第二部分高中数学新课程创新教学设计案例

其次部分中学数学新课程创新教学设

计案例

1集合的概念和表示方法

教材分析

集合概念的基本理论，称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基

础.一方面，很多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函

数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上.另

一方面，集合论与其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应

用.在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整

数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了确定的感性

相识.这节内容是初中有关内容的深化和延长.首先通过实例引出集

合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，

最终介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画

图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点

是运用集合的两种常用表示方法-----列举法与描述法正确表示一

些简洁的集合.

教学目标

1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道

常用数集与其记法.

2.初步了解“属于"关系的意义，理解集合中元素的性质.

3.驾驭集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），

培育学生的理解、化归、表达和处理问题的实力.

任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了确定的了解，这里主要依据实例引

出概念.介绍集合的概念采纳由详细到抽象，再由抽象到详细的思维

方法，学生简洁接受.在引出概念时，从实例入手，由详细到抽象，

由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念.集合的表示

方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生驾驭.

教学设计

一、问题情境

1.在初中，我们学过哪些集合？

2.在初中，我们用集合描述过什么？

学生探讨得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集

合”；在学习一元一次不等式时，说它的全部解为不等式的解集.

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集

合.几何图形都可以看成点的集合.

3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近?

学生探讨得出：

“全体”、“一类”、“一群”、“全部”、“整体”，•

4.请写出“小于10”的全部自然数.

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合.

5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念(先详细举例，然后进行描述性定义)

(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集.

(2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

(3)集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A,记作a£A；

a不是集合A中的元素，称a不属于集合A,记作aft.

例：设8={1,2,3),贝IleB,4ft.

2.集合中的元素具备的性质

(1)确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个

对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例，给出集合B,4

不是集合的元素是可以确定的.

(2)互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复

的.

例：若集合A=｛a,b),则a与b是不同的两个元素.

(3)无序性：集合中的元素无依次.

例：集合｛1,2］与集合｛2,1｝表示同一集合.

3.常用的数集与其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集)，记作N.

非负整数集内解除。的集合简称正整数集，记作N*或N+；

全体整数的集合简称整数集，记作Z；

全体有理数的集合简称有理数集，记作Q;

全体实数的集合简称实数集，记作R.

4.集合的表示方法

［问题］

如何表示方程X2-3X+2=0的全部解？

(1)列举法

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法.

例：x2—3x+2=0的解集可表示为{1,2).

(2)描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

例:①x2—3x+2=0的解集可表示为{xIX2-3X+2=0).

②不等式x-3>2的解集可表示为{xIx—3>2}.

③Venn图法

例：x2—3x+2=0的解集可以表示为(1,2).

5.集合的分类

(1)有限集：含有有限个元素的集合.例如，A={1,2}.

(2)无限集：含有无限个元素的集合.例如，N.

(3)空集：不含任何元素的集合，记作国例如，(xIx2+l=0,

x£R}=同

注：对于无限集，不宜采纳列举法.

三、说明应用

［例题］

1.用适当的方法表示下列集合.

(1)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所

组成的一切自然数.

(2)平面内到一个定点。的距离等于定长1(1>0)的全部点P.

(3)在平面a内，线段AB的垂直平分线.

(4)不等式2x—8V2的解集.

2.用不同的方法表示下列集合.

(1){2,4,6,8).

(2){xIx2+x—1=0}.

(3){x£NI3<x<7}.

3.已知A=(xeNI66-xeN).试用列举法表示集合A.

(A={0,3,5))

4.用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合.

［练习］

1.用适当的方法表示下列集合.

(1)构成英语单词mathematics(数字)的全体字母.

(2)在自然集内，小于1000的奇数构成的集合.

(3)矩形构成的集合.

2.用描述法表示下列集合.

(1){3,9,27,81,…}.

(2)日

四、拓展延长

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述.

(1){(x,y)|y=x?+l,xGR).

(2){yIy=x?+l,x£R).

(3){(x,y)Iy=x?+l,x£R}.

(4){xIy=x?+l,y£N*}.

点评

这篇案例留意新、旧学问的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有学

问、阅历动身，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例

让学生进一步理解集合的概念，驾驭集合的表示方法.特别留意实例

的运用是这篇案例的突出特点.这样做，通俗易懂，使学生便于学习

和驾驭.例题、练习由浅入深，对培育学生的理解实力、表达实力、

思维实力大有裨益.拓展延长留意数学语言的转化和训练，留意区分

形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和相识.

（教学设计：刘有路；点评：王汉岭

2集合之间的关系

教材分析

集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之

间内在联系的桥梁和工具.这节内容是对集合的基本概念的深化，延

长，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然

后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种状况.这节内容的

教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之

间的区分.

教学目标

1.通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成

的过程，培育学生的抽象、概括实力.

2.了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，

培育学生对数学的理解实力.

3.通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学学问发生、

发展、运用的过程，培育学生的科学思维方法.

任务分析

这节内容是在学生已经驾驭了集合的概念和表示方法以与两个实数

之间有大小关系的基础上，进一步学习和探讨两个集合之间的关系，

采纳从实例入手，由详细到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到

详细、特殊的方法，学问的产生、发生比较自然，易于学习、接受和

驾驭；采纳分类探讨的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）

两种状况，这可以使学生更好地相识子集、真子集、等集三者之间的

内在联系.

教学设计

一、问题情境

1.元素与集合之间的关系是什么？

元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它

们的关系为x£A.若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的

关系为xQk.

2.集合有哪些表示方法？

列举法，描述法，Venn图法.

数与数之间存在着大小关系，贝IJ,两个集合之间是不是也存在着类似

的关系呢？先看下面两个集合：A={1,2,3},B={1,2,3,4,

51.它们之间有什么关系呢？

二、建立模型

1.引导学生分析探讨

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素.

集合B中的元素4,5不是集合A中的元素.

2.与学生共同归纳，明晰子集的定义

对于上述问题，老师点拨，A是B的子集，B不是A的子集.

子集：对于两个集合A,B,假如集合A中的任何一个元素都是集合B

中的元素，即集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AC^B

（或B国），就说集合A是集合B的子集.

用符号语言可表示为：假如随意元素x£A,都有x£B,则Af^B.

规定：空集是任何集合的子集，即对于随意一个集合A,有

3.提出问题，组织学生探讨

给出三个集合：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，C={1,

2,3).

(1)A是B的子集吗？B是A的子集吗？

(2)A是C的子集吗？C是A的子集吗？

4.老师给出真子集与两集合相等的定义

上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集

合A,这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的

子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与

集合C相等.

真子集：假如集合A是集合B的子集，即A0B,并且B中至少有一

个元素不属于集合A,则集合A叫作集合B的真子集，记作A0B或

B币.

疝守的Venn图为

两集合相等：假如集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即

同，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，即

A,则就说集合A等于集合B,记作A=B.

xl

A=B的Venn图为I

思索：设A,B是两个集合，A［同B,归B,A=B三者之间的关系是怎

样的？

5.子集、真子集的有关性质

由子集、真子集的定义可推知：

(1)对于集合A,B,C,假如A号，B国C,则A［司C.

(2)对于集合A,B,C,假如A国B,B国C,则人日.

(3)A［^A.

(4)空集是任何非空集合的真子集.

三、说明应用

［例题］

1.用适当的符号(£,口=,目，臼］)填空.

(1)3{1,2,3).

(2)5{5}.

(3)4{5}.

(4){a}{a,b,c).

(5)0Q

(6){a,b,c}{b,c}.

(7)3{0}.

(8)Q{Q}.

(9){1,2}{2,1}.

(10)G={xIx是能被3整除的数}H=(xIx是能

被6整除的数}.

2.写出集合{a,b)的全部子集，并指出其中哪些是它的真子集.

3.说出下列每对集合之间的关系.

(1)A={1,2,3,4,},B={3,4}.

(2)P={xIx2=l},Q={-1,1}.

(3)N,N*.

(4)C={x£RIx2==-l),D={0}.

［练习］

1.用适当的符号(g母=,回目)填空.

(l)a{a}.

(2)b{a}.

(3)□]{1,2}.

(4)(a,b){b,a).

(5)A=[1,2,4}B={xIx是8的正约数).

2.求下列集合之间的关系，并用Venn图表示.

A={xIx是平行四边形},

B={xIx是菱形},

C={xIx是矩形},

D={xIx是正方形}.

拓展延长

填表

表2-1

集合中元素的子集的个真子集的个

集合

个数数数

{a}1

{a,b}2

{a,b,c)3

{a,b,c,d)4

・・・・・・

(1)你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集

的个数”之间关系吗？

(2)假如一个集合中有n个元素，你能写出计算它的全部子集个数

与真子集个数的公式吗？(用n表达)

点评

这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出留意从详细到抽象、

从特殊到一般、从感性到理性的相识过程.详细地说就是，先结合实

例探讨两个详细集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例

说明A0B,包括A§B,A=B两种状况,再给出真子集、等集的定义.这

样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练

习由浅入深，留意数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的

关系的理解.拓展延长留意培育学生从特殊到一般地解决数学问题的

实力.值得留意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间

的“大小”关系实质上就是包含关系.

(教学设计：刘有路；点评：王汉岭)

3逻辑联结词

教材分析

在初中阶段，学生已接触了一些简洁命题，对简洁的推理方法有了确

定程度的了解.在此基础上，这节课首先从简洁命题动身，给出含有

“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出

推断复合命题的真假的方法.

在中学数学中，逻辑联结词是学习、驾驭和运用数学语言的基础，是

中学数学学习的动身点.因此，在教学过程中，除了关注和初中学问

亲密的联系之外，还应借助实际生活中的详细例子，以便于学生理解

和驾驭逻辑联结词.

教学重点是推断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理

解.

教学目标

1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、

“且”、“非”的复合命题的构成.

2.能娴熟推断一些复合命题的真假性.

3.通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，精

确性，并在今后数学学习和沟通中，能够精确运用逻辑联结词.

任务分析

在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步学问，但是，对

命题和开语句的区分往往搞不清.因此，应首先让学生弄懂命题的含

义，以便其驾驭复合命题.

由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、

“且”、“非”的意义不完全相同，故要干脆讲清晰它们的意义，比

较困难.因此，起先时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真

值表之后，再要求学生依据复合命题的真值表，对“或”、“且”、

“非”加以理解，这样处理有利于驾驭重点，突破难点.

为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最终应设计一系列的习

题加以巩固、深化对学问的相识程度.

教学设计

一、问题情境

生活中，我们要常常用到很多有自动限制功能的电器.例如，洗衣机

在甩干时，假如“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，

即当两个条件至少有一个满意时，就会停机.与此对应的电路，就叫

或门电路.又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条

件都满意时，才会开启.与此对应的电路，就叫与门电路.随着高科

技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题.因此，我们

有必要对简易逻辑加以探讨.

二、建立模型

在初中，我们已学过命题，知道可以推断真假的语句叫作命题.

试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命

题，哪些是假命题.

(1)12>5.

(2)3是12的约数.

(3)13是整数.

(4)13是整数吗？

(5)x〉同

(6)10可以被2或5整除.

(7)菱形的对角线相互垂直且平分.

(8)[3不是整数.

(可以让学生回答，老师给出点评)

我们可以看出，(1)(2)是真命题；(3)是假命题；因为(4)不

涉与真假；(5)不能推断真假，所以(4)(5)都不是命题；(6)

(7)(8)是真命题.

其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词.像(1)(2)

(3)这样的命题，不含逻辑联结词，叫简洁命题；像(6)(7)(8)

这样，由简洁命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题.

假如用小写的拉丁字母p,q,r,s,…来表示命题(这里应明确(6)

(7)(8)三个命题中p,q分别代表什么)，则上述复合命题(6)

(7)(8)的构成形式分别是p或q,p且q,非p.其中，非p也叫

作命题P的否定.

对于以上三种复合命题，如何推断其真假呢？下面要求学生自己设计

或真或假的命题来填下面表格：

S

结合学生回答状况,将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义.要

求学生对每一真值表用一句话总结：

(1)“非P”形式的复合命题的真假与P的真假相反.

(2)“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他状况时

为假.

(3)“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他状况时

为真.

三、说明应用

［例题］

1.分别指出下列各组命题构成的“P或q”、“P且q”、“非P”

形式的复合命题的真假.

(1)p：2+2=5,q：3>2.

(2)p：9是质数，q：8是12的约数.

(3)p：le{1,2},q：{1}曰{1,2}.

(4)p：S{0}，q：S］={0}.

注：引导学生进一步熟识真值表.

2.说出下列复合命题的形式，并推断其真假.

(1)5N5.(2)521.

解：(1)p或q形式.其中，p：5>5,q：5=5.p假，q真，.\p

或q为真，即525为真命题.

(2)p或q形式.其中，p：5>4,q：5=4,p真，q假，:.p或q

为真，即524为真命题.

［练习］

1.命题：方程x2—1=0的解是x=±l,运用逻辑联结词的状况是

().

A.没用运用逻辑联结词

B.运用逻辑联结词“且”

C.运用逻辑联结词“或”

D.运用逻辑联结词“非”

(C)

2.由下列命题构成的“P或q”、“P且q”形式的复合命题均为真

命题的是().

A.p：4+4=9,q：7>4

B.p：aG{a,b,c},q：{a}国{a,b,c)

C.p：15是质数，q：4是12的约数

D.p：2是偶数，q：2不是质数

(B)

四、拓展延长

在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且"、“非”字样

时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题.

例：小李参与全国数学联赛，有三名同学对他作如下揣测：

甲：小李非第一名，也非其次名；

乙：小李非第一名，而是第三名；

丙：小李非第三名，而是第一名.竞赛结束后发觉，一人全猜对，一

人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？

由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了

错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李

得了第一名.

还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去找寻解题思路.

例：曾经在校内内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教

室前的空地上踢足球，突然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后,

李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”

甲：是乙打破的；

乙：不是我，是丁打破的；

丙：确定不是我打破的;

T：乙在撒谎.

现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，

谁说了真话.

分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“P”与“非P”形式，因

此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁.由此分析可知，是丙打

破的玻璃.

点评

这篇案例的突出特点是对学问的认知由浅入深，层层渐进.这篇案例

的全部例子均结合学生的数学水平取自学生驾驭的学问范围之内或

者干脆源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和驾驭.假

如在“建立模型”的结束时与时给出相关的例子，使学生正确区分哪

些是简洁命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深.

（教学设计：司豪民；点评：苗相军）

4四种命题

教材分析

在初中，学生接触的简洁的逻辑推理与命题间关系（原命题和逆命题）

主要来源于几何学问，有很强的几何直观性，便于驾驭.中学学生要

面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题与四者之间的关系,

以适应中学数学学习的须要，这节课的主要教学目的就在于此.同时,

这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础.

这节课的重点是四种命题间的关系.

学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简洁几何学问，但是新的

学问体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深化，这节课的例

题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题.这种处理方式

符合学生的认知规律.

教学目标

通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题与其关系，进而使

学生驾驭简洁的推理技能，发展学生的思维实力.同时，帮助学生从

几何推理向代数推理过渡.

任务分析

在这节课的教学过程中，要留意限制教学要求，即只探讨比较简洁的

命题，而且命题的条件和结论比较明显；不探讨含有逻辑联结词

“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题.

这节中“若P贝形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也

可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题.

教学设计

一、问题情境

在以前的数学学习中，有这样的学问：菱形的对角线相互垂直.则，

这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“假如一个四边形对角线

相互垂直，则它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是

菱形”.这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一

问题，这节课我们就来学习“四种命题”.

二、问题解决

首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、

逆命题.(学生回答，老师补充完整)

例：假如原命题是

(1)同位角相等，两直线平行.

让学生说出它的逆命题.

(2)两直线平行，同位角相等.

再看下面的两个命题：

(3)同位角不相等，两直线不平行.

(4)两直线不平行，同位角不相等.

在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命

题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题.把其

中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题.

在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命

题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命

题.把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题.

换句话说：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题.

（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题.

一般地，用P和q分别表示原命题的条件和结论，用非P和非q分别

表示P和q的否定.于是，四种命题的形式就是：

原命题：若P则q.

逆命题：若q则P.

否命题：若非P则非q.

逆否命题：若非q而非P.

下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，随意两个是什么关

系？(学生回答，老师补充，最终出示下图)

冈

给出一个命题：“若a=0,则ab=O.”让学生写出其他三种命题，

并推断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题

的真假有某种关系.

不难发觉如下关系：

(1)原命题为真，它的逆命题不确定为真.

(2)原命题为真，它的否命题不确定为真.

(3)原命题为真，它的逆否命题确定为真.

三、说明应用

［例题］

1.把下列命题先改写成“若P则q”的形式，再写出它们的逆命题、

否命题与逆否命题，并分别推断它们的真假.

(1)负数的平方是正数.

(2)正方形的四条边相等.

分析：关键是找出原命题的条件P与结论q.

解：(1)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数.

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.逆命题为假.

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数.否命题为假.

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.逆否命题为真.

(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.

逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.逆命题为假.

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.否命题为

假.

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.逆否命

题为真.

2.设原命题是“当c>0时，若a>b,则ac>bc”，写出它的逆命

题、否命题与逆否命题，并分别推断它们的真假.

分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应当保留，原命题的

条件是a>b,结论是ac>bc.

解：逆命题：当c>0时，若ac>bc,则a>b.逆命题为真.否命题:

当c>0时，若aWb,则acWbc.否命题为真.逆否命题：当c>0

时，若acWbc,则aWb.逆否命题为真.

［练习］

1.命题“若a>b,则ac2>bc2,(a,b,c£R)”与它的逆命题、

否命题、逆否命题中，真命题个数为().

A.3B.2C.1D.0

(B)

2.在命题“若抛物线y=ax?+bx+c的开口向下，贝！J{xIax'+bx

+c<0)wti”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的

是().

A.三命题都真B.三命题都假C.否命题真D.逆否命题真

(D)

四、拓展延长

在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错.例如，

对如下词语的否定：“随意的”、“全部的”、“都是”和“全是”

等.

下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，明显“全

是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部

分.因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全

不是”.同样，“随意的”否定应是“某个”，“全部的”否定应是

“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”.例如,

命题：若x2+y2=0,贝Ijx,y全是0.其否命题是：若x'+yZWO,则

x,y不全是0.

点评

这篇案例涉与两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的

关系.为了加深学生的相识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学

生通过例子相识定义，在活动中自己归纳、总结规律.同时，这篇案

例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中驾驭的学

问.再者，这篇案例中全部例子都特别简洁，但又极具有代表性，易

于学生接受和理解，这也是学生能主动地参与到课堂活动中去的一个

必要条件.

美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄.

（教学设计：司豪民；点评：苗相军）

5充分条件与必要条件

教材分析

充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容.学习数学须要全面地理

解概念，正确地进行表述、推断和推理，这就离不开对充分条件与必

要条件的驾驭和运用，而且它们也是相识问题、探讨问题的工具.这

节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、

必要条件和充要条件的概念，给出了推断充分条件、必要条件的方法

和步骤.教学的重点与难点是关于充要条件的推断.

教学目标

1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.

2.理解充要条件，驾驭推断充要条件的方法和步骤.

3.通过充要条件的学习，培育学生对数学的理解实力和逻辑推理实

力，逐步提高学生分析问题、解决问题的实力.

任务分析

这节内容是学生在学习了“四种命题”、会推断一个命题的真假的基

础上，主要依据“P与q”给出了充分条件、必要条件与充要条件.虽

然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特殊是对必

要条件的理解有确定困难.对于本节内容的学习，首先要分清谁是条

件，谁是结论，其次要进行两次推理或推断.

(1)若“条件与结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条

件的必要条件.

(2)若“条件序论”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是

条件的不必要条件.

教学设计

一、问题情境

［提出问题］

1.写出命题“若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题和逆否命题，

并分别推断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假.

原命题：若x>0,则x2>0.真命题.

逆命题：若x2>0,则x>0.假命题.

否命题：若xWO,则x?W0.假命题.

逆否命题：若x2W0,则xWO.真命题.

2.“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.

“若P则q”为真，即假如P成立，则q确定成立，记作p等或q与

P-

“若P则q”为假，即假如P成立，则q不确定成立，即由p推不出

q,记作p马.

［进一步的问题］

“若x>0,则x2>0"，为真，可记作“p与q”.

(1)x>0是(>0的什么条件？

(2)x2>0是x>0的什么条件？

二、建立模型

1.学生分析探讨，老师点拔

(1)x>0E^p<2>0,x>0是x2>0的什么条件？

在这个问题中，“x>0”是“条件”，“x2>0”是“结论”；已知x

>00x2>。表示若“条件”成立，则“结论”确定成立，说明“条

件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结论”的充分条件.

(2)x2>0与x>0,x2>0是x>0的什么条件？

在这个问题中，“x2>0”是“条件”，“x>0”是“结论”；已知x

>00X?>。表示若“结论”成立，则“条件”确定成立，说明“结

论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，则“结论”不确定成立，说

明“结论”是“条件”的必要条件.

2.师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义

假如已知p导，则，p是q的充分条件，q是p的必要条件.

3.充要条件

问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等.问：p

是q的什么条件？

解：（1）p与q,即p是q的充分条件.

（2）q斗，即p是q的必要条件.

综合（1）（2）,我们就说p是q的充要条件.

假如p等，且q苧，记作P与q，这时，P既是q