高中数学总复习教学案03：平面向量

中学数学总复习教学案

第3单元平面对量

本章学问结构

本章的重点难点聚焦

(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，向量共线的条件极其坐标表示，向量的数量积运算的定义、

运算律及其坐标表示，向量垂直的条件极其坐标表示._

(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；

本章学习中应当着重留意的问题

对于本章内容的学习，要留意体会数形结合的数学思想方法的应用.

本章高考分析及预料

在高考试题中，主要考查有关的基础学问，突出向量的工具作用.平面对量的考查要求：第一，主要考查平

面对量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生驾驭平面对量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理

解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；其次，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第

三，常常和函数、曲线、数列等学问结合，考察综合运用学问实力.一

在近几年的高考中，每年都有两道题目.其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算

法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题.大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等

问题.一

§3.1向量的概念及线性运算.

新课标要求.

1.理解向量的概念，驾驭向量的几何表示；_

2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会分辨图形中的相等向量或出与某一已知向量相

等的向量；_

3.会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量，会作两个向量的差向量一

5.驾驭向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；_

6.了解相反向量的概念；.

8.驾驭向量的数乘定义，理解向量的数乘的几何意义；_

9.驾驭向量的数乘的运算律；_

10.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.一

重点难点聚焦］

重点；1.向量概念、相等向量概念、向量几何表示；一

2.用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量与差向量；_

3.驾驭实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件.一

难点：1.向量概念的理解；.

2.向量的加法和减法的定义的理解；_

3.对向量共线的充要条件的理解._

高考分析及预策:

本节主要考点：.

向量的加法与减法；一

向量的数乘的定义；_

向量的数乘的运算律：一

向量共线的条件；_

有关向量平行及三点共线问题.一

高考预策：一

留意数形结合思想的应用一

留意向量共线条件的应用一

题组设计.

再现型题组_

1.已知「A5CD的对角线AC和相交于。，且OA=&,O8=b,用向量a,b分别表示向量

OC,OD,DC,BC.

2.对随意向量a为，下列命题正确的是（).

A.若“力满意问〉W，且“与匕同向，则a>/?

B.|<2+S|<|<2|+1^1

|力卜同一忖

若。力都是单位向量，则。=力

3.设a是非零向量，4是非零实数，则下列结论正确的是（）..

A.a与一4a的方向相反B.|-Atz|>\a\

C.a与万〃的方向相同D.|-A（i|=|^|^

巩固型题组.

4.在AABC中，AB=C,AC=bf若点D满意BD=2DC,则4£）=（）._

2-152-2-11-2

A.-b+-cB.-c--bC.-b--cD.-b-^-c

33333333

5.已知AB=a+5b,BC——la+8b,CD=3（a—6）,则（）

A.AB,。三点共线B.A,8,C三点共线.

C.B,C,O三点共线D.A,C,。三点共线.

6.已知向量a,8是两个非两向量，在下列的四个条件中，能使。，。共线的条件是（）_

①2d-3人=46且6+2〃=-32②存在相异实数4〃使/Id+//〃=0

③M+y6=0（其中实数x,y满意x+y=0）④已知梯形A3CD,其中A8=a,C£>=8

A.①②B.①③C.②④D.③

提高型题组.

7.如图对于平行四边形A5CD,点M是AB的中点，点N在5。上，且BN」BD,求证：M,N,C三点、

3

OC=WA+/aOB,反之，也成立.

反馈型题组_

9.平面对量2、6共线的充要条件是（）

A.a,〃方向相同B.a,5两向量中至少有一个为零向量

C.BA&R,b=AaD.存在不全为零的实数4,4+=0

10.在AABC中，已知。是AB边上一点，若AD=2DB,CD=-CA+ACB,则2等于（）

3

2„I2

A.-B.-C.——D.一一

3333

11.化简以下各式结果为零向量的个数是（）.

①AB+BC+CA；@AB-AC+BD-CD；③OA-OD+AO；④NQ+QP+MN-MP

A.1B.2C.3D.4

12.设同=6,问=20,求:+回的大值和最小值.一

13.。是平面上肯定点，4,B,C是平面上不共线三点，动点P满意.

OP=OA+A(AB+AC),4G[0,+8),则点P的轨迹肯定通过八46。的()_

A.外心B.垂心C.内心D.重心一

14.己知A4BC中，点。在5C上，且CD=2DB,CD=rA3+sAC,贝ijr+s=

§3.2向量的正交分解及坐标表示_

新课标要求.

1了解平面对量基本定理；一

2驾驭平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思

想方法：.

3.理解平面对量的坐标的概念，驾驭平面对量的坐标运算；_

4.会依据向量的坐标，推断向量是否共线；_

5.驾驭线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；_

重点难点聚焦.

重点：1.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示；_

2.平面对量的坐标运算；

3.段的定比分点和中点坐标公式的应用

难点：1.平面对量基本定理的理解；

2.向量的坐标表示的理解及运算的精确性；

高考分析及预策

本节考点：

1.平面对量基本定理；

2.向量的正交分解；

3.平面对量的坐标表示极坐标运算；

4.两向量共线的条件的坐标表示；

5.利用共线求定比分点坐标.

题组设计

再现型题组

1.下列说法正确的是()

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面全部向量的基底;

②一个平面内有多数多对不共线的向量可作为表示该平面全部向量的基底;

③零向量不行作为基底中的向量.

A.①②B.②®C.①③D.①②③

2.已知a=(l,0),b=(1,1),c=(-1,0),求4和〃，使C=〃万.

3.己知点A(0,l),3(1,0),C(l,2),0(2,1),是推断向量AB和C。的位置关系.

巩固型题组

4.在AABC中，已知A(2,3),5(6,T),G(4,—1)是中线AO上一点，且,4=2,4,则点C的坐标为()

A.(-4,2)B.M,-2)C.(4,-2)D.(4,2)

5.。=(1,2),b=(x,l)，u=a+2b，v=2a-bf且〃v,则x的值为()

、1c11

A.一B.-C.一D.——

2266

6.已知a=(l,2),6=(-3,2),当人为何值时，痴+b与。一3b平行？平行时，它们是同向还是反向？

提高型题组

9.若向量a=(x+3,f—3x—4)与A3相等，己知A(1,2),B(3,2),则x的值为—

10.若。=(6,—8),则与a平行的单位向量是.

11.已知向量。4=(2,12),08=(4,5),OC=(—2,10),且A,8,C三点共线，则％=.

12.己知点0(0,0),A(l,2),3(4,5)及OP=OA+tAB

求：⑴f为何值时，P在其次象限？

⑵四边形。钻尸能否构成平行四边形？若能，求出相应的r值；若不能，请说明理由.

13.已知向量48=(3,4),4。=(—1,3),点人(—2,1),若点尸(3,y)满意3P=XP。，求y与;I的值.

14.已知41,0),直线/:旷=2》一6,点尺是直线/上的一点，若R4=2AP,求点尸的轨迹方程.

§3.3数量积及其应用

新课标要求

1驾驭平面对量的数量积及其几何意义；

2驾驭平面对量数量积的重要性质及运算律；

3了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4驾驭向量垂直的条件

重点难点聚焦

重点：1.平面对量的数量积定义；

2.平面对量数量积及运算规律；

3.平面对量数量积的坐标表示.

难点：1.平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用；

2.平面对量数量积的坐标表示的综合运用

高考分析及预策

本节的主要考点：

1.两个向量的夹角；

2.平面对量的数量积的性质；

3.向量数量积的运算律；

4.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件；

5.向量的长度、距离和夹角公式.

题组设计

再现型题组

1.设。力是随意的非零平面对量，且它们相互不共线，下列命题：

①3力)•，-©a"=0②问一|同<,一。］

③S・c)a-(c不与c垂直④(3a+26)•(3a-2b)=9同°-4|/?|

其中正确的是()

A.①②B.②③C.③④D.②④

2.&=(1,0),』=(1,1),L为何值时,4+花与d垂直?

3.已知同=4,忖=3,(2a—36).(2a+6)=61

⑴求。与〃的夹角。；

⑵求卜+可：

(3)若AB=。，AC=b,求△ASC的面积.

巩固型题组

4.若向量a与。的夹角为60°,卜卜4,(4+2人＞(4一3万)=一72,则向量a的模为()

A.2B.4C.6D.12

5.已知A(2,5),3(5,2),C(10,7),试推断AABC的形态,并给出证明.

6.已知a/，。为A48C的三个内角A,B,C的对边，向量a=(6,-1),n-(cosA,sinA),若〃?_!_〃，且

acosB+hcosA=csinC,则角B-.

提高型题组

7.设两个向量满意：阎=2,冈=1.q©的夹角为60°,若向量2多+7e2与向量q+g的夹角为钝角，

求实数/的范围.

33—

8.已知向量。=(cos—x,sin二x),b=(cos—,—sin—),且xw0,—.

2222L2_

⑴求〃•/?及卜+可；

⑵若f(x)=a-6—2九k+,的最小值是q，求力的值.

反馈型题组

9.A4BC为锐角三角形的充要条件是()

A.(ABAC)(BABC)>0B.(ABAC)(CACB)>0

C.(BA-BC)■(CACB)>0D.(AB-AC)■(BA-BC)■(.CA-CB)>0

10.如图，E,£G,〃分别是四边形ABCD的所在边的中点，若(AB+8C)-(A4+AQ)=0,则四边形EFG”

是()

A.平行四边形，但不是矩形也不是菱形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

11.设B是两个非零向量，％是。在6的方向上的投影，而4是匕在。的方向上的投影，若。与6的夹角为

钝角，则()

A.%=〃>0B.A=//<0C.2,//e/?-D.A,//eR+

12.若同=忖=,一.=厂(r>0),则a与人的夹角为；db=.

13.在AA6C中，若BC=d,C4="AB=C,且a.6=〃.c=c/，则AABC的形态是()

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形

-1

14.已知向量。=(sinx,1),Z?=(cosx,--).

⑴当时;求卜+〃的值；

⑵求函数/(x)=q,(a-A)的值域.

第3章平面对量45分钟单元综合检测题

选择题

1.已知0,A8是平面上的三个点，直线上有一点C,满意2AC+C3=0,则0C=()

21

A.2OA-OBB.-0A+20BC.—0A+—08D.--OA+-OB

3333

2.设白=(1,-2),力=(-3,4)]=(3,2),则3+2力)4=()

A.(-15,12)B.0C.-3D.-11

3.已知向量d=(2,-)3,力=(3,2),若a\bf则知等于()

2

B.-2D.

A.I3

4.已知两点M(—2,0),N(2,0)，点P为坐标平面内的动点,

满意\MN\•+MN•NP=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为)

A.y2=8xB.y2=-8xC.y2-4xD.y2=-4x

5.在AA5C中,ABBC=3,A4BC的面积Sc则A8与8C夹角的取值范围是()

7171兀7171717171

A.B.C.D.

6.已知i与/为相互垂直的单位向量，a=i-2j,h=i+Aj,且。与b的夹角为锐角，则实数％的取值范围

是()

1C.-2,|L|2,+001

A.(-oo,-2)u(-2,­)B.—.4-00D.—00—

232

二、填空题

7.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,匕)(abw0)共线，则-+-=

ab

8.设向量。=(1,0)力二(cos。,sin。),其中0<8〈万，则的最大值是.

9.设是平面直角坐标系内1轴、y轴正方向上的单位向量,

且AB=4i+2j,AC=3i+4/,则AABC面积的值等于.

10.已知向量a与匕的夹角为120°,同=1汹=3,则卜”一可=

三、解答题

11.设为圆f+y2=1上两点，。为坐标原点(A,。,8不共线)

⑴求证：。4+03与。4一。8垂直.

■7T{7T7T\3

(2)当NxOA=—,NxO5=e,6€——，一且。4・。3=—时，求sin。的值.

4144)5

12.已知。为坐标原点，A(0,2),B(4,6),OM=ttOA+t2AB

⑴求点M在第一象限或第三象限的充要条件：

⑵求证：当4=1时，不论为何实数，三点都共线.

§3.1向量的概念及线性运算(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】

如图

0C是。4的相反向量，...。。二一。

。。是。8的相反向量，二。。=一。

DC=DO+OC=b-a（或0c=OC-OD=b—。）

BC=BO+OC=-h+a(BC=OC-OB=d-b).

【基础学问聚焦】相反向量的概念；向量加法的几何表示；向量减法的几何表示.

2.【提示或答案】B.

【基础学问聚焦】

⑴向量是既有大小又有方向的量，不能用或连接；

⑵向量加法的三角形法则的应用;

⑶单位向量的概念.

3.【提示或答案】C.

【基础学问聚焦】

⑴实数与向量的积的意义;

⑵向量共线的条件.

巩固型题组

4.【解法一】

,:BD=2DC：.BD=-BC

3

221212

：,AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-^C-^-AB+-AC=-C+-h.

【解法二】

过。作DE|AC交AB于点E

1一2

则AE=-4B,ED^-AC

33

/.AD^AE+ED^-c+-b

33

【点评】解法二利用了共线向量的性质，使过程得到了简化.解题过程中应留意条件B£>=2。。的运用，

它表明白点。的位置.

【变式与拓展】在A43C中，已知。是A3边上一点，若=CD^-CA+ACB,则2等于

3

()

2112

A.-B.-C.——D.——.

3333

5.解：VBD=BC+CD=-2d4-8/7+3(^—b)=d-\-5b=AB

・・.A,氏。三点共线.

【点评】推断三点共线往往借助于两个共点向量共线.

--1-101.

6.解：①由2a-3/?=4e且a+2A=—3e,得〃=一一e,b=—e,则4=一一b,则a\b；

7710

②•.•存在相异实数九〃使/la+〃b=0,•••不妨设义00,则a=_则ab；

③有可能是x=>=0,所以不能推断ab；

④AB,CD不肯定是梯形的两底，有可能是梯形的两腰.

提高型题组D________________C

7.解：设==8/

则MN=MB+BN=MB+-BD=-AB+-(^S-AB)=^AB+-AD=-a+-b；

3236363

i__1________2_.i__12

CN=CB+BN=-AD+-BD=-AD+-(AD-AB)=一一AD一一AB=一一a一一b

333333

CN=-2MN：.CNMNM,N,C三点共线.

8.解：；A,B,C共线/.ABBC：.3t&R,^BC=tAB

：.OC-OB=t(OB-OA)OC=(1+t)OB-tOA

令％=1+，,//=—，，则4+〃=1,使OC=4OA+.

反之，若存在实数且几+〃=1,使得0C=/l04+〃OB,

则OC=WA+/.lOB=WA+(1-QOB=OB+AOA-WB

：.OC-OB=A(OA-OB)

:.BC=2BA:.BCBA，A,B,C共线

【变式与拓展】平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知A(3,1),B(—1,3),若点C满意OC=aOA+4。8,

其中a,4GR,且a+〃=l,则点C的轨迹方程为()

A.3x+2y-ll=0B.(x-1)2+(y-2)2=5

C.2x—y=0D.x+2y-5=0

课堂小结

本节课重点是向量的加减法运算的几何表示，实数与向量的乘积的意义，向量共线的条件，在解题过程中

应留意运用数形结合的方法.

反馈型题组

9.D10.A11.D

12.提示:利用向量加法的三角形法则，三角形三边之间的关系,

14引a+司426.

13.提示：(如图A3+AC=2AD)D.

14.1.

§3.2向量的正交分解及坐标表示(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】D

[基础学问聚焦】本题考查的是基底的概念以及构成基底的条件.

留意：零向量不行作为基底中的向量.

2.【提示或答案】待定系数法

解：c-Aa+i-ib，(-1,0)=4(1,0)+〃(1,1)=(4+4,〃)

.J-1=彳+〃./=_]

'I0=〃1〃=0

【基础学问聚焦】本题考查的是平面对量基本定理的坐标表示.

3.【提示或答案】

已知点A(0,l),3(1,0),C(l,2),0(2,1),是推断向量AB和CO的位置关系.

解：VAB=(1,-1),CD=(1,-1)AB=CD

：.ABCD

【基础学问聚焦】本题考查的是向量共线的条件的坐标表示.

巩固型题组

4.【解法一】

—•33

•/|AG|=2|GD|AD=-AG=-(2,-4)=(3,-6)

ABD=AD-AB=(3,-6)-(4,-7)=(-1,1)

AC=AB+2BD=(4,-7)+2(-1,1)=(2,-5)

AOC=OA+AC=(2,3)+(2,-5)=(4,-2)

【解法二】

*/|AG|-2|G£)|AO是中线

.•.G点是A4BC的重心

...4+“y+y+y

.•才G-，ZG-ABc

••X,Q—4,=—2

【点评】本题考查的是向量线性运算的坐标表示，解法二利用了重心坐标公式，使问题得到简化，可见数形结

合魅力和擅长视察的重要性.

5.【解法一】

uv.二m彳w0,使〃=4口，即。+2Z?=4(2。一。)

•*.(1-2A)tz=(A—2)b•**db

••2x=1•»x=

2

【解法二】

'/u=a+2b=(l,2)+2(x,l)=(l+2x,4)v=2a-b=2(1,2)—(九,1)=(2—羽3)且〃iv

A3(l+2x)=4(2-x)：.x=-

2

【点评】本题考查了向量共线的条件的坐标表示.解法已从〃v看出了a\b,使运算得到简化.

6.【提示或答案】&=-■!•时，履+b与4-3匕平行，且方向相反.

3

提高型题组

7.【提示或答案】

♦••表示向量4a,4人-2c,2(a-C),d的有向线段首尾相接能构成四边形

4a+4b-2c+2(a-d)+d=0

d=—6a—41+4<?=—6(1,—3)—4(—2,4)+4(—1,-2)=(-2,-6)

【点评】本题考查的是向量加法的几何表示，通过几何表示找出能构成四边形的条件，又考查了向量加法的坐

标表示.

8.【提示或答案】

设”(乂y)，则

I「31

即(x+2,y-1)=-(3,2).42：.<2

y-l=l〔y=2

点的坐标为(—工,2)

2

57

同样可求得P点坐标为(—1,；),。点坐标为(0，)

【变式与拓展】已知人(一2,1),3(1,3),点「满意4。=/1尸8,求点尸的坐标.

课堂小结

本节课重点是平面对量基本定理，向量线性运算的坐标表示，向量共线的条件的坐标表示，以及利用向量

共线证明三点共线，求定比分点的坐标等，解题过程中应留意运用数形结合的方法.

反馈型题组

342

9.-110.(-,——)11.k=——

553

21

12.(1)--<k<一一时，P在其次象限；

33

⑵不能构成四边形.

VOA=(1,2)PB=(3-3r,3-3/)

二不论t为何值OA都不行能和PB平行.

C11,1

13.y=—,A,=—

23

14.解：设点尸(x,y),R(a,b)

贝ijb=2a-6

•：RA=2AP

/.(1-a,-b)=2(x-1,y)

.J1-a=2x-2

"I-b=2y

.Jo-—2x+3

[/?=-2y

2y=2(—2x+3)—6

§3.3数量积及其应用(解答部分)

再现型题组

1.【提示或答案】D

【基础学问聚焦】向量数量积的运算律，向量垂直的条件，向量减法的儿何表示的应用.

2.【提示或答案】4=-1时，a+例与a垂直

【基础学问聚焦】向量垂直的条件的坐标表示.

3.【提示或答案】(1)6=3-；(2),+川=屈；(3)SMBC=3^.

【基础学问聚焦】向量数量积的定义，求模的方法，求面积公式.

巩固型题组

4.【提示或答案】

解：V(a+2by(a-3b)=a2-a-b-6h2一同x4cos60'>-6xl6=-72

/.|i/|=6

【点评】本题考查了数量积定义的变式，还可以利用数量积定义求夹角.

【变式与拓展】已知同=4,忖=3,(2。一3吐(24+》)=61,求a与b的夹角6.

5.【提示或答案】

解：：AB=(3,-3),AC=(8,2),BC=(5,5)

ABBC=O

AB1BC

AABC为直角三角形.

【点评】本题考查了数量积的应用.

【变式与拓展】反馈型题组9

6.【提示或答案】

解：：V3cosA-sinA=2sin(--A)=0

3