函数与导数（理）（教学案）

【高效整合篇】

专题二函数与导数

-.考场传真

1.12015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()

A.y=\[xB.3?=|sinjc|C.y=cosxD.y-ex-e~x

【答案】D

【解析】函数y=4是非奇非偶函数；y=卜111可和y=cosx是偶函数；,二炉―"”是奇

函数，故选D.

2.12015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()

A.B.C.D.

【答案]

【解析】记，则，，那么，，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知、、依次是奇函数、

偶函数、偶函数，故选.

3.12015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

(A)y=cosx(B)y=sinx(C)y=lnx(D)y=x2+1

【答.案】A

412015高考福建，理10】若定义在R上的函数/(x)满足/(0)=—1,其导函数/'(x)

满足/'(%)＞上＞1,则下列结论中一定错误的是()

A.出)＜：B.Ud-卜告

\kjk)k—1yk—1)k—1\k-1)k—1

【答案】c

【解析】由已知条件，构造函数g(x)=/(x)-依，贝Ijg'(x)=f(x)—Z＞o,故函数g(x)

iI1k

在R上单调递增，且——>0,故8(——)>g(0)，所以八——)———>-1,

k—lk-lk-]k-1

/(」一)>—匚，所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断:构造函数〃(x)=f{x}-x,

k-lk-l

则”(x)=f(x)—l>0,所以函数〃(x)在R匕单调递增，且q>0,所以/?(：)>力(0)，

即/(')—，>一1，选项A,B无法判断，故选C.

kkkk

5.12015高考陕西，理12】对二次函数/(x)=«x2+bx+c(。为非零常数)，四位同学分

别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是()

A.一1是/(幻的零点B.1是/(幻的极值点

C.3是/(幻的极值D.点(2,8)在曲线y=/(x)上

【答案】A

【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，f\x)=2ax+b,因为1是的极值点,

,=0f2tz+/?=0[/?=—2a,

3是“x)的极值，所以〈，即1，解得：1，因为点(2,8)在

v7[/(1)=3[a+b+c^3”3+。v7

曲线y=/(x)上，所以4a+2Z?+c=8,即4a+2x(—2a)+a+3=8,解得：a=5,所

以〃=-10,c=8,所以/(x)=5f—10x+8,因为

/(—1)=5X(—1)2—10x(—1)+8=23。0,所以一1不是/(x)的零点，所以选项A错误，

选项B、C、D正确，故选A.

6.12015高考新课标2,理12]设函数f(x).是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(-1)=0,

当x>0时，W(x)—/*)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-w,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+^>)

C.(-«),-l)U(-l,0)D.(0,l)U(L”)

二.高考研究

【考纲要求】

1.函数

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示

函数.

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).

(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.

(5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.

2.指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景.

(2)理解有理指数基的含义，了解实数指数基的意义，掌握幕的运算.

(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,

10,1/2,1/3的指数函数的图像.

(4)体会指数函数是一类重要的函数模型.

3.对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；

了解对数在简化运算中的作用.

(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10,

1/2的对数函数的图像.

(3)体会对数函数是一类重要的函数模型；

(4)了解指数函数y=a"与对数函数J=log«x(a>0,a=l)互为反函数.

4.黑函数

(1)了解塞函数的概念.

(2)结合函数y=x,1y=x?j=/,1y=4j=/的图像，了解它们的变化情况.

x

5.函数与方程

结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根

的个

数.

6.函数模型及其应用

(1)了解指数函数、对数函数、察函数的噌长特征，结合具体实例体会直线上升、指数噌长、

对数噜长等不同函数类型噌长的含义.

(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、黑函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的

函数模型)的广泛应用.

7.导数及其应用

(1)了解导数概念的实际背景.

(2)通过函数图像直观理解导数的几何意义.

(3)根据导数的定义求函数1y=cj=x,1y=r,1y=/，y==石(c为常数)的导数.

x

(4)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，

能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

常见基本初等函激的导数公式和常用导数运算公式：

C'=0(C为常数)；(x")'=Mx*-i,neN+；(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(1)'=/;

(a*)'=a"Ina(a>0,且arl);(Inx)'=—;(10gdix)'=Loge(a>0,且a，l).

xx

常用的导数运算法则：

法则1\u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x).

法则2[t/(x)v(x)y=«V)v(x)+u(x)vV).

法则3[翳上出爷产为可X)W。).

(5)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间

(其中多项式函数一般不超过三次).

(6)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值

(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函

数一般不超过三次).

(7)会用导数解决某些实际问题..

(8)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.

(9)了解微积分基本定理的含义.

【命题规律】

函效是高中数学教学内容的知识主干，是高考考察数学思想、方法、能力和素质的主阵地,

而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个数学教学的全过程，导致是研究函数的有力工具,

高考对函数的考察更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性

质、证明不等式等，体现出高考的综合热点.

函数与导致在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择、埴空又有解答题，而且不同

难易程度的题目都有，低档难度题一般只涉及函数本身内容，中、高档难度的题多为综合程

度较高的题，或者与其他知识的结合，或者是多种思想方法的渗透，近年来高考强化了函数

与其他知识(函数、方程、不等式、数列等)的渗透，加大了以函数为载体的多方法、多能

力的综合程度，解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论思想的应用.

王千禹*明犷超

-.基础知识整合

1.函数的奇偶性：

(1)定义：一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(—x)=/(x),那么

函数/(X)叫做偶函数；如果都有/(-x)=-/(x),那么函数/(X)叫做奇函数，函数具有奇

偶性，则定义域关于原点对称.

(2)图象特征：函数/(x)是偶函数U图像关于y轴对称；函数/(x)是奇函数U图

像关于原点对称.(3)奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果

在x=0处有定义，有/(0)=0,即其图像过原点(0,0)偶函数在其定义域内关

于原点对称的两个区间上的单调性相反，且/(—%)=/(%)=/(国)

,这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化

问题的途径，切记！

2.函数的单调性判断方法：

(1)定义法：对于定义域内某一个区间D内任意的且为<工2,若/(芭)</(>2)

Uf(x)在D上单调递增：若/(凡)>/(x2)Uf(x)在D上单调递减.

(2)导数法：若函数在某个区间D可导，如果f'(x)>0,那么函数f(x)在区间D内单调递

增；如果f'(x)<0,那么函数f(x)在区间D内单调递减.

(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.

(4)尸(x)=/(x)+g(x),若/(x),g(x)都是增函数，则尸(幻在其公共定义域内是增函数;

若f(x),g(x)都是减函数，则尸(幻在其公共定义域内是减函数.

F(x)=f(x)-g(x),若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则尸(x)在其公共定义域内是增

函数；若/(X)是减函数，g(x)是增函数，则/(X)在其公共定义域内是减函数.

同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性

往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用.

3.函数的图像：

(1)描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而

成.

(2)图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.

办0晌左平移心单位)

/(-V)&<0(向右平移,件单位)

斤>0晌上平移k个单位)

/(.V)超0(向下平移代疗单位)*fG)+k

0>i(图像上所有点的姒坐标不会，横坐标缩短为原来的工)

_____________________________________________________________G】

/(A)图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的工)>0,ir^l)

/(X)上通处所有点的段登林不会.纨坐标伸长为原案的M_(x)(^4>0,2工1)

图像上所有点的摘公标不叁.然坐标缩细为原案的Af

/(|x|)的图像的画法：先画XNO时y=/(x),再将其关于y对称，得y轴左侧的图像.

|/(x)|的图像画法：先画y=/(x)的图象，然后位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方

的图象关于X轴翻折上去

f(a+x)=f(a-x)Dy=/(x)的图象关于x=a对称

f(a+x)=-f(a-x)Dy=f(x)的图象关于(a,0)点对称.

y=f(x)的图象关于x轴对称的函数图象解析式为y=-f(x)；关于y轴对称的函数解析

式为y=f(-x),关于原点对称的函数解析式为y=

(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如＞=》+，的图象

X

4.周期性:

(1)定义：对于函数y=/(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一

个值时，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函数y=/(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫

做这个函数的周

期.

(2)若f(x+a)=-f(x)(aw0),则函数f(x)是周期函数，且T=2a；gf(x+a)=—则

fix)

函数f(x)是周期函数，且T=2a；若f(x+a)=-1y

则函数f(x)是周期函数，且T=2a.

(3)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一.

例：f(x)是奇函数:，且最小正周期是2,贝Uf(x+2)=f(x)=-f(-x),所以f(x)关于(1,0)

对称.

f(x)是偶函数，且图象关于x=l对称，则f(2+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)周期是2.

5.指数函数、对数函数、基函数的性质：

对数函数y=1ogW«>0,

指数函数1y=。卢1)

函数々卢1)

0<a<la>l0<«<1a>\

上

图象

定义域R(0,+8)

过定点(0.1)(1,0)

在R上单调在R上单调在(0,+8)在(0,+8)

单调性

递减递增上单调递减上单调递增

幕函数y=xa图象永远过(1,1),且当。>0时，在XG(0,+8)时，单调递增；当。<0时，

在xe(0,+8)时，单调递减.

6.函数与方程

(1)方程/(x)=0有实根U函数y=/(x)的图象与x轴有交点U函数y=/(x)有零点.

(2)如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

/(注/(。)<0那么，函数y=/(x)在区间(”,份内有零点，即存在c€(a,b),使得f(c)

=0,这个c也就是方程f(x)=0的根

(3)若函数1y=/(x)在区间(a,力上有1/(a)-/9)>0,若能找到一个自变量ce(a,b)>

且■/(a)J(c)<0或<0,则函数y=/(x)在区间(a,5)上有零点.

(4)函数y=/(x)的零点就是/(x)=0的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转

化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.

(5)函数的零点就是函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合

极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间.

7.导数的几何意义

(1)函数y=/(%)在点x0处的导数就是曲线y=/(%)在点P(x0,/(x0))

处的切线的斜率，则左=/'(/)

(2)函数y=/(X)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y-/(x°)=/(x0)(x-x0).

(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个

条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率女=f(Xo).

8.导数与单调性的关系

(1)若函数在某个区间D可导，f'(x)>0Pf(x)在区间D内单调递增；f'(x)<ODf(x)

在区间D内单调递减.

(2)若函数在某个区间D可导，f(x)在区间D内单调递噌D/(x)>0；f(x)在区间D内

单调递D/(x)<0.

⑶若求单调区间，只需在函数y=/(x)的定义域内解不等式/(x)>。或/(x)<0：或者

可以画导函数/(x)的图像，通过判断/(x)的符号确定单调区间(尤其对于含参数的函数

单调性问题可以蔺化解题过程).

(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求

解；另一种方法是转化为f(x)NO或f(x)<0恒成立.

9.导数和函数极值、最值的关系

(1)求极值的步骤：

①先求f(x)=O的根%(定义域内的或者定义域端点的根舍去)；

②分析x0两侧导数/(X)的符号：若左侧导数负右侧导数正，则不为极小值点；若

左侧导数正右侧导数负，则不为极大值点.

(2)对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.

(3)设函数y=/(x)在旬上连续,在(a,加内可导，则y=/(x)在［a,句上必有最大

值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最

值.

(4)求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分

点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值，大

前提是要考虑函数的定义域.

10.利用定积分求曲边梯形的面积

(1)由直线x=a,x=b(a<6),x轴及一条曲线y=/(x)(/(x)NO)围成的曲边梯形的

面积

S=J：/(x)公，若F(X)=/(x),则5=/3)-/?(a).

(2)推广：由直线x=a,x=b(a<6),y=/(x)和y=g(x)(/(x)>g(x))围成的平

pb

面图形的面积为S=£[/(%)-g(x)]dx

二.高频考点突破

考点1函数及其表示

【例1】【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学C理)】已知函数

/(x)={f+L"1,若/(/(l))=4a,则实数。等于()

、2*+ax,x>1

14

A.—B.-C.2D.4

23

【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数y=41n(l-x)的定义

域为()

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

-x,x<0,

【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数/(x)=《，

x-2x,x>0

则满足./■(>)<1的x的取值范围是一

【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式(组)即

可.

2、对于复合函数求定义域问题，若已知/(X)的定义域3,句，则复合函数/(g(x))的定义

域由不等式a〈g(x)W6得到.

3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准

确找出利用哪一段求解.

【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学(理)】设

-log,(x+l)(x>6)8

/(%)=…满足/(〃)=—?,则/(〃+4)=()

3"6一1(x«6)9

A.2B.-2C.1D.-1

考点2函数的图象

【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学(理)】已知函数

/(x)=(x-a)(x-6)(。>匕)的图象如下面左图所示，则函数8(刈=优+匕的图象是()

【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】函数y=xcosx+sinx的

图象大致为

[例3][2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】函数Xx)的图象向右平移

一个单位长度，所得图象与产e，关于y轴对称，则7(x)=()

A.et+,B.et-1C.e-jr+lD.e-v-1

【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、

指数函数、对数函数、幕函数及形如y=ox+2b(a>0,b>0)的函数图象；②掌握图象变换

x

的方法来简化作图过程.

2.正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结

合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断.

【举一反三】

【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】.函数

</(#=1。82区，8(工)=-/+2,则/(刀).目(刀)的图索只可能是()

考点3函数的性质

【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】设。为实常数，y=/(x)

2

是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=9x+—+7,若/(x)2a+l对一切x»0成

x

立，则。的取值范围为.

[例2)【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数/(x)是定

义在(-OO,-KO)上的奇函数，若对于任意的实数x>0,邰有/(x+2)=/(x),且当xe[0,21

时，/(x)=log2(z+l),则1y(-2011)+/(2012)的值为()

A.-1B.-2C.2D,1

[例3]【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数/(x)的定义域为

{XWRIXHI},对定义域中任意的x,都有/(2—x)=/(x),且当x<l时，

/(x)=2/—%,那么当%>1时，/(x)的递增区间是()

5577

A.[—,+℃)B.(1,—]C.[—,+00)D.(1,—)

4444

【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域(最值)、对应法则、

对称性(包括奇偶性)、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数(载体)，研究函数的性

质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象(形)的作用，善于从形的角度研究函数

的性质.

【举一反三】

【广东省佛山市一中2014届高三10月段考(理)】已知函数/&)是定义在(-8,0)U(。,”)

上的奇函数，在(0,+o。)上单调递减，且/§)>/(-6)>0,则方程/(幻=()的根的个

数为.

考点4指数函数'对数函数、幕函数

【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学(理)】已知函数

尤^X<0

/(%)='-'若—则实数x的取值，范围是()

ln(x+l),x>0.

CA)(f1)口(2,小)(B)(r,—2)5L”)(0(-1,2).(D)(-2,1)

【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射8,其中

4=[0,l],B=R,对应法则是7:xflog1(2—x)—(1尸，对于实数AeB,在集合A中

23

不存在元素与之对应，则％的取值范围是.

|log3x|,0<x<3

.【例3X江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数=h,10，

—x----x+8,x3

[33

若存在实数。、b、c、d,满足/(。)=/(〃)=/(c)=/(△),其中d>c>Z>>a>0,

则abed的取值范围是.

【规律方法】1.对数函数的定义域为｛x|x>0｝,指数函数的值域｛y|y>0｝.

2.熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和

性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.

3.注意利用指数函数、对数函数、基函数的图像灵活运用数形结合思想解题.

【举一反三】

【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学.崔浦在平面直角坐标系中，若两点

P、。满足条件：

①尸、。都在函数1y=/(x)的图像上；

②R。两点关于直线y=x对称，则称点对｛R。｝是函数1y=/(x)的一对“和谐点对

(注：点对仍,。)于｛Q,丹看作同一对“和谐点对”)

X+3x+2(x<0)

已知函数/(x)=1'一'，则此函数的“和谐点对”有()

log,x(x>0)

A.0对B.1对C.2对D.3对

考点5函数的零点

【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试(理)】函।数/(x)="+2x-3

的零点所在的一个区间是

【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数y=/(x)是周期为2

的周期函数，且当时，/(幻=2同一1,则函数b(x)=/(x)—|lgx|的零点个数

是()

A.9B.10C.11D.12

[例3]【山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第一次四校联考旌】

-X,xe[-l,0)

已知函数/(X)=<1xe[01)'若方程■/(“)一左工+上=0有两个实数根，则上

的取值范围是()

1

C.[-1,+COID.--,+8

2,

【规律方法】1、确定函数/(x)的零点所在的区间：第一种方法是解方程/(x)=O的根;

第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和

右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.

2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合

导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.

3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题

处理.

【举一反三】

【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线y=x与函数

2X>7??

f(x)=\:一的图象恰有三个公共点，则实数〃7的取值范围()

x+4x+2,x<m

A.[-1,2)B.[-1,2JC.(-1,2]D.[2,+oo)

【分析】画出直线y=矛与y=/(x)的图冢，观察m的位置使得其有三个公共点即可.

y-xx=-2x=-1

【解析】法一：解方程组C，得仁或＜

y=/+4x+2y=-2y=-1

2,x>m

由直线1y=x与函数/(x)={2的图象恰有三个公共点，

x2+4x+2,x<m

作出图冢，结合图冢，知-l<m£2

法二：令x=x?+4x+2,得x=-2或x=T；令x=2,要使得图象有三个公共点，则

方程有三个不同的解，故此三根全取，故-l<m£2.

考点6函数模型及其应用

【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)】在如图所示的锐角三角形空地

中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位m)的取值范围

是()

(A)[15,20](B)[12,25]

(C)[10,30](D)[20,30]

[例2][2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】

甲厂以X千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求IWxWlO),每小时可获得利

3

润是100(5%+1--)元.

x

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大

利润.

【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题D建模D求解D反

馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳

为相应的数学问题：关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确

建立相关的函数解析式(标明定义域)，再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以

综合解决.

【举一反三】

【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】(本小题满分13分)预计某地区明年从年

初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量/(x)(万件)近似满足：

/(x)=x(x+1)(35-2x)(xeN*,且x<12)

(1)写出明年第矛个月的需求量XI(万件)与月份x的函数关系式，并求出哪个

月份的需求量超过192万件；

(2)如果将该商品每月都投放到该地区p万件(不包含积压商品)，要保证每月都满足

供应，p应至少为多少万件？(积压商品转入下月继续销售)

考点7导数的运算及其意义

【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数/(x)=/-3x,若过点

4(0,16)且与曲线y=/(x)相切的切线方程为y=ox+16,则实数。的值是()

A.-3B.3C.6D.9

1,

［例2］【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数/(x)=-x2+41nx,

若存在满足14%0<3的实数与，使得曲线y=/(%)在点(x0,/(x0))处的切线与直线

x+my—10=0垂直，则实数加的取值范围是()

13

A.[5,+oo)B.[4,5]C.[4,y]D.(-oo,4)

［例31【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】已知点工(1,1)和点

3(-1,-3)在曲线，子=。/+如?2+日(a,友d为常数上，若曲线在点上和点3处的切线

互相平行，则a3+b2+d=.

【规律方法】1.导数的几何意义是左=/(x).

2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有

关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点

既在曲线上，又在切线上.

【举一反三】

4

已知点P在曲线y=——上，a为曲线在点P处切线的倾斜角，则a的取值范围是()

e*+l

A.［0,今B.弓与C.弓㈤D.(J,当

442424

考点8导数的应用(单调性'极值、最值)

【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数/(X)的导函数为

/(%),对任意xeR都有f(x)>/(x)成立，贝U()

A.3/(ln2)>2/(ln3)B.3/(ln2)=2/(ln3)

C.3/(ln2)<2/(ln3)D.3/(ln2)与2/(ln3)的大小不确定

［例2］【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数/。)=江+ln(x+l).

(I)当a时，求函数/(x)的单调区间；

4

(II)当X£［0,+oO)时，不等式恒成立，求实数。的取值范围.

【例3】【安武省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学(理)】已知函数

,1o，人、

/(x)=—x2-(2In>0).

⑴若a=2,求/(x)在(1J。))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(l,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.

【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式f(x)>0

和定义域求交集得单调递增区间；解不等式f（x）＜0和定义域求交集得单调递减区间.

2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.

3、求函数的极值，先求/