2025届新高考数学冲刺精准复习函数模型及其应用

2025届新高考数学冲刺精准复习函数模型及其应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解几类常见的函数模型，并能利用给定的函数模型或

建立拟合函数模型解决实际问题.【考情概述】函数模型的应用是新高考考查的重点内容之一，常以选

择题或解答题的形式进行考查，通常源于实际问题，着重考查数学建模

思想，难度中等，属于高频考点.1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型

f

（

x

）＝

ax

＋

b

（

a

，

b

为常数，

a

≠0）二次函数模型

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

，

b

，

c

为常数，

a

≠0）与指数函数相关的模型

f

（

x

）＝

bax

＋

c

（

a

，

b

，

c

为常数，

a

＞0且

a

≠1，

b

≠0）与对数函数相关的模型

f

（

x

）＝

blogax

＋

c

（

a

，

b

，

c

为常数，

a

＞0

且

a

≠1，

b

≠0）知识梳理函数模型函数解析式与幂函数相关的模型

f

（

x

）＝

ax

α＋

b

（

a

，

b

，α为常数，

a

≠0）“对勾”函数模型2.指数函数、对数函数、幂函数的性质比较

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）在区间（0，＋

∞）上的增减

性单调

⁠单调

⁠单调

⁠增长速度越来越

⁠越来越

⁠相对平稳递增递增递增快慢

y

＝

ax

（

a

＞1）

y

＝

logax

（

a

＞1）

y

＝

x

α（α＞0）图象的变化随

x

的增大逐渐

表现为与

⁠

⁠平行随

x

的增大逐渐

表现为与

⁠

⁠平行随α值的变化而

各有不同值的比较存在一个

x

0，当

x

＞

x

0时，有

logax

＜

x

α＜

ax

y

轴x

轴常用结论1.一般地，在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直

线上升”“对数增长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数

的增长方式.2.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必

须验证数学结果相对实际问题的合理性.3.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的

关键.回归课本1.判断：（1）

（RA一P102复习参考题3第14题改编）某件商品的进价为每件100

元，按进价上调10％后出售，后因库存积压降价，按9折出售，每件仍

能获利.

（

✕

）（2）

（RA一P136探究改编）函数

y

＝2

x

的函数值始终比

y

＝

x

2的函数

值大.

（

✕

）

（4）

（RA一P136探究改编）函数

y

＝

ax

（

a

＞1）的增长速度最终会超

过

y

＝

kx

（

k

＞0）的增长速度.

（

√

）✕✕✕√2.（RA一P155习题4.5第2题改编）在一次数学实验中，某同学运用图形

计算器采集到一组数据如下表：

x

－2－10123

y

0.240.5112.023.988.02在下列四个函数模型（

a

，

b

为待定系数）中，最能反映

x

，

y

的函数关

系的是（

B

）A.

y

＝

a

＋

bx

B.

y

＝

a

＋

bx

C.

y

＝

a

＋log

bx

B3.（RA一P96习题3.4第3题改编）某单位为鼓励职工节约用水，给出了

以下规定：每位职工每月用水不超过10m3的，按每立方米

a

元收费；用

水超过10m3的，超出的部分加倍收费.某职工某月缴水费16

a

元，则该职

工这个月的实际用水量为（

A

）A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3A4.（多选）（RA一P155习题4.5第9题改编）如图，某池塘里浮萍的面积

y

（单位：m2）与时间

t

（单位：月）的关系为

y

＝

at

，则下列说法正确

的是（

ABD

）A.浮萍面积每月的增长率为100％B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍面积蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是

t

1，

t

2，

t

3，

则

t

1＋

t

2＝

t

3ABD5.（RA一P102复习参考题3第13题改编）如图，△

OAB

是边长为2的正

三角形.记△

OAB

位于直线

x

＝

t

（

t

＞0）左侧的图形的面积为

f

（

t

），

则函数

f

（

t

）的解析式为

.

f

（

t

）＝

考点一

利用函数图象刻画实际问题例1（1）

如图所示为一鱼缸的轴截面图.已知该鱼缸装满水时的水量

为

V

，缸高为

H

，其底部破了一个小洞，满缸水从小洞中流出.若鱼缸水

深为

h

时的水的体积为

v

，则函数

v

＝

f

（

h

）的大致图象是（

B

）ABCDB

给出下列结论：①

在[

t

1，

t

2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙

企业强；②

在

t

2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③

在

t

3时

刻，甲、乙两个企业的污水排放都已达标；④

在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]这三段时间中，甲企业在[0，

t

1]这段时间内的污水治理能力最强.

其中，正确的是

（填序号）.①②③

总结提炼

判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法（1）

构建函数模型法：当根据题意易建立函数模型时，先建立函数

模型，再结合模型选图象.（2）

验证法：当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两

变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不

符合实际的函数模型，选择出符合实际情况的函数模型.[对点训练]

1.某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出了四种运输方案，据预测，

这四种方案均能在规定时间

T

内完成预期的运输任务

Qo

，下列各种方案

的运输总量

Q

与时间

t

的函数关系中，运输效率（单位时间内的运输

量）逐步提高的是（

B

）ABCDB

BA.战国B.汉C.唐D.宋参考数据：log20.79≈－0.34.参考时间轴：

CA.30minB.40minC.60minD.90min总结提炼

求解已知函数模型解决实际问题的关注点（1）

认清所给函数模型，弄清哪些量为自变量，并设出待定系数.（2）

根据已知，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（3）

利用该函数模型，借助函数的性质等求解实际问题，并进行检

验.[对点训练]

7.5

A.6B.5C.4D.3C（2）

某数学兴趣小组进行社会调查，了解到某合作社为了实现100万

元的利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6

万元时，按销售利润进行奖励，且奖金

y

（单位：万元）随销售利润

x

（单位：万元）的增加而增加，但奖金不超过3万元，同时奖金不能超

过利润的20％.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合

该合作社要求的是（参考数据：1.015100≈4.432）（

D

）A.

y

＝0.04

x

B.

y

＝1.015

x

－1D.

y

＝log11（3

x

－10）D

①

若欲将这杯茶水的温度继续降至35℃，则大约还需要多少分钟（结

果精确到1min，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）？

总结提炼

建立函数模型求解实际问题的步骤（1）

审题：弄清题意，分清条件和结论，根据数量关系，初步选择

函数模型.（2）

建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语

言，利用数学知识，建立相应的函数模型.（3）

解模：求解函数模型，得出数学结论.（4）

还原：将数学问题还原为实际问题.

时间x/min012345水温y/℃857975716865（1）

请选择一个恰当的函数模型描述

y

与

x

之间的关系，并求出

k

，

a

的值（结果精确到0.01）；

对接高考1.（2022·北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用的高

效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术为实现绿色冬奥作出了贡献.如

图所示为在一定条件下，二氧化碳所处的状态与

T

和lg

P

的关系，其中

T

表示温度，单位是K；

P

表示压强，单位是bar.下列结论正确的是

（

D

）A.当

T

＝220，

P

＝1026时，二氧化碳处于