简单随机抽样(第2课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

9.1随机抽样9.1.1

简单随机抽样

第2课时

前面我们学习简单随机抽样的，请你思考一下下列问题：回顾与引入1.什么是简单随机抽样？它有何特点？

一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,则这种抽样方法叫做简单随机抽样.

在本章中，除特别说明以外，指的是不放回简单随机抽样.

简单随机抽样有如下特点：

(1)有限性；(2)逐一性；(3)公平性；(4)不放回性

(本章未作除特别说明时).2.如何理解抽签法和随机数法？(1)抽签法的步骤：

①编号：

给总体中的每个个体编号；

②制签：把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(或卡片、小球等)上作为号签；

③拌匀：

将号签放在一个不透明的盒里，充分搅拌；

④抽取：逐个不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数；

⑤成样:将抽到编号的个体形成一个样本.(2)随机数法的步骤：

①编号：

给总体中的每个个体编号；

②获取样本号码：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数(不在本范围内和在本范围内但重复出的数要剔除)，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本；

③形成样本：重复上述过程，直到抽足样本所需要的个体数.(3)抽签法与随机数法的比较：

①当总体个数较多时，用抽签法操作比较麻烦，且不易搅拌均匀，产生样本的代表性有可能不好；

当总体容量很大时，需要的样本容量也很大，利用随机数法抽取样本仍不方便.②抽签法适用于总体个数不多的情形，

随机数法适用于总体中个体数较多,但样本容量不大的情形.

根据我们经验，在统计工作中，得到了一个样本后，接下来我们应该干什么？

对样本的数据进行分析(如计算平均数，方差，极差，中数等等)，然后对总体进行估计.接下来，我们就来研究样本的平均数和总体的平均数.知识探究(一)

由这些样本观测数据，我们可以计算出

样本的平均数为164.3cm.

据此.可以估计

树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.

问题1：下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值(单位:cm)如下:思考(1):“样本的平均数为164.3cm”是怎么计算出来的？返回均值(平均数)1.总体均值（总体平均数）

一般地，总体中有N个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则总体均值(总体平均数)为

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,3,...,k),则总体平均值(总体平均数)还可写成加权平均数：求和数据下标的初始值求和的对象下标的终止值求和数据的下标返回

如果样本的n个变量值中，不同的值共有m个(m≤

n)个，不妨记为

y1，y2，…，ym，其中yi出现的频数为fi(i=1,2,3,...,m),则样本平均值(样本平均数)还可写成加权平均数：2.样本均值（样本平均数）

如果从总体中抽取一个容量为

n的样本,它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称样本均值(样本平均数)为思考(3):你能仿照总体的情况说说样本的平均数的表达式吗？练习1.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是2，那么另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为________.2.已知一组2x1+1,2x2+1,…,2x5+1的平均数是11，则另一组数据3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-3，那么的平均数为_____.均值(平均数)的性质知识探究(二)

问题2：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.

他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，

计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，

如下表所示.从小明多次抽样所得的结果中，

你有什么发现?

为了方便观察数据，以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系，把这20次试验的平均数用图形表示出来，如下图，图中的红色线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均数.

思考(1)：样本平均数有怎样的特征？为什么？

总体平均数是确定的，但各样本的平均数却不尽相同，即使样本量相同，因此，样本平均数具有随机性，这是因为样本具有随机性.思考(2)：样本平均数与总体平均数有怎样的联系？

尽管样本平均数具有随机性，大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动.

相较于总体的平均数，样本量为100的平均数比样本量为50的平均数的波动要小，折线变化趋势更平缓，更贴近红线.即样本量大的波动程度小于样本量小的波动程度.

思考(3)：样本量为50和样本量为100的样本平均数波动幅度是否相同？思考(4)：根据以上的分析，你能说说样本平均数的特征吗？样本平均数的特征

(1)随机性：

即便是样本量一样，不同样本的平均数也不一定相同.

(2)统计规律性：

①大部分样本平均数离总体平均数不远，总是在总体平均数附近波动;②一般地，随着样本量的不断增加，样本平均数围绕总体平均数波动程度就会越来越小.思考(5)：根据以特征，请你说说样本平均数的应用？

在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体均值，且在可能的情况下，为了提高估计效果可以适当增加样本量.样本平均数的应用返回练习

1.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市5万户居民的日用电量.通过简单随机抽样，从中抽取了300户进行调查.得到其日用电量的平均数约为5.5kW·h.则可以推测全市居民的日用电量平均数()(A)一定为5.5kW·h(B)高于5.5kW·h(C)低于5.5kW·h(D)约为5.5kW·h

2.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样.小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100。小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200.请问:(1)你更愿意哪个数值作为总体平均数的估计？(2)是不是你选的值一定比另一个更接近总体的平均值？请说说你的理由。

简析：

(1)选择166.4为总体的平均数.

因为166.7对应的样本量(200)大于166.4对应的样本量，所以166.7更有可能接近总体的平均数.

(2)不一定.

因为样本具有随机性，并不能保证样本量大的均值就一定比样本量小的均值更接近总体的均值.(教材P181练习第1，2题）知识探究(三)

问题2:眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要.

树人中学在“全国爱眼日”前，想通过调查，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做?

方案一：全面调查

先将全校学生的视力情况全部逐一调查清楚；

再统计视力不低于5.0的学生；

最后计算出比例。

思考(1):

我们知道，样本平均数可以估计总体平均数，但本调查是总体比例问题，方案一和方案二也是调查的比例，那么你能否将这个问题转化为平均数问题解决呢？

方案二：抽样调查

先在全校学生当中抽取一个样本，例如100名学生；

然后在样本中统计视力不低于5.0的学生，计算他们在样本中所占的比例；

最后用样本的情况来估计全校学生的情况。将学生的视力情况(两种)转化为变量数据：

“视力不低于5.0“为1，“视力低于5.0“为0，则第

i(i=1,2,3,..,2017)个学生的视力变量值为则全校学生中，“视力不低于5.0”的人数为Y1+Y2+Y3+…+Y2017在总体中，“视力不低于5.0”的人数所占的比例为

方案三：

现抽取容量为n的样本，把它们的视力变量值分别记为y1,y2,y3,…

,yn,则

在样本中，“视力不低于5.0“的人数所占的比例

p就是学生视力变量的样本平均数假设抽取样本的容量为50。样本中变量取值如下：11010010111000110100011101101111011010100010011100

则因此可以估计，全体学生中“视力不低于5.0”的比例约为0.54思考(2)：关注问题2中的红色数据2，解释其原因？

问题2中

样本量为50的第二个样本与总体平均数相差太大.

这是因为样本和样本的平均数具有随机性，

因此样本平均数出现极端的情况也是不能排除的，尤其是在总体中的数据比较分散，抽取样本量又较小的情况下

由于简单随机抽样的这些局限性，所以在大规模的调查中，直接采用简单随机抽样的情况并不多，而是把简单随机抽样与其它方法相结合返回练习

1.本校从高一的全体男生中，用简单随机抽样的方法从中抽取20人，测得的体重分别如下(单位：kg):65，50，70，82，66，72，54，85，70，6258，72，64，60，76，72，80，68，58，66

试估计本校男生的平均体重，以及体重在60~75kg间的人数所占的比例.解：样本中20人的平均体重为样本中体重在60~75kg间的人数有12人，它们所占的比例为

∴本校男生的平均体重约为67.5kg，体重在60~75kg间的人数所占的比例约为.

2.小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按照经验，鲢鱼的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计鱼塘中鲢鱼的总质量(单位：kg)，从鱼塘中捕捞了三次进行统计，得到的数据如下表：解：

将三次捞出的40条鱼质量作为一个样本.则样本中平均每条质量为∵鱼塘中成活的鲢鱼约为

鱼的条数平均每条鱼的质量第一次捕捞201.6第二次捕捞102.2第三次捕捞101.8那么，你认为鱼塘中的鲢鱼总质量是多少？2500×80%=2000(条)∴鱼塘中鲢鱼总质量约为2000×1.8=3600kg.课堂小结

2.样本平均值数有什么特点？应用时应注意什么？3.简单随机抽样的优点和局限性是什么？

4.

面对一个抽样调查问题，如何选用恰当抽样的方法进行抽样？