面ABB141_L平面AAiCCi，4414。=$^-AXAB=E

为棱A4上一点，BElAAr.

(1)求证：BE1&G；

(2)设AB=2,求二面角B-CG-A的余弦值.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是菱形，PA=AB=1,PB=PD=也.

R

(1)证明：BD1平面P4C;

(2)若E是PC的中点，在棱PO上是否存在点F,使BE〃平面ACF?若存在，求出言的值，并证

明你的结论.

19.如图，在底面为矩形的四棱锥P—ABCD中，P41底面48CD,E,尸分别为侧

棱尸£>,尸8的中点，且PA=AD=24B=4..

(1)证明：平面4EF1平面PCD，/

(2)若PC是平面a的一个法向量，求a与平面AEF所成锐二面角的余弦值.

20.已知四棱锥P-4BC0,底面ABC。为正方形，且PAJ■底面A8CD,过AB的平面与侧面PC。

的交线为EF,且满足SAPEF：S四边形CDEF=13

Pz

(1)证明：PB〃平面ACE；

(2)当PA==2时，求点尸到平面ACE的距离.

【答案与解析】

1.答案：解：（I）证明：由题意可知BL>2+BC?=CD?,BC180,（2分）

又PD1平面ABCD,BCu平面ABCD,：.BC1PD,（3分）

而P。CBD=D,PDu平面PBD,BDu平面PBD,故8cl平面PBD,(4分)

•••BCu平面P8C,.•.平面PBC1平面PBD.(5分)

(H)解：以方X,配，而为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z,

则。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),M(0,0,1)(6分)

AB=(0,1,0).BC=(-1,1,0)>BM=(-1,-1,1)，

0

设平面A8M的法向量为汨=(卬九zi),则叵黑=：=心二.0

•BM=0(%十Zi—u

令%1=1,则zi=1,.•・诟=(1,0,1)是平面AMB的一个法向量(8分)

设平面8MC的一个法向量为二=(%2，丫2*2)，

nJ-FC=0

1,z2=2,

n-BM=0二T箸〉。令则

2

・・.底=(1,1,2)是平面BMC的一个法向量(10分)

cos<nlfn2>一同同一庇于依+12+22-2(11分)

又二面角4一BM-C为钝二面角，其大小为(12分)

6

解析：(1)证明8。_1_8。，结合PD1平面ABC。，推出8C1PD,证明BC1•平面P8D,然后证明平

面PBC平面PBD.

(H)以方，反，而为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一xyz,求出平面ABM的法

向量，平面8例C的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-BM-C的大小即可.

本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的平面角的大小的求法，考查空间想象能力转化思想

以及逻辑推理能力，计算能力，是中档题.

2.答案：(1)证明：延长0G交4C于点M.

因为点O是直角三角形ABC的外心，所以。力=0B=0C,

所以点。是AB的中点.

因为44。。=(所以A/IOC是正三角形，

所以点G是AAOC的中心，所以“是AC的中点，所以。M1AC.

因为24_L平面ABC,OMu平面A8C,所以2410M.

因为PAn4C=4PA,ACu平面PAC,

所以OM1平面PAC,

而OMu平面OPG,所以平面OPG_L平面PAC.

(2)解：由(1)知，即求二面角P-OM-B的余弦值，连接尸

如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系.

因为C(0,0,0),P(0,l,2),o(与3,0),M(og,o),

所以而=(0,9,2)，MO=(y,0,0).

设平面OP例与平面OMB的法向量分别为沆与汇

因为｛'怒”以配=(。处今

因为P41平面4BC,所以元=(0,0,1),所以cos(沅，涝=M=—缪.

|7n||n|17

故二面角P-0G-B的余弦值为一旦.

17

解析：本题考查线面垂直的判定定理及性质定理，考查面面垂直的判定定理，运用空间向量解决二

面角问题，属于中档题.

(1)延长OG交AC于点M.可得0M1AC,由PAJ_平面4BC,可得PA1。”.然后由面面垂直的判定

定理即可证明平面OPGJL平面PAC；

(2)以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系.求出平面。与平面OM8的法向量记，五.由

cos〈沆,力=器计算即可.

3.答案：(1)证明：如图1,在中，AB=3,AE=百，

所以乙4EB=60°.

在RMAED中，AD=2,AE=V3.

所以N£ME=30。，则NEFA=90。，

所以BE_LAD.

如图2,PF1AD,BFLAD,

PFCBF=F,PF、BFu平面BFP,

•••AD1平面BFP.

(2)解：因为平面4DP_L平面ABCD,

平面AOPn平面力BCD=4D,PFu平面AQRPF1AD,

所以PF_L平面A8CZ).

取BF的中点为O,连接GO,

则GO〃PF,所以G01平面A8CD.

即GO为三棱锥G-BC”的高.

且G。=-PF=-xPAsin300=—.

224

因为，三棱锥G-8CH的体积为

上植稚=QSABCH•GO

11V3

=3X2SABCDXT

=5x越x3=三.

62416

解析：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

(1)先证得BE1AD,进而得到PFJ.4D,BFLAD,即可证明.

(2)证明PF1平面ABCD,取BF的中点为O,连接GO,得到G。_L平面A8CZ),然后求解棱锥的高,

根据棱锥的体积公式计算可得答案..

4.答案：解：Q：AB“CD,CDA.AD,AD=CD=2AB=2,尸分别为CD的中点，

•••4BFD为矩形，AB1BF,

vDE=EC,・•・DC1EF,

又AB"CD,：.AB，EF,

•••BFCEF=E,BF,EFu面BEF

：.ABIjgjBEF,又4Bu面ABE,

平面ABEJ_平面BEF.

(2)vDE=EC,ADC1EF,

又PD“EF,AB//CD,

AB1PD,

又ABLAD,ADCtPD=D,AD,PDu面PAD

所以481面PAD,

又PAu面PAD,

则4B1PA,

又P41AC,ADCiAB=B,AD,ABcABCD

则24_L面ABCD,

三棱锥B-PED的体积V=VB_CED=VE-BCD，

SaBCD=：X2x2=2，到面BCD的距离八=p

%-PED=4-BCD=jX2X-=-=-,

可得a=1.

解析：本题考查面面垂直的判定和棱锥的体积公式，属于一般题.

⑴通过求证48_1面BEF,即可求证平面48E1平面BEF-,

(2)先求证P4上面ABCZ),再利用等体积法得方程，解方程即可.

5.答案：(I)证明：过。作D014E,垂足为。，连接。8,0D

AD=2,Z.DAO=45°,0D=0A=V2>

在△40B中，由余弦定理可得。B2=OA2+AB2-20A-AB-

cos/.OAB=2+4—2xV2X2X———2，

2

OB=V2>

"AB=AD=2,/.DAB=60°,A△4BD是等边三角形，，BD=2.

：.OD2+OB2=BD2,则OB_LOD,

又OD1AE,AECtOB=0,

：.OD1平面ABE,而ODu平面ADE,

平面力DE1平面ABE；

（口）由（I）知4。=OB=遮，AB=2,OA2+OB2=AB2,得。力108,

,:OD_L平面ABE,AZOE。为直线ED与平面ABE所成的角.

以。为原点，以OB,OE,。。为坐标轴建立空间直角坐标系。-xyz,

则4(0,-&,0),B(V2,0.0),D(0,0,V2),设E(0j,0)(t>0),

：.DC=AB=(V2,VI,0)，DE=(0J，—夜)，

设平面COE的法向量为记=（xj,z）,

pHjfn-DC-V2x+y/2y=0令y=L得元=(-1,1,乎t),

In-DE=ty-V2z—0

••・OD1平面ABE,m=（0,0,1）为平面ABE的一个法向量,

由平面。CE与平面ABE所成锐二面角的余弦值等，得

।“—.一、।|?nn|停升tV15「

lcos<m,n>l=—=-^==^==—,解得t=在.

:.tanZ-DEO=器=关=*得NDEO=30°.

故直线DE与平面ABE所成角正弦值为今

解析：（1）过。作0。14后，垂足为O,连接OB,利用勾股定理证明。8J.。。，结合0D14E得出

OD1平面ABE,故而平面4DE1平面ABE；

（口）建立空间直角坐标系，由平面。CE与平面4BE所成锐二面角的余弦值乎求得OE,进一步求得

直线DE与平面ABE所成角正弦值.

本题考查了面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是

中档题.

6.答案:⑴证明：因为四边形ABC。是直角梯形,S.AB//DC,^ADC=p

AB=AD=2,

所以8D=2V2，又CD=4,4BDC=45°,二-7

由余弦定理可得，BC=2V2./

所以CD?=+BC2,故BCLBD,

又因为8CJ.P0,PDCBD=D,PD,B。u平面尸8£),

所以BC1平面PBD,又因为BCu平面PBC,

所以平面PBD1平面PBC；

(2)设E为8。的中点，连结PE,

因为PB=PD=%,所以PEJ.BO,PE=2,

由(1)可得平面力BCD，平面PBD,平面力BCDn平面PBD=BD,

所以PE1平面ABC。，

以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则4(0,0,0),8(0,2,0),(7(2,4，0),0(2,0,0),2),

因为*=|,所以而=|乔，所以

平面PBD的一个法向量为前=(2,2,0)，

设平面ABM的法向量为有=(x,y,z),

因为ZB=(0,2,0)，AM=C，2,》，

则需需3即篇，+*。，

令x=l,则y=0,z=-1,故元=(1,0,—1),

所以|cos<FC,n>|=竺？—

1'1|BC||n|2V：2XV广2-2

故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为今

解析:(1)在直角梯形ABCD中，由边角关系结合余弦定理求得BD,BC的长，由勾股定理可得BC1BD,

又BC1PD,可证明BC1平面尸8。，再由面面垂直的判定定理即可证明；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的

法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.

本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用以及二面角的应用，在求解有关空间

角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，

属于中档题.

7.答案：证明：（I）连接OA,ON,因为AB=24D,^DAB=60°,

M是BC的中点，

ADM是正三角形，取。M的中点。，则AO1DM,

•••面AOMIffiMBCD,：.AO1平面MBCD,

•••MCu平面MBCD,AO1MC,...（2分）

连接ON,△DMN为正三角形，

。是中点，ONA.DM,ON为ADMC的中位线，

ON//MC,故AOCyDM=0

:.CM1平面ADM...（4分）

解：（II）由（I）可知，＞401DM,ON1DM,

以。为坐标原点，以。M,ON,OA方向为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，...（5分）

不妨设4B=2AD=2,

则4(0,0,苧)，F(l,y,0).0),C(|,V3,0),

则荏=（1,当，-9,

T§^P=AAB=(2,yA,-yA).(0<A<1),

得而=（"?当九日（1-4））,祝=（0,倔0）,…（7分）

设记=（x,y,z）为平面MC尸的一个法向量，则有M户•记=0,MC•==0,

即收三）％+/■+苧（1_加=0,令,=],得，z=^-

（V3y=0夙…

.•.沅=（1,0,河一1）），...(9分)

由意记=（0,0,1）为平面BMC的一个法向量,

•.•二面角P-MC-B的大小为60。,

■2A-1.

沅司=壁;』

cos60°=IIT_1

I河•同一2.1了-29

1+

A/W-iy

解得a=I,...(11分)

当张=争寸，二面角P-MC-B的大小为60。....(12分)

解析：(I)连接ON,推导出力。1DM,AO1平面MBCD,AO1MC,连接ON推导出ON〃MC,

由此能证明CM_L平面ADM.

(H)以O为坐标原点，以OM,ON,0A方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系。一尤yz,

利用向量法能求出当枭=|时，二面角P-MC-B的大小为60。.

本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角大小为60。的两线段比值的求法，是中档题，解题时要认

真审题，注意向量法的合理运用.

8.答案：(1)证明：设O是AC的中点，连接OD,OB,

•：DA=DC=AB=AC=BC=2,

ODLAC,OB1AC,OD=OB=V3.

vBD—V6，

BD2=OD2+OB2,

OD1OB,

又OBCMC=。，OBu平面ABC,ACu平面ABC,

OD1平面ABC,

■:ODu平面ACD,

二平面AC。，平面ABC-,

(2)解：在AB。。中，过E作EF〃OO,交OB于F,

D

B

由(1)知I,。。，平面48。，又BE=之BD,

EF_L平面ABC,EF=-0D

33

,i"।122Xy/3V31

•・'可推EA*=jSs.ABrX£T=-X—^—X-=-f

l彼福"IB。伙x°D=1X2丁xV3=1,

2

"V三棱锥D-ACE~V三棱锥D_ABC-V三棱锥E_ABC=?

•••三棱锥。-4CE的体积为条

解析：本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，属于中档题.

(1)设。是AC的中点，连接。。，。8推导出0010B,从而00J■平面ABC,由此能证明平面ZCD_L

平面ABC.

(2)过E作EF〃。。，交。8于F推导出EF1平面ABC,EF=：OD=g，由淡般-ACE=

V-：棱锥D-ABC~~V-：棱触-ABC，能求出三棱锥。-4CE的体积•

9.答案：解：(1)证明：•••AD〃BC,4。J■平面PAB,二BC1平面PAB,/、

：.ADLAB,BCLAB,ADAP=^,/'：,

■：AB=6,E是AB边上靠近B点的三等分点，4E=4,BE=2,

i^.Rt△EBCr^,CE=4,itflt△ADE'V,DE=8»

取AO中点凡连结CF,

在RtACOF中，CD=4V3,•••CD2+CE2=DE2,CD1CE,

由题意知CD=AD,PA=PC,.MPADmAPCD,

Z.DAP=4DCP=pDC1PC,

•••PCQEC=C,CDJ•平面PCE.

(2)解：由(1)知CDJ•平面PCE,.•.三棱锥。一PCE的底面为△PCE,高为CD=46，

在底面梯形ABC。中，连结OE,

△CCE的面积又3=S梯形ABCD-SAADE-S^CE=四？一噜一噜=&百，

设点P到底面ABCD的距离为h,

9•^D-PCE=Vp-CDE，△PCE的面积为6V51,

**,2XSaCEXCD=-xS&CDEX九,

解得h二S*E、CD=3^3

S&CDE

二点P到底面ABCD的距离为3b.

解析：（1）推导出BCJ■平面PAB,从而力D14B,BC1AB,4fMp=壬取4。中点凡连结CF,

推导出CD_LCE,DC1PC,由此能证明C。_L平面尸CE.

（2）连结DE,设点P到底面ABCD的距离为h,由/_p0E=VP-CDE，能求出点P到底面ABCD的距

离.

本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关

系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

10.答案：证明：（1）•••四棱锥P—力BCD中，底面A8C为菱形，

AABC=60°,PA=PBAB=2,点N为AB的中点.

PNJ.AB,CN1AB,

,:PNCCN=N,：.AB1平面PNC,

...pcu平面PNC,：.ABLPC.

解：（2）••・点M为线段PD的中点，平面P4B_L平面ABC。，

又PN1AB,平面PABn平面力BCD=48,PN_L平面ABC。，

以N为原点，NB为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0，V3)，D(-2,V3,0)，M(-l,y,y),很(0,0,0),C(0,V3,0).

AW(-l,y,y).NC=(0,V3,0).NP=(0,0,圾),

设平面MNC的法向量元=(x,y,z),

nil(n-NM=—x+—y+—z=0

则_(2,2,

.n-NC=V3y=0

取％=遮，得元=(4,0,1),

平面NCP的法向量记=(1,0,0),

设二面角M-NC-P的平面角为仇

V3L

\mn\V

nilCOSn0=——=-%=——

人J|7n||n|lxJ7.

二面角M-NC-P的余弦值为叵.

7

解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

(1)推导出PN_LAB,CNLAB,从而4B_L平面PNC,由此能证明4B1PC.

(2)以N为原点，NB为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面

角M-NC—P的余弦值.

11.答案：证明：(1)设点C在平面ABB14内的射影

为E,

贝IJE6BD,CEu平面CBD.且CEJ•平面4BB14,

&Du平面力BB14,•••CE1BXD,

在△A8D中，AB=AD=1,/-BAD=p

则/ABD=^.ADB=.=匕

23

在△4出。中，A1B1=AXD=1,N8通道=争

2n

则/4&。=^A1DB1=亍=,，

故4B1OB=兀一三一*=故BOl/D,

•••CECBD=E,：.BE1平面CBD.

(2)方法一:以BC-ABIQ=3匕1-48C=^C-AiAB'

由(1)得CE，平面ABBp4i，故CE是三棱锥C-4AB的高,

团CBD是正三角形，BDAB=AD=1,CE=—，

2

SA1AB=\\AB\•\AA1\sm/-BAA1=1x1x2xsin^=y,

'CE=』义*=7,

故勿BC-4BC=3%_4何=I，故三棱柱ABC-&B1G的体积为:.

方法二：将三棱柱补成四棱柱如图，因Sp.c=SB4c且高一样，

故以BCfBiQ=VAPC-AQQ，

故KABCT遇[J=勿PCT1QG=5K4BB]&_PCC]Q，

由(1)得CE1平面4BB14,故CE是四棱柱4BB14-PCGQ的高，

故匕送[-PCC]Q=^ABB1A1'CE=ABxAA^siuZ-BADxCE=1x2xsin—x-=-»

ioq

=

故以BC-41B1G2^BB1A1-PCC1Q=[，故二棱柱4BC—A181G的体积为[.

解析：本题考查线面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

(1)设点C在平面ZBB141内的射影为E,推导出CE1B[D,BD1BXD,由此能证明&C，平面CBD；

(2)方法一：二棱柱4BC—AiBiG的体积I^4BC-4181cl=3匕]_48c=3%_4148，由此能求出结果.方

法二：将三棱柱补成四棱柱，进而求解.

12.答案：(1)证明：设点C在平面内的射影为E,

则E6BD,CEu平面CB。，且CE_L平面4BB14，

因为u平面4BB14,所以CE1BW，

在AABD中，AB=AD=1,/.BAD=p

7T

7T——

则NAB。=AADB=,,3=；'

在AAiBi。中，ArBr=ArD=1,48出。=等，

27r

则.7r一]7T,

Z.A[B\D=Z.A\DB\=—.2=—

故乙81。8=7T—=p故BD1.B]D,

又CECBD=E,CE,BDu平面CBD,

故B1D，平面CBD；

G

(2)解:方法一:^ABC-A1B1C1=3%］一480=^C-AXAB^

由(1)得CE1平面4BB1A1，故CE是三棱锥C-41/B的高，

△CBD是正三角形，BD=AB=AD=1,CE

2

S/UpW=34B|・|<4|sinLBAA\=x1x2xsin三=苧，

CXX

Vc-A1AB=-^=|TT=?

3

故匕BCT/iCi=3%_a1aB=-»

故三棱柱ABC—Cl的体积为也

方法二：将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，

故KlBCYiBiG=VAPC-AIQCI，

故以BC-41B］C1=^APC-A-^QCx=］以眄力产心。，

由(1)得CE工平面488遇1，故CE是四棱柱ABBMi-PC^Q的高,

故I：",”」.>|..1CE=ABxA4isinLBADx(I.

Yrnyf33

=1x2xsin-x——=一，

322

13

V

故匕8CFiBiQ=2ABB1A1-PCC1Q=［，

故三棱柱ABC-&B1G的体积为右

解析：本题考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力和

运算求解能力，属于中档题.

(1)先设点C在平面488送1内的射影为E,证明CEJ.B］。，再根据边角关系求出］即

BD1B.D,然后结合线面垂直的判定证明即可；

(2)方法一：根据K4BC-&B1cl=3%]_4BC=3VC-A[AB，结合几何关系求出匕'-4遇8即可求解;

方法二：采用割补法将三棱柱补成四棱柱，得到CE是四棱柱ABBMi-PCGQ的高，求出

匕BBiA-PCCiQ，再根据%8C_*]BICI=即可求解.

13.答案：解：(1)。是圆弧8C上的动点(不包括B,C点)，假设存在点D,1~

使得BDJ.AC.

过点。作DE1BC,：•平面ABCJL平面BCD,平面ABCn平面BCD=BC./•\

DE•L平面ACB,ACu平面ABC,"V"ZTJT

DE1AC,又DECBD=D,/D

•••4C1平面BCD,而44cB=60。，得出矛盾.

.••假设不正确.因此不存在点。，使得BDJL4c.

(2)设圆心为点。，连接OA,分别以OC,OA,为y轴作空间直角坐标系.

设OC=1,0(0,0,0),4(0,0,V3),8(0,-1,0),£>(y,1,0)，C(0,h0).

BA=(0,1.V3)，丽=(冬|,0),CA=(0,-1,>/3).

设平面A3。的法向量为：n=(x,y,z),则五.瓦？=元.前=0，

•••y+V3z=0，-x+|y=0>

取元=(3,—g,l)，

.♦・直线AC与平面48。所成角的正弦值=|cos<n,>I=叫禺=高=等

解析：(1)D是圆弧BC上的动点(不包括B,C点)，假设存在点。，使得BD1AC.过点。作DE1BC,

利用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理得出矛盾，即可判断出结论.

(2)设圆心为点。，连接OA,分别以OC,OA,为y轴作空间直角坐标系.设平面AB。的法向量为：

元=(%J，z),则有・丽=元•前=0，可得汇利用直线4c与平面A3。所成角的正弦值=|cos<元,

方>|=黑即可得出・

本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

14.答案：(1)证明：-：AD=1,CD=2,AC=小，

AD2+CD2=AC2,

.••△/WC为直角三角形，且4D1DC,

vED=1,CD=2,EC=V5，

ED2+CD2=EC2,

.•.△EDC为直角三角形,且DEIOC,

又四边形AOEF是正方形，

.--AD1DE,

又•：AB//DC,：.AD1AB.

在梯形ABC。中，过点作B作BHJ.CD于〃,

二四边形A8H£＞是正方形，二乙1。8=45。，

在△BCH中，BH=CH=1,

•••Z-BCH=45°,BC=V2，

•••ABDC=45°,•••/-DBC=90°,•••BCLBD.

vED1AD,ED1DC,ADDC=D,ADc^FffiABCD,OCu平面A8CD

•••ED，平面ABCD,

又•••BCu平面ABCD,ED1BC,

因为BDnEC=D,8。＜2平面£8£＞,EDu平面EBZ),

•••BC，平面EBD,BCu平面EBC,

二平面EBC1平面EBD.

(2)解：以。为原点，。A,DC,DE所在直线为尤，y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则。(0,0,0),E(0,0,1),8(1,1,0),C(0,2,0).

令M(O,yo，z())，

则前=(O,yo，z()-1)，EC=(0,2,-1),

3EM=EC>■■(0,3yo(3z0-3)=(0,2,-1),

22

所以丽=(1,1,0)，DM=(0,|,1),

•・•BC，平面EBD,~BC=(一1J，0),

可取元=(一1,1,0)为平面EBD的一个法向量.

设平面MBD的法向量为沅=(xj,z),

(in•DB=%4-y=0

贝“一-=-j22,

m•DM=-y4--z=0

3Z3

令〉=1,得记=(-1,1,-1),

、mn2瓜

，cos<m,n>=——=-7=-F=-，

因为二面角M-BD-E的平面角为锐角，

二二面角M一BD-E的平面角的余弦值为渔.

3

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于拔高题.

(1)推导出AD!■DC,ED1DC,AD1DE,ZM1AB.过点作8作BH_LCD于H,从而四边形

是正方形，8。18。.再由£7)14。，ED1DC,得ED_L平面A8CD,从而ED1BC,进而BCJL平面

EBD,由此能证明平面EBC，平面EBD.

(2)以。为原点，DA,DC,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求

出二面角M-BD-E的平面角的余弦值.

15.答案：解：(1)在面CDE中，过E作EQ1CO,垂足为Q,

在面BC。中，过点Q作QO〃BC,交BD于O,则直线。。即为所求.

证明如下：

在面ABC中，过A作4PJ.BC,垂足为P,

•••平面CDE平面BCD,交线为CD,EQ1CD,EQu面CDE,

：.EQ1平面BCD；

同理，API平面BCD；

EQ//AP,

又EQ<t面ABC,APu面ABC,

■.EQ〃面ABC,

•:QO//BC,OQ仁面ABC,BCu面ABC,

•••OQ〃面ABC,

又OQCEQ=Q,OQ,EQu平面EOQ,

所以平面EOQ〃面ABC,

任意取OQ上一点F,则EFu平面EOQ,

所以EF〃面ABC；

(2)依题CO=CE=DE=BC=BD=2,

依题三角形ABC中，AC=AB=3,HAP1BC,

所以P是BC中点，

所以AP=V32—l2=2鱼，

x2x28=20，

连接。尸，则

又平面ECD，平面ABC,交线为BC,DPu平面BCD,

所以DP1平面ABC,

由⑴知EQ〃面ABC,

则点E到平面ABC的距离与Q到平面ABC的距离相等，

因为EDEC，EQ1CD,

所以。为CD中点，

取C尸中点G,

所以QG=：DP且QG〃DP,

所以QG1平面ABC,

Q到平面距离d=IDP==乎，

；•三棱锥E-ABC的体积/MBC=[XdxS^BC

=%x立x2a=渔.

323

解析：本题考查面面平行的判定及性质，考查三棱锥的体积的求法，是中档题.

⑴过E作EQ，平面BCD,交C。于。，过A作AP1平面BCD,交BC于P,则EQ〃/1P,过。作QO〃BC,

交BD于0,从而EQ〃AP,QO//BC,进而平面EQO〃平面ABC,由此得到直线0。上任意一点F

与E的连线EF均与平面A8C平行；

(2)求出AP=2五,S4ABe=2V2,点E到平面ABC的距离d=抄P=苧，由此能求出三棱锥E-ABC

的体积.

16.答案：(I)证明：•・•△4BC和△SBC都是等边三角形，且有公共边2C,

•••P是SA的中点，•••SA1BP,SA1CP,

vBPCCP=P,BP.CPC平面PBC，：,SA，平面PBC.

(H)解：取8C的中点0,连结04,0S,由条件得。4,BC,0S两两垂直，

以0为坐标原点，04为x轴，0B为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

设力B=2,则4。=OS=V3，

则A(V5,O,0),0),C(0,-l,0),S(0,0,V3),(2(苧,0,y)，

•••》=(⑸,0),SA=(V3,0,-V3),丽=(誓,-1,净,

设平面SAC的一个法向量为元=(x,y,z),

则(元-CA=V3x+y=0

令x=1,得记=(1,-V3,1)>

I元•S4=>/3x—y/3z=0

设8Q与平面SAC所成角为。,

|丽•殖_等+声+芋_3-/10

则与平面所成角的正弦值为：

8QSACsin0|BQ|-I"l--日匾一年，

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(I)推导出48=SB=AC=SC,SA1BP,SA1CP,由此能证明£41•平面PBC.

（口）取BC的中点0,连结04,OS,以0为坐标原点，04为x轴，。8为），轴，OS为z轴，建立空

间直角坐标系，利用向量法能求出8。与平面S4C所成角的正弦值.

17.答案：(1)证明：•••平面「平面A41C】C,平面

ABB^n平面=AAX,BEi-AA^BEu平面ABBiAi，

•••BE_L平面AAiGC，

又•••Gau平面A41clC,

BE1C1A1.

(2)解：作EF1CG于F,则EFl4公,

•••平面A41cle_L平面4BB14,平面4幽&C平面44心。=

AAX,EFu平面AAiGC,

•••EF，平面4BB1人,

在菱形ABBiAi中，rAB=2,Z_B力力】=—,.，.AE=BE=V2,

在菱形AAiCiC中，•；=2,Z.ArAC=pEF=V3.CF=V2-1,

以E为坐标原点，以EA,EB,EF所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz,

则8（0,企,0）,81（—2,夜,0）,C（&-1,0,遮），

.•.西=（-2,0，0）,BC=（V2-1,-V2,V3）.

由（1）知BE_L平面/L41C1C,.•.平面4G。的一个法向量苏=（0,1,0）,

设平面3C的法向量五=（%,y,z）,贝信普即超之一河+岛=。，

令z=鱼可得平面BGC的一个法向量通=（0,百,企），

―>~~►n^njMV15

・•・COSV几1,n2>=「二=——F=——，

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