名师教案 高中数学人教B版 必修 第二册 指数函数的性质与图象

第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2指数函数的性质与图象教学设计本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识一一对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得较系统函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。考点学习目标核心素养指数函数的概念理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性数学抽象指数函数的性质与图像掌握指数函数的性质和图像直观想象指数函数的定义域、值域会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域数学运算与指数函数有关的复合函数掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断数学运算指数函数性质的应用能借助指数函数性质比较大小，会解简单的指数方程、不等式数学运算【教学重点】1、通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。2、能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。【教学难点】1、指数函数中底数的范围分析，以及如何由图像和解析式归纳指数函数的性质。预习教材P9－P13的内容，思考以下问题：1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图像，可归纳出指数函数具有哪些性质？3．指数函数的图像过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间。当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半。你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间。当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半。你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗？一种死亡已经一万年的有机体，其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少？利用本小节我们要学习的指数函数知识，可以顺利地解决情境中的问题。【尝试与发现】假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则x=57假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则x=5730时，y=；x=11460时，.由此可知，y与x的关系可以表示y=上述尝试与发现的函数关系中，自变量出现在指数在中.指数函数一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.（以下谈到指数函数y＝ax时，均默认为a是常数，a>0且a≠1）下面来研究指数函数的性质与图像.作为例子，我们首先分析指数函数y=2x的性质，并得出其对应的图像.【尝试与发现】分别求出指数函数分别求出指数函数y=2x在自变量取-2，-1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1,2时所对应的函数值（填写下表），并由此猜测指数函数y=2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由.x-2-1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)12y=2x根据指数运算的定义，可以得到指数函数y=2x的性质：（1）定义域是R；（2）值域是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函数；（4）单调性是增函数.根据以上性质可知，函数y=2x的图像都在x轴上方，而且从左往右图像是逐渐上升的.通过描点（如左下图所示），可以作出y=2x的图像，如右下图所示.函数y=2x的单调性也可借助4.1.1中练习B第3题的结论来理解。下面来研究指数函数y=的性质与图像.【尝试与发现】给出研究指数函数y=给出研究指数函数y=的性质与图像的方法，并用该方法得出这个函数的性质：（1）定义域是R；（2）值城是（0，+∞）；（3）奇偶性是非奇非偶函数；（4）单调性是减函数然后在右图中作出y=的图像。注意到，因此不难看出y=和y=2x是有联系的：当这两个函数的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等.也就是说，如果点（x0，y0）在y=的图像上，那么这个点关于y轴的对称点（-x0，y0）一定在y=2x的图像上；反之，y=2x的图像上任意一点（x0，y0），其关于y轴的对称点（-x0，y0）也一定在y=的图像上.因此，指数函数y=2x和的图像关于y轴对称，如下图所示.【尝试与发现】（1）你能指出指数函数y=2（1）你能指出指数函数y=2x和y=的图像的公共点吗？（2）你能得出指数函数y=ax一定过哪个定点吗？函数y=2x和的图像的公共点为（0，1）.事实上，因为a0=1（a≠0），所以y=ax的图像一定过点（0，1）.由以上实例，可以归纳出指数函数y=ax（a>0且a≠1）具有下列性质：定义域是实数集R..（2）值域是（0，+oo），因此，对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方.（3）函数图像一定过点（0，1）.（4）当a>1时，y=ax是增函数；当0<a<1时，y=ax是减函数。【想一想】为什么要限定a>0且a为什么要限定a>0且a≠1？【典型例题】例1利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）0.8-0.1与0.8-0.2（2）2.5a与2.5a+1.分析：每一组的两个值都有共同特征，因此可以选取合适的函数，用函数的单调性来解决问题.解：（1）因为0.8-0.1与0.8-0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y=0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2（2）因为2.5a与2.5a+1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y=2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a+1，所以2.5a＜2.5a+1例2已知实数a，b满足，试判断6a与6b的大小.解：因为函数在在实数集R上是减函数，所以由可知a＜b.又因为y=6x在实数集R上是增函数，所以6a＜6b二、用信息技术作指数函数的图像在GeoGebra中，只要输入指数函数的表达式，就可以得到对应的图像，如下图所示是用GeoGebra作出的图像，你能从中得出什么规律吗？用GeoGebra也能方便地算出死亡已经一万年的有机体：其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少，即根据这一节课的内容特点以及学生对指数幂的掌握情况，指数函数的图像形成过程是学生缺乏