一元线性回归模型参数的最小二乘估计+第1课时高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章

成对数据的统计分析8.2.2一元线性回归模型

参数的最小二乘估计

第1课时学习目标1、进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义.2、能用最小二乘法求一元线性回归模型的参数.3、了解非线性回归模型.4、会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.复习回顾回顾：1、什么是一元线性回归模型？2、一元线性回归模型与函数模型的区别是什么？情境导学问题1：为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型表达式

刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b?

与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数。课堂探究追问：我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？课堂探究我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2），…，(xn，yn)由yi=bxi+a+ei（i=1，2，…，n)，得|yi一(bxi+a)|=|ei|.显然|ei|越小，表示点(xi，yi）与点（xi，bxi十a）的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小。特别地，当ei=0时，表示点(xi，yi）在这条直线上.因此，可以用

来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程度。课堂探究求a,b的值，使Q(a,b)最小残差平方和：课堂探究课堂探究上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为：新知生成

我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法．新知生成

1、经验回归必过.2、都是估计值.3、

与

r

符号相同.注意：课堂探究问题2：利用上节课的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。追问1：当x=176时，

,

如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？新知生成残差分析：新知生成残差图：作图时纵坐标为残差,

横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．从上面的残差图可以看出，残差有正有负，残差点比较均匀地分布在横轴的两边，可以判断样本数据基本满足一元线性回归模型对于随机误差的假设。所以，通过观察残差图可以直观判断样本数据是否满足一元线性回归模的假设，从而判断回归模型拟合的有效性。课堂探究追问：观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定？典例剖析例：经验表明，对于同一树种，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.

在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.典例剖析解：以胸径为横坐标，树高为纵坐标作散点图如下：散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.典例剖析用d表示胸径，h表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为典例剖析根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示.典例剖析以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到下图.观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树