高中数学《向量加法运算及其几何意义》导学案

第二章平面向量_________________

DIERZHANG2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量加法运算及其几何意义

卜课前自主预习

1.向量的加法

⑴向量加法的定义

E求两个向量和的运算叫做向量的加法.

(2)向量加法的运算法则

已知非零向量Q,人在平面内任取一点八，作

7T5=Q.比=力.则向量回卫叫做Q与》的

和，记作区.即Q+b=AB+_BC=印八C.

角

这种求向量和的方法.称为

形

向量加法的四三角形法则.

向法

对于零向量与任一向量a

里则

的和有Q+0=回()+a=

求辿.

和

的

平B____a

法以同一点。为起点的两

行

则个已知向量为邻边

四

作口。八C8,则因以O为

边

起点的对角线OC就是。

形

与b的和.我们把这种作向量和的方法叫做

法

向量加法的⑼平行四边形法则.

2.向量加法的运算律

(1)交换律：a+b=b+a；

(2)结合律：a+方+c=(a+A)+c=a+S+c).

3.向量的三角形不等式

对任意两个向量a,b,均有|a+"蚂W|a|十四

当a,b同向时有|a+b|回一=|a|+|Z||；当a,b反向时有|@+田园

三⑷一族|(或同一⑷).

sG自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)两个向量相加结果可能是一个数量.()

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

—►

(1)对任意四边形A3c。，下列式子中不等于3c的是()

-►—>—>—>—►

A.BA+ACB.BD+DA+AC

—►—►—►—►—►-►

CAB+BD+DCD.DC+BA+AD

答案C

—►—►-►

解析A项，BA+AC=fiC；

—►—►—►—►—►-►

B项，BD-\-DA+AC=BA-\-AC=BC；

—►—►—►—►—►-►

C项，A8+8D+QC=AD+QC=AC；

—►―►—►—►—►—►—►—►-►

D项，DC+BA+AD=(BA+AD)+DC=BD+DC=BC.故选C.

—►—►

(2)如图所示，在正六边形A3CDE/中，若AB=1,则囚6+收十

—►

C。等于()

A.1B.2

C.^3D.小

答案B

解析'：AB+FE+CD=AB+BC-\-CD=AD,

~►—►—►-►

\AB+FE-\-CD\=\AD\^2.

(3)(教材改编P81例1)如图所示，已知向量a,b,c不共线，求作

向量a-\-b~\~c.

解a,b,c不共线中隐含着a,b,c均为非零向量，因为零向

量与任一向量都是共线的.利用三角形法则或平行四边形法则作图.

—►—►

解法一(三角形法则)：如图(1)所示，作BC=b,则AC=

-►—►―►—►-►

a+b,再作CD=c,则AQ=AC+C£)=(G+5)+C,即AD=a+Z>+c.

B

(1)(2)

解法二(平行四边形法则)：b,c不共线，如图(2)所示.

—~"►

在平面内任取一点0,作0A=a,0B=b,

—►—►

以0A,03为邻边作口0AQ3,

-A-A

则对角线0。=。+瓦再作0C=c,

以OC,0。为邻边作口OCED

则0E=a+8+c.

I课堂互动探究、

探究1向量的三角形和平行四边形法则

例1如下图中(1)、(2)所示，试作出向量。与方的和.

解如下图中(1)、(2)所示,

首先作OA=a,然后作则08=。+4

拓展提升

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向

量的起点重合.

②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的

向量，即为两个向量的和.

(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤

①平移两个不共线的向量使之共起点.

②以这两个已知向量为邻边作平行四边形.

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向

量的和.

【跟踪训练1】（1）如图，已知a,b,求作。+岳

b

ab

①②

⑵如图所示，已知向量a,b,c,试作出向量a+方+c.

解（1）如图所示.

Cb

♦M——

AB

®AC^a+b®AC=a+b

⑵作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点。，作向量。4

=«,接着作向量A8=〃，则得向量08=a+b；然后作向量3C=c,则

向量OC=(a+Z>)+c=a+〃+c即为所求.

c

作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点0,作向量0A=

―A-A―A

a,OB=b,OC=c,以0A,03为邻边作口OAQB,连接0Q,则OD

—►—►—►

=04+05=。+》.再以OQ,0C为邻边作口OOEC,连接0区则0E

—►—►

=OD^OC=a+b+c即为所求.

探究2向量的加法运算

例2如图，在△ABC中，。为重心，D,E,尸分别是BC,AC,

A8的中点，化简下列三式：

A

(1)BC+CE+EA；

—►—►-►

(2)OE+AB+EA；

-A―►-►

(3)AB+FE+DC.

—■►—►—►―►―►—►

解^BC+CE^-EA=BE-^EA=BA.

—►—►—►―►—►—►―►—►-►

(2)OE+AB-]-EA=(OE+EA>)+AB=OA-\-AB=OB.

―►—►—►—►—►—►—►—►—►

^AB+FE+DC=AB+BD+DC=AD+DC=AC.

拓展提升

解决向量加法运算时应关注两点

(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算.

(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、

终点字母的排列顺序，特别注意勿将。写成0.

【跟踪训练2】化简或计算:

—►—►-►

(DCQ+BC+A&

-►-►—>—►—>

(2)AB+£)F+CD+BC+FA.

解(1)CD+BC+AB=(?1B+BC)+CD=AC+CD=AD.

―►—►―►—►—►—►—►—►—►―►—►

(2)AB+DF+CD+5C+M=(AB+SC)+(CD+DF)+M=AC+

­►―►—►-►

CF+M=AF+M=O.

探究3利用向量加法证明几何问题

-►

例3已知四边形A3CQ的对角线AC与BZ)相交于点。，且A0

—►—►-►

=0C,DO=OB.

求证：四边形ABC。是平行四边形.

证明AB=AO+OB,DC=DO+OC,

y.'：AO=OC,OB=DO,：.AB=DC,

.-.AB=DCS.AB//DC,

二.四边形ABCD为平行四边形.

拓展提升

怎样用向量方法证明几何问题

用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应

的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还

原成几何问题.

【跟踪训练31如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD

的反向延长线及延长线上取点E,R使BE=DF,求证：四边形AECr

是平行四边形.

证明'：AE=AB-\-BE,FC=FD-\-DC,

-A-A-A-►

又AB=DC,FD=BE,

—►—►

：.AE=FC,即AE与FC平行且相等.

，四边形AEC厂是平行四边形.

探究4向量加法的实际应用

例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行

的速度的大小为1味km/h,方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的

大小与方向.

船怎么跑偏了

大人，要想船垂直疝

舜怎么才能?

江，只需要船速度的

垂直渡江？,方向垂直河岸即可,

解如图所示，QA表示水速，03表示船实际航行的速度，0C表

示船速，由QB=0C+0A易知|BC|=|OA|=10,又NO8C=90。，所以

|OC|=20,所以N3OC=30。，所以NAOC=120。，即船行驶速度为20

km/h,方向与水流方向的夹角为120°.

拓展提升

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤

【跟踪训练4】在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东

35。的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南

偏东55。的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路

程及两次位移的和.

—►—►

解如图所示，设A3,3c分别表示救护车从A地按北偏东35。

方向行驶800km,从3地按南偏东55。的方向行驶800km.

则救护车行驶的路程指的是|A3|+|3C|；两次行驶的位移的和指

-A-A-►

的是A8+3C=AC

—►—►

依题意，有HB|+|8q=800+800=1600(km).

-►

又a=35。，4=55。，/48。=35。+55。=90°.所以|4。|=

A/lW+m2=^80°2+80()2=80M(km).

其中NBAC=45。，所以方向为北偏东35°+45°=80°.

从而救护车行驶的路程是1600km,两次行驶的位移和的大小为

80OJ2km,方向为北偏东80。.

f---------------------------1舜f提知------------------

1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则

(1)两个法则的使用条件不同

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法

则只适用于两个不共线的向量求和.

(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.

DC

AB

—►—►-A-►

如图所示：AC=AB+AD(平行四边形法则)，又因为3C=

—►

AD,

―►―►-►

所以AC=A8+3C(三角形法则).

(3)在使用三角形法则时一，应注意“首尾连接”，这个方法

可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应

注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.

2.向量与非零向量心方的模及方向的关系

(1)当a与8不共线时，a+b的方向与a,方都不相同，且|a

+b\<\a\+\b\.

(2)当a与方同向时,a+b,a,b的方向相同，且|a+b|=|a|

十瓦

(3)当a与力反向时，若|a|2|)|,则a+8与a的方向相同，

且|a+"=|a|一步|.

若⑷〈网，则a+力与力的方向相同,且|a+8|=|加一⑷.

卜课堂达标自测

1.下列等式错误的是（）

A.a+O=O+«=a

—►―►—►

B.AB+5C+AC=0

—►—►

C.A8+3A=0

—►—►—►—►-►

X）.CA^AC=MN+NP+PM

答案B

解析对于A,根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满

足交换律，所以A正确；对于B,根据向量的三角形加法运算可得A3

—►—►—►—►-►

+BC=AC,故原式等于2ACW0.故B错误；对于C,可知A3与BA共

―►—■►—►

线且方向相反，所以A8+84=0,所以C正确；对于D,可知"N+

—►—►—►―►—►-►

NP+PM=MP+PM=O,又CA+AC=O,可知D正确.故选B.

―►―►-►

2.设尸是△4BC所在平面内一点，且BC+BA=28P,则（）

—►—►—►—►-►

A.B4+PB+PC=0B.B4+尸3=0

―►—►—►―►

C.PC+必=0D.P3+PC=0

答案c

―►―►-►

解析因为尸是△A3C所在平面内一点，BC+BA=2BP,所以

尸是4c的中点，所以尸C+用=0.

3.若a等于“向东走8km”,力等于"向北走8km”,则|a+

b\=,a+b的方向是.

答案8啦km北偏东45°

解析如图所示，设BC=b,

则AC=a+b,且△ABC为等腰直角三角形.则14cl=8啦，ZBAC

=45°.

—>—►—►

4.在菱形A8CQ中，ZDAB=60°,\AB\=1,则|8C+C@=

答案1

—►—►-►

解析由题意知△ABD为等边三角形，...|BC+8|=|BD|=1.

5.如图，。为正六边形ABCQE尸的中心，根据图示计算：

(1)OA+OC；

—►—►

(2)BC+FE；

-A-A

(3)0A+FE.

解(1)因为四边形0ABe是以04,0c为邻边的平行四边形，

—►—►-►

03为其对角线，所以。4+0C=0R

—>—>—►­►

(2)因为与EE方向相同且长度相等，所以8C与EE是相等向量,

―►—►—►—►—►-►

故8。+房与8C方向相同，长度为3c长度的2倍，因此8C+EE可用

~►—►—►-►

D4表示.所以8C+bE=-£U.

—►—►—►-►

(3)因为0A与FE长度相等且方向相反，所以OA+/^=0.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.在平行四边形ABCQ中，下列式子：

—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►-►

®AD=AB+BD；®AD=AC+CD；@AD+AB^AC；®AB+BC

―►—►—►—►—►—►—►-►

=AC；(5)AD=AB+BC+CD；®AD=DC+CA.

其中不正确的个数是()

A.1B.2C.4D.6

答案A

―►—►-►

解析OC+CA=D4,故⑥不正确；其他都正确.

-►—►―►—►

2.设a=(AB+CO)+(3C+D4),b是任一非零向量，则在下列

结论中，正确的是()

①a〃岳②a+Z>=a；③"+)=8；④|a+b|<|a|+网；

⑤|a+Z>|=|a|+步

A.①②B.①③

C.①③⑤D.②④⑤

答案C

—•►-

解析a=(AB-\-CD)+(BC-\-DA)=AB+BC+CD+DA=0,易知

①③⑤正确.故选C.

3.已知Q,E,尸分别是△ABC的边AbBC,CA的中点，则下

列等式中不正确的是()

\.FD+DA=FA

B.F£）+DE+EF=O

-A-A-A

C.DE+DA=EC

—►―►―►

D.DA+DE=FD

答案D

-A-A-A-A

解析由向量加法的平行四边形法则可知，DA+DE=DF^FD.

4.已知四边形A3CD是菱形，则下列等式中成立的是（）

―►―►—►—►—►-►

\AB+BC=CAB.AB+AC=BC

―►—►—►—►—>—►

C.AC+BA=ADD.AC+AD=DC

答案C

-A—>—>—>—>

解析由四边形4BCD是菱形知CD=8A,则AC+3A=AC

+CQ=4Q.故选C.

5.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足B4+

PB=PC,则下列结论中正确的是（）

A.尸在3c的内部

B.P在3c的边A3上

C.尸在AB边所在的直线上

D.P在△ABC的外部

答案D

解析由以+尸3=尸。可得四边形PBC4为平行四边形，所以点

P在△ABC的外部.

p4

BC

二、填空题

6.根据图示填空.

(1)AB+OA=

(2*0+0Q+Q0=

(3)AO+BO+2OQ=

答案(1)03(2*0(3)AD+5D

解析由三角形法则知

(1)AB+OA=OA+AB=OB.

(2)BO+OD+DO=BD+DO=BO.

(3)40+30+20力=(A0+0D)+(80+0Q)=AQ+BD

7.已知AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+

d=

答案e

解析a^b+c+d=AB+BC+CD+DE=AE=e.

—►—►-►

8.若P为△A3C的外心，且出+P8=PC,则NACB=,

答案120°

―►-►-A

解析'：PA-\-PB=PC,则四边形AP3C是平行四边形.

—►—►-►

又尸为△ABC的