一般的一元二次方程的解法-配方法

17.2.2一般的一元二次方程的解法-配方法

色知识点德理

一.配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成(x+〃广=中，，20)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程

的方法叫配方法.

22

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a±2ab+b=(a±b'：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为+&+。=0.h0)的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无

实数解.

要点：

(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

(2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

(3)配方法的理论依据是完全平方公式a2+2ab+b-=(a+by.

二、配方法的应用

1.用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比

较出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定

字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

4.用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也

有着广泛的应用.

心典网号覆阚

题型1：配方法解一元二次方程

1.用配方法解一元二次方程尤2-6X+2=0,此方程可化为()

A.(X-3)2=7B.(X-3)2=11C.(x+3)2=7D.(x+3)2=ll

【答案】A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案.

【解析】解：.X2—6x+2=0>

x—6%——2,

贝If—6x+9=—2+9,

即(X-3)2=7,

故选：A.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法.

2.用配方法解一元二次方程3/+6尤-1=0时，将它化为(x+ay=b的形式，贝M+6的值为

()

A.—B.-C.2D.-

333

【答案】B

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案.

【解析】解：：3炉+61=0,

,1

***3x2+6%=1,%+2x=—,

14

贝!Jf+2x+l=§+l,gp(x+l)9=-,

・・a=l,b=—,

3

.’7

・・ab=一.

3

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.

3.用配方法解下列方程时，配方有错误的是()

A.%2_2%_99=0化为(x-1)2=100B.f+8x+9=0化为(X+4『=25

C“J7丫81D.3/_4尤—2=0化为］工_号=《

C.2r-7r-4=0化为|I——=—

I4J16

【答案】B

【分析】根据配方的步骤计算即可解题.

【解析】x2+8%+9=Ox+8x=-9x+8x+16=-9+1+4)2=7

故B错误.且AC。选项均正确，

故选：B

【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1;第二步移项，把常数项移到

右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开

方即可.

4.关于y的方程y2-4y=9996,用法解，得％=_,%=_.

【答案】配方102-98

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得.

【解析】J2-4y=9996,

y2-4y+4=9996+4,

(y-2)2=10000,

y-2=±100,

y=±100+2,

M=102,y2=-98,

故答案为：配方，102,-98.

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键.

5.用配方法解方程G2+6X+C=。⑦9），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（)

4ac-b1

A.(X+9

2a4/

b2-4ac

B.(X+9

2a2a2

b2-4ac

C.

4/

b2+lac

D.

2片

【答案】C

【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1,然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的

一半的平方，即可得到答案.

【解析】解：:OX?+/?%+c=0,

.(b\b1—4ac

「卜十五J-4a2

故选C.

【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法.

2

6.用配方法解方程V—§%+1=0,正确的是()

251口,2.242土百

A.—=1,西D.(x—)=—,x=-------

3392

QQ1Q

C.(尤-1)2=-1,原方程无实数解D.(x--)2=-1,原方程无实数解

【答案】D

【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解.

7

【解析】方程移项得：X2-|x=-l,

818

21即z

配方得：2-x(X--2--

x-1x+-=.93一9

。y

则原方程无实数解，

故选D.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

7.用配方法解下列方程：

(1)3X2-5X=2；

(2)d+8x=9；

(3)尤2+12元-15=0；

(4)—x2-x-4=0；

(5)2X2+12X+10=0;

⑹/+加+q=0(p2一包20).

【答案】(1)X[=2,无2=—§

(2)玉=1,%——9

(3)无]=-6+，51,%2=-6-，51

(4)x=2+275,x2=2-245

⑸玉=-1，工2二-5

(6)一。±"短

2

【分析】利用配方法求解即可.

(1)解：3x2—5x=2移项5得2，配方得：5252235，合并得：(x5-1)2=49-J，解得:％尸5=+7:=2,

3333633663666

571

X2=---

663

(2)解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16,合并得：(x+4)2=25,解得制=1,X2=-9；

(3)解：%2+12%-15=0移项得：x2+12x+36=15+36,配方得：(x+6)2=51解得无尸-6+,X2=-6-75?

(4)解：；%2-%-4二0去分母得：X2-4X-16=0,移项得：x2-4x=16,配方得：x2-4x+4=16+4,合并得:

4

(x-2)2=20,解得：xi=2+2y/5,X2=2~2y/5；

(5)解：2%2+12%+10=0系数化为1得：f+6x+5=0,移项得：x2+6x=-5,配方得：x2+6x+9=5+9,

合并得：(%+3)2=4,解得：X7=-l,X2=-5；

222A

(6)解：x2+px+q=0,移项得：x2+px=-q,配方得：x2+px+—=-q+—,合并得：(%+")2=2------,解

4424

得户“土打2-4”

2

【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键.

题型2：配方法的应用・三角形问题

8.AABC的三边分别为。、b、c,若"c=8,bc=a2-12a^52,按边分类，则AABC是______三角形

【答案】等腰

【分析】将〃+。=8,代入历=/_12。+52中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质

求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状.

【解析】解：♦・"+c=8

b=8-c,

he-(8—c)c=—<72+8c,

••be—a2—12a+52——c2+8c,

即a?—12(7+36+16+/—8c=0,

整理得：（4-6）2+（c—4）2=0,

•・•（々-6）2NO,（。_4）220,

/.a—6=0,即a=6；c—4=0,即。=4,

Z7=8-4=4,

则4ABC为等腰三角形.

故答案是：等腰.

【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解

本题的关键.

9.如果一个三角形的三边均满足方程Y—io尤+25=0,则此三角形的面积是

【答案】旭

4

【解析】解方程：f-10x+25=0,得(尤-5)2=0,

••Aj-%2=5.

•..一个三角形的三边均满足方程X2-10X+25=0,

此三角形是以5为边长的等边三角形，

二三角形的面积=Lx5x5xsin6(r=2.

24

故答案是：空

4

10.已知三角形的三条边为且满足/一10。+6-166+89=0,则这个三角形的最大边c的取值范围

是()

A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13

【答案】C

【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出。和b的值，然后

根据三角形的三边关系可得答案.

【解析】解：,*'a2-1Oa+b2-16Z>+89=0,

(cz2-10«+25)+(炉-166+64)=0,

(17-5)2+(6-8)2=0,

V(a-5)2>0,(6-8)2>0,

a-5=0,b-8=0,

a=5,Z?=8.

・・,三角形的三条边为4,b,C,

/.b-a<c<b+a9

.,.3<c<13,

又•••这个三角形的最大边为c,

.,.8<c<13.

故选：C.

【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的

三边关系是解题的关键.

题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题

11.若M=2--12x+15,7V=x2-8.r+ll,则M与N的大小关系为()

A.M>NB.M>NC.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】；M=2X2-12X+15,N=X2-8X+11,

M-N=(2%2-12x+15)-(f-8x+11)=-12x+15-f+舐-11=f一曲+4=a一2)2.

V(X-2)2>0,

故选A.

点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出

两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.

12.已知下面三个关于x的一元二次方程ax?+bx+c=0,bx2+ex+a=0,ex?+ax+b=0恰好有一个相同

的实数根。，则a+b+c的值为()

A.0B.1C.3D.不确定

【答案】A

【分析】把x=a代入3个方程得出a'a2+ba+c=Q,ba2+ca+a=0,ca2+a*a+b=0,3个方程相加即可得出(a+b+c)

(a2+a+l)=0,即可求出答案.

【解析】把x=a代入or2+6x+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ox+b=0得：a'a2+ba+c=Q,ba2+ca+a=Q,ca2+a*a+b=0,

相力口得：Ca+b+c)a2+(b+c+a)a+Ca+b+c)=0,

(a+b+c)(tz2+a+l)=0.

13

ct~+a+l=(ezH—)-H—>0,

24

a+b+c=0.

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.

13.已知实数加，n，C满足机2一机+。=0,n=12m2-12m+c2+-,则几的取值范围是(

C.n>-2D.n>-2

【答案】A

【分析】由机2一机+,。=。变形得机2一加=一,。，代入〃=12加2一12机+。2.中得至[]〃=/一3。+’,再进行

4444

配方，根据非负数的性质即可得到答案.

【解析Jm2-m+—c=0

m—m=(m——)—>—

244

:.c<l

n=12m2—12m+c2+—=12(m2—m)+c2+—=12x(——c)+c2+—=c2-3c+—

44444

/.H=(C--)2-2

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键.

题型4：配方法的应用3-最值问题

14.若无为任意实数时，二次三项式f—6x+c的值都不小于0,则常数。满足的条件是(

A.c>0B.c>9C.cX)D.c>9

【答案】B

【分析】把二次三项式进行配方即可解决.

【解析】配方得：％2_6%+°=(%-3)2-9+C

V(X-3)2>0,且对％为任意实数，X2-6X+C>0

-9+c>0

Jc>9

故选：B

【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再

减去这个数即可配成完全平方式.

15.无论x、y取任何实数，多项式x?+y2—2x—4y+16的值总是______数.

【答案】正

【解析】N+j2—2x—4y+16=(x2—2x+l)+(j2—4^+4)—1—4+16=(x-1)2+(j—2)2+ll,由于(x—1)

2>0,(y—2)2>0,故(x—1)2+(y—2)2+l1>11,所以尤2+y2—2x—4y+故的值总是正数.

故答案为正.

点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即

可证明.

16.不论尤，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值()

A.总大于7B.总不小于9

C.总不小于-9D.为任意有理数

【答案】C

【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于-9即可.

【解析】解:4/+3y2+8x-12y+7

=4x2+8x+4+3y2—12j+3

=4(N+2X+1)+3(y2-4y+l)

=4(x+1)2+3(y2-4y+4-4+1)

=4(A-+1)2+3(厂2)2-9,

(尤+1)2>0,(厂2)2>0,

：.4x2+3y2+8x-12y+7>-9.

即不论x、y为什么实数，代数式4/+3y2+8x-12y+7的值总不小于-9.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握.解决本题的关键是

掌握配方法.

17.若尸1=?=彳，则N+y2+z2可取得的最小值为()

599

A.3B.—C.—D.6

142

【答案】B

【分析】设尤-1=?==2=左，把无，%Z用人的代数式表示，则N+y2+z2转化为关于人的二次三项式，

运用配方法求其最小值.

【解析】设尤一1=?=—=左，

贝!Jx=左+1,y=2k-lfz=3左+2,

x2+y2+z2

=（k+l）2+（2k-l）2+（3k+2）2

=14k2+10k+6,

5Y59

=14k+——+——.

I14J14

故最小值为：三59.

14

故选：B.

【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把N+y2+z2转化为关于左的二次三项式，运用配

方法求其最小值.

18.关于代数式。+一二，有以下几种说法，

①当a=—3时，则4+—二的值为-4.

②若。+—值为2,贝G.

a+2

③若a>—2,则。+一二存在最小值且最小值为0.

在上述说法中正确的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】①将。=-3代入a+—二计算验证即可；②根据题意。+—==2,解得a的值即可作出判断；③若

a+2a+2

a>-2,则a+2>0,则对a+一工配方，利用偶次方的非负性可得答案.

【解析】解：①当，=—3时，

11

aH-------=-3oH----------=-44.

〃+2—3+2

故①正确；

②若a+」二值为2,

a+2

贝|a+-----=2,

a+2

.*.a2+2a+l=2a+4,

a2=3,

a=±.

故②错误;

③若a>-2,贝IJa+2>0,

a-\-------=a+2H----------2

〃+2a+2

=(V^+2)2+(J—^-)2-2•V^+2•J—

，〃+2Na+2

=(G-后),。・

...若a>-2,贝Ua+」■^存在最小值且最小值为0.

故③正确.

综上，正确的有①③.

故选：C.

【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则

是解题的关键.

题型5：配方法的应用4-配方法在二次根式与分式中的应用

19.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提

/74-/74-f

出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为-b,C,记则其面积

S=《p(p-a)(p-b)(p-c).这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若p=3,c=2,则此三角形面积的最

大值是.

【答案】73

【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解.

【解析】解：・・・〃=伫安，p=3,c=2,

.a+b+2

..J=-------------,

2

a=4-b,

S=dp(p—a)(p—b)(p—c)

=^3(3-«)(3-/?)(3-2)

=，3(3-0(3-力

=j3[aZ?-3(a+6)+9]

=J3("_3)

...当b=2时，S有最大值为百.

【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形

的面积.

20.已矢口y=，r-l+-尤(x,y均为实数)，则y的最大值是.

【答案】2年

【分析】将根据题意y>0,l<x<4,原式y=^/^^■+d7两边同时平方,可得4Vy2V8,故

进而即可求得最大值.

【解析】解：Qy>0,1WXW5,y2=4+2V-X2+6X-5=4+2^/-(%-3)2+4,

4WVw8.

Qy^o,

:.2WyW2垃.

，的最大值为2夜.

故答案为：2VL

【点睛】本题考查了二次根式的求值问题，配方法的应用，解本题的关键是通过V为媒介求得y的取值范

围从而找出最大最小值.

21.已知a+6—2ja—1—4db—2=3jc—3—c—5,则a+Z?+c=

2

【答案】20

【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可.

【解析】将等式整理配方,

[(<2-l)-2^/^l+l]+[(ZJ-2)-4^/^2+4]+1[(c-3)-6^/c：：3+9]=0

/.(>/^T-l)2+(V^-2-2)2+1(^/^3-3)2=0

贝ll《a—1—1—0,Jb—2—2—0,Jc—3—3—0

Va-l>0,b-2>0,c-3>0,

/.a=2,b=6,c=12,

a+b+c=20.

故填：20.

【点睛】此题主要考查配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用.

]

22.已知y=无论X取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围.

+2%—c

【答案】C<-1

【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需-C-1大于0,求出不等式的解集即可得

到C的范围.

【解析】原式分母为：x2+2x-c=x2+2x+1-c-l=(x+1)2-c-l,

V（x+1）2>0,无论x取任何实数，这个式子都有意义,

-c—1>0,

解得：C<-1.

故填：C<-1

【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键.

23.（1）设a>匕>0,4?+6?=3“6,求"十?的值.

a-b

（2）已知代数式f-5x+7,先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何

值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

【答案】（1）中的值为正；（2）说明见解析，当彳=:时，代数式有最小值

a-b24

【分析】（1）根据。>6>0可知，p="，再根据完全平方式把被开方数展开，把层+按=3油代

a-by（a-b）

入进行计算即可；

53

（2）首先将原式变形为（x-彳）2+4,根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值

24

为M,就有M=/.5X+7,根据非负数的性质就可以求出最值.

【解析】(1),:a>b>0,a2+b2=3ab,

a+b(〃+加2l(a2+b2)+2ab[iab+2ab

，原式二

a-b(Q_〃)2\(a2+b2)-2abv3ab-2ab

53

(2)解：由题意,x2—5x+7=(x——)2+—,

24

5

V(x--)29>0,

・/5、23、3

244

53

A(x——)29+->0,

24

・•・这个代数式的值总是正数.

设代数式的值为M,则有

M=x1-5%+7,

53

**.M=(x—)2~\—,

24

・,•当x=?5时，这个代数式的值最小为：3.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方

公式，式子的转化.

题型6：配方法的应用5-创新与阅读材料题

24.选取二次三项式内2+bx+c(aw0)中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方.例如①选取二次项和一

次项配方：f_4x+2=(x-2)2-2；②选取二次项和常数项配方：x2-4x+2=(x-0f+(2&-4)尤或

尤2_4x+2=(x+0y_(4+2拒)尤；③选取一次项和常数项配方：X2-4X+2=(^X-V2)2-X2.

根据上述材料解决下面问题：

(1)写出Y-8尤+4的两种不同形式的配方.

(2)已知尤2+y2+孙-3y+3=0,求炉的值.

(3)已知。、氏c为三条线段，且满足14(02+82+02)=5+23+30)2,试判断小b、c能否围成三角形,

并说明理由.

【答案】(1)详见解析；(2)1；(3)不能围成三角形，理由详见解析.

【分析】(1)根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；

(2)根据/+/+.初一3y+3=0求出x、y的值，代入求解即可；

(3)将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断.

【解析】(1)/一8苫+4=--8》+16-16+4=(尤一4)2-12或d-8x+4=(x-2)2-4x.

(2)x2+y2+xy-3^+3=0,

+■|(y-2)2=0.

:.x=-l,y=2.xy=(-1)2=1.

(3)不能，理由如下：原式变形：14。2+1462+14。2一(。2+4〃+9/+4。6+6农+12")=0.

(4/-4ab+b2^+(9a2-6ac+c2^+(9b2-12%c+4c=0.

22

即(2a-6)2+西_c)+(3^_2c)=0.

..b—2a,c—3a,3b—2c.

:.a-^-b=3a=c.b、c三条线段不能围成三角形.

【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的

等量关系是解题的关键.

2

25.若实数％,y,z满足xVyVz时，则称x,yfz为正序排列.已知％=-/+2m-1,y=-m+2m,若当

相〉;时，X,y,Z必为正序排列，则Z可以是()

A.m+—B.-2m+4C.m2D.1

4

【答案】A

【分析】用每一个选项减去y=m2+2m,通过配方判定它们的差的符号，从而正确确定选项.

【解析】A.Vm+--(-m2+2m)=m2-m+—=(m--)2,.二当机时，(机一，)2>0,工当根〉,时，x,y,

442222

Z必为正序排列；

B.*.*-2m+4-(-m2+2m)=m2-4m+4=(m-2)2,/.当m=2时，(机-2)2=0,・••当机>；时，x,y,z不一定为

正序排列；

C./-汴+2m)=2/-2m=2讯?n-1),・,•当,〈加01时，2m(m-l)V0,，当机时，x,y,z不一定

为正序排列;

D.1-(-m2+2m)=m2-2m+l=(m-I)2,当m=l时，(m-l)2=0,，当相>5时，x,y,z不一定为正序排

故选：A.

【点睛】本题考查了配方法的应用,考查学生的计算能力.

心跟除酬瀛

、单选题

.方程/+尤_1=0的根是（

-1±A/5

A.1-^/5C.-1+75

2­

【答案】D

【分析】观察原方程，可用公式法求解.

【解析】解：。=1,b-1,c=-l,

b2-4ac=l+4=5>0，

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.

2.对于方程/+2亿—1=0,下列各配方式中，正确的是（）

A.（a-V2）2=3B.（°+后『=3

C.（"2何=3D.（a+2应『=3

【答案】B

【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等

式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可.

【解析】解：/+2缶一i=o

a2+2A/2<7=1

/+2缶+（码2=1+2

=3

故选：B.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用.选择用配方法解一元二

次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

3.用配方法解方程：2/-了-6=0,开始出现错误的一步是()

@2x2—x=6i——x=3,(3)x2——x+—=3+—,④1%-[J=^^6

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【解析】,**2x2—x—6=0,>*>2X2—X=6-X2——X=3.=3+即[1一,]=竺.，从用

221616I4)16

配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误.

2

4.下歹!]各式：①x?+2x+6=(x+1)~+5；②尤2+不无+4=(尤+])~+4；@x+\J?>x+3=(x+；

④一一8缶+36=(尤-4应>+4；⑤x2+px+g=(x+g)2变形中，正确的有()

A.①④B.①C.@D.②④

【答案】A

【分析】利用配方法进行变形，逐个判断

【解析】解：/+2尤+6=尤2+2》+1+5=。+1)2+5；①正确

x2+-^-x+4=x2+^X+(Y)2-(J)2+4=(x+J)?+器，②错误；

2244416

x2++3=x2+3=(x+-^-)2+：,③错误；

%2-80x+36=%2-80x+(40y-(4&y+36=(x-472)2+4,④正确

222

X2+pX+^~=X2+j7X+(y)2-(-1)2+^~=(X+-1)2+,⑤错误

故选：A.

【点睛】本题考查配方法的应用，掌握配方法的步骤正确计算是本题的解题关键.

5.关于X的一元二次方程、历/+缶2=3办的两根应为()

A.一B.伍，叵aC.2土垃aD.士扃

9V2"24

【答案】B

【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可.

【解析】41x2-3ax+V2a2=0,

A=(-3a)2-4x及x夜a2=a2,

3a±y[a^

所以X1=0a,X2=——a.

2

故答案选B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法解一元二次方程.

6.小明在解方程N-4尤-10=0时，他是这样求解的，移项，得N-4X=10,两边同时加4,得尤2-©+4

=14,/.(x-2)2=14,.,.x-2=±Vi4,.1.X7=2+T14，X2=2-714.这种解方程的方法称为()

A.待定系数法B.配方法C.公式法D.因式分解法

【答案】B

【分析】通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，是配方法.

【解析】解：由题意，将£-4元-10=0先移项，再将方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左

边配成完全平方式，再用直接开平方解方程，满足用配方法解一元二次方程的步骤.

故选：B

【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的步骤，牢记相关知识点是解题的关键.

7.设一元二次方程(x+1)(x-3)=m(m>0)的两实数根分别为a、[3且a<|3,则a、0满足()

A.-l<a<p<3B.a<-l且0>3

C.a<-l<p<3D.-l<a<3<p

【答案】B

【分析】解方程得到x=l士A/4+M,由机>0,得至!],4+加>2,从而得到a=1—J4+”2<—1,1+j4+〃?

>3.

【解析】x2-2x-3=m,(x—1)2-4+m,1=±j4+〃z,x=l土j4+m.

m>0,74+m>2,a=1——4+m<—1,[3=l+,4+?w>3,故a<-l且p>3.故选B.

【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程.解题的关键是由力的取值范围得到根的取值范围.

8.对于两个实数。，b,用max(a,b)表示其中较大的数，贝I]方程xxmax(尤，-尤)=2x+l的解是()

A.1,1+72B.1,1-72C.-1,1+72D.-1,1-72

【答案】C

【分析】根据题意则有X2=2X+1和-X2=2X+1,然后解一元一次方程即可.

【解析】Vmax(a,b)表示其中较大的数，

・••当x>0时，max(x,-x)=x,

方程为X2=2X+1,

x2-2x+l=2,

(x-1)2=2,

土枝,

X=1±72，

.*.x>0,

X=1+72;

当x<0时，max(x,-x)=-x.

方程为-X2=2X+1

x2+2x+l=0,

(x+1)2=0,

x=-l,

故方程xxmax(x,-x)=2x+l的解是-1,1+72

故选C.

【点睛】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出x2=2x+l和-x2=2x+l是本题的关键.

9.对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程f+2x-35=0为

例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔・花拉子米采用的方法是：将原方程变形为(％+丁=35+1,然后构造如

图，一方面，正方形的面积为(1+1)2；另一方面，它又等于35+1,因此可得方程的一个根元=5,根据阿尔

花拉子米的思路，解方程％2—4%-21=0时构造的图形及相应正方形面积(阴影部分)S正确的是

()

x]

11II1

Xx

XT

5=21-4=17

5=21-4=17

【分析】利用配方法将原方程变形，结合图形即可解答.

【解析】解：4x—21=0

X2-4X+4=21+4

7

(%-2)一=25

,正方形面积(阴影部分)S=21+4=25

故选：C

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法和解方程的一般步骤.

2

10.新定义,若关于X的一元二次方程：+〃=0与a2(x-my+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)+4=0

与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于X的一元二次方程：2(x-l)2+l=0与(a+2)/+S-4)x+8=0是“同

族二次方程”.那么代数式区+2018能取的最小值是()

A.2011B.2013C.2018D.2023

【答案】B

【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值.

【解析】解：2(x-l)2+l=0与m+2)/+S-4)工+8=0为同族二次方程.

(a+2)x2+(b-4)x+8=(tz+2)(x-l)2+1,

二.(〃+2)x?+3—4)x+8=(Q+2)x?—2(。+2)尤+〃+3,

J。-4=-2(a+2)

〔8=〃+3

ci—5

解得:

b=-10

ax1+fev+2018=5x2-10x+2018=5(x-l)2+2013,

...当X=1时，"+法+2018取最小值为2013.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题

的关键.

二、填空题

11.把方程d一2=2x用配方法化为(x+m)2=〃的形式，则相〃的值是.

【答案】-3

【解析】•；炉-2=2无，x2-2%=2.X2-2x+l=3.(x-1)2=3.m=-l,n=3.nm=—3.

12.用配方法解方程3尤②-6x+2=0,将方程变为(彳-爪)=(的形式，贝.

【答案】1

【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答.

【解析】解：3x2-6x+2=0,

x2-2x=-—

3

x2—2x+1=—

3

1

(%-1)29=—,即m=l.

故填1.

【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

13.已知b,。满足a—b=8,ab+c1+16=0,则2〃+b+c的值是

【答案】4

【分析】由〃-氏8,得出〃4+8,进一步代入H+/+16=0,进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利

用非负数的性质求得纵b,。的数值，进一步代入求得答案即可.

【解析】・・・〃-6=8,

。二8+8,

ab+c2-^16=Z?(Z?+8)+c2+16=(Z?+4)2+c2=0,

Z?+4=0,c=0,

解得：-4,

a=4,

/.2a+b+c=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键.

14.已知a,b,。是AABC的三边，且满足/+〃十，一"一根一比二。，则这个三角形的形状是

【答案】等边三角形

【分析】先将原式转化为完全平方公式，再根据非负数的性质计算.

【解析1'*'a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,

/.2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,

a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,

即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

a-b=O，b-c=O,c-a=O,

/.a=b=c,AABC为等边三角形.

故答案为等边三角形.

【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断.关键是将已知等式利用配方法变

形，利用非负数的性质解题.

15.已知力2+11=4”2-3〃-13,则工+工的值等于____.

4mn

【答案】I

【分析】利用配方法将已知等式转化为(加-2)2+；(〃+6)2=0的形式，由非负数的性质求得利〃的值，然后

代入求值即可.

【解析】解：m2+—n2=4m-3M-13

4

(m—2)2+—(n+6)2=0,

4

贝！J根一2=0,〃+6=0,

所以加=2,n=-6,

故答案是：J.

【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的

二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

16.已知a+b=n+2,ab=l,若19a?+152ab+l9b2的值为2014,则n的值为.

【答案】8或-12

【分析】首先把19a2+152ab+19b2变形为19[(a+b)2+6ab]，再根据值为2014可得(n+2)2+6=106，再利用直

接开平方法解方程即可.

【解析】解：19a?+152ab+l9b2,

=19(a2+8ab+b2),

=19[(a+b)2+6ab],

19[(a+b)2+6ab]=2014,

(n+2)2+6=106,

(n+2)2=100.

n+2=±10,

n+2=10,n+2=—10,

n=

解得：i8,n2=-12,

故答案为8或-12.

【点睛】此题主要运用直接开平方法解一元二次方程，以及求代数式的值，关键是正确利用完全平方公式把

19a?+152ab+l9b2变形.

17.已知实数x,y满足f+3x+y-3=0,则x+y的最大值为.

【答案】4

【分析】用含x的代数式表示y,计算x+y并进行配方即可.

【解析1Vx2+3x+y-3=0

**•y——x2—3x+3

••x-\-y=—x2—2x+3=—(%+1)+4

「・当x=-l时，x+y有最大值为4

故答案为4

【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.

18.设实数x,y,z满足尤+y+z=l,则M=^+2yz+3zx的最大值为.

【答案】43

4

【分析】先将已知等式变形可得z=l-x-y,然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非

负性即可求出结论.

【角牟析】角轧,.・％+y+z=l

z=1—x—y

M=xy+2yz+3zx

=xy+2y(1-x-y)+3x(\-x-y)

=xy+2y-2xy-2y2+3x-3x2-3xy

=-3x2-4xy-2y2+2y+3x

二(-2x?-4xy-2y2)—%?+2y+3x

=-2(x+j^)2+2X+2^-X2+X

J/</\11]「2I1]

=—2](x+y)_(x+y)+]_-x+---j

一“1丫(411

1■2；12)24

=-2"一曰

-1-1)-0

一"+滂

3

.,・河=孙+2»+3〃的最大值为二

4

、3

故答案为：—.

4

【点睛】此题考查的是配方法的应用和非负性的应用,掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关

键.

三、解答题

19.用配方法解下列方程:

(1)x2+4x—1=0;

(2)f-6尤=4；

3

(3)y2-y--=0；

(4)3X2+4X-4=0.

【答案】(1)%=-2+也=-2-75；(2)%=3+V13,^=3->/13；(3)%=于%=-万；\=~2.

【解析】解：(1)X2+4X-1=0,

x2+4x=1.

X2+4X+4=1+4.

(X+2)2=5.

x+2