人教版小学数学六年级上册《圆的面积》教学案例

《圆的面积》教学案例

一、案例背景

几何，在拉丁文里是geometria,原意是土地测量或测地术。我国古

代《九章算术》中有“方田”章，给出21种办法来计算图形面积，由此

可看出土地测绘推动了数学探索面积的发展。从数学的早期发展时期一直

到近代数学时期，能一直被人类所关注和探索的话题并不多，关于圆的研

究却能拉拉扯扯一直延续着。梳理一番，历史上典型的圆面积求解方法分

别有古埃及人的实验操作归纳、古希腊阿基米德的穷竭法、古中国刘徽的

割圆术、近代德国开普勒的无限分割法以及现在的微积分推导。教学中，

可以预想到学生很难像古埃及人那样，独立的运用实险操作的办法发现圆

面积的计算方法。那么，对于小学生能接受的圆面积的多种推导方法，到

底突出哪种方法才更有价值？

实际上，就圆面积的计算来说，几个方法间并没有质的区别，都把握

了圆面积是以圆半径为边长的正方形面积的三倍多，有区别的是得到面积

计算办法的思考过程。表面上看，无论是阿基米德的穷竭，还是刘徽的割

圆，以及开普勒的无限分割，都有设法逼近圆的共同特点。但是如果直接

将这几种方法引入小学课堂，势必会导致大多数学生无法理解。所以结合

小学生的实际情况，决定将开普勒的无穷分割法进行简化后在课堂上进行

重现，刘徽的割圆术作为理解的模块给学生简单展示。

开普勒运用无穷分割法求出了圆的面积，并将自己的新方法发表在

《葡萄酒桶的立体几何》一书中，把人类的认识带到了通向现代数学的通

道门口。无穷小的思考，又经过费马、托里拆利、帕斯卡、沃利斯等数学

家的智慧历练，人类思维最伟大的成果微积分渐渐地明晰了，牛顿和莱布

尼茨最终分别提炼出了相关概念及计算的一般规则。微积分对于小学生来

说太过深奥，但是极限的思想还是可以进行渗透的，给学生种下思考的种

子远比一个公式重要的多。但接受“极限”的思想对于小学生来说还是有

难度的，如何将“极限”的思想合理的渗透呢？

在以前的学习中，学生已经掌握了长方形、平行四边形、三角形的面

积推导方法，可以总结为“数方格”和“转化”两种思想。“数方格”是

求解面积最基本的方法，通过不断细分小方格，可以直观的给学生渗透无

穷分割的观点。方格越分越小，可以一直分下去，就是最基本的极限思想。

“转化”思想也是数学求面积中常见的思想，结合开普勒的无穷分割法，

通过不断分割再转化为其他图形。不断分割到无限分割，是极限思想逐渐

形成的标志。在本课中，圆面积的公式是本堂课的重点，但“无限分割、

化曲为直”才是对后续数学学习最具有价值的，因此也是我们教学中最应

该着重渗透的。

二、案例过程

(1)教学目标：

要使学生明确圆面积的概念，理解和掌握圆面积公式的推导及应用。

通过学生操作，发现推导圆面积的公式。

结合知识的教学，渗透转化以及极限的数学思想。

了解数学史上圆面积的几种求法：开普勒的“无穷分割法”，刘徽的

“割圆术”。

(2)学情分析

六年级的学生具有了较强的动手操作和逻辑推理能力，对于图形面积

的推导已经有了较多的的经验，对于转化的思想已经有了基本的认识。学

生已经在六年级上册第一单元《分数乘法》(“一尺之锤，日取其半，万

世不竭。”)中初步接触到极限的思想。

在以往的学习中，已经渗透了数学史的相关内容，学生对于数学发展

史有一定了解，开普勒的“无穷分割法”和刘徽的“割圆术”应该能够很

好的吸引学生的学习兴趣和学习动力。

(3)教学重难点：

1、重点：圆面积公式的推导。

2、难点：转化和极限两种数学思想的渗透。

(4)数学文化

16世纪的德国天文学家开普勒，当过数学老师，他对求面积的问题非

常感兴趣，曾进行过深入的研究。开普勒把圆分割成许多小扇形，将扇形

重新排列成为一个长方形，最终圆的面积就等于长方形的面积。1615年,

他将自己创造的这种求圆面积的新方法“无穷分割法”，发表在《葡萄酒

桶的立体几何》一书中。“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，

来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥

少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。两种方法中都

蕴含着极限和转化的数学思想。

（5）教学活动流程：

（一）导入：

通过案例：帮王伯伯计算圆形草坪的价格，引出圆的面积问题，确立

本节课主要教学内容：推导圆的面积公式。

（二）回顾以前，总结经验，寻找方法

总结上述图形的面积公式推导过程，找到两种面积求解思想：数方格、

转化。

（三）尝试不同思想，确定圆的面积公式

1.尝试“数方格”的方法推导圆的面积。

引领学生利用“数方格”的思想求解圆的面积。

同时引导学生思考“数方格”的局限性。

利用“转化”的思想推导圆的面积公式。

小组分组探究，教师巡视指导。利用课本119页附页引导学生动手操

作，重新排列转化为其他图形。挑选小组展示。

(1)小组展示：将圆等分成16份，然后重新组合，就能形成一个接

近平行四边形的图形。

小组展示：将圆等分为16份。

引发学生思考、讨论：如果继续分下去会怎样？

总结出最终观点：分的越多，扇形就会越小，拼起来的图形会越接近

长方形。

教师展示均分为32份。多媒体展示64等分，128等分。(多媒体展

演“无限分割”)

分小组探究圆的面积，寻找拼成的图形与圆形之间的关系，得到圆的

面积公式。小组展示。

总结探究的过程，引出古代数学对于圆的研究过程，介绍开普勒的无

穷分割法和刘徽的割圆术。

（四）回归生活情境，深化空间观念

利用得到的圆的面积公式，处理圆型草坪的面积问题。

三、案例反思

本堂课设计之初是一堂思维训练课，让学生体会两种方法的面积推导

过程，并在推导过程中渗透“转化”和“极限”两种数学思想，主要目的

是训练学生的思维能力，训练学生的思维深度，给学生种下极限思想的种

子，并没有把重点放在公式的应用上，所以练习题相对较少。

在本课中，我给学生设置了很多思维困顿点，让学生在充分思考的情

况下才能突破。首先引导学生通过总结以前推导图形面积的经验得到两个

思想：1、数方格；2、转化。然后和学生一起利用这两种思想进行圆的面

积公式的推导。“数方格”这种方法理解起来比较简单，并且能在教学过

程中渗透“极限”的思想，让学生体会到“无线分割”和“无限小”的概

念，但是这种方法操作起来难度较大，学生不难发现这种方法在实际操作

的时候难度较大，并不适合在生活和学习中使用。利用“转化”的思想引

出开普勒的“无穷分割法”，带领学生进一步体会极限的思想。

显性的知识技能，终究会被慢慢淡忘；而隐性的数学活动经验、数学

方法思想，更易于促进终身受益的素养的形成。这就要求我们数学教师一

定要善于挖掘出教材中适合渗透数学思想的知识模块，组织学生感悟数学

思想、积淀数学活动经验。我们需要结合数学思想在不同知识技能形成与

运用过程中展示出的独