2025届新高考数学冲刺精准复习从函数观点看一元二次方程和不等式

2025届新高考数学冲刺精准复习从函数观点看一元二次方程和不等式01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解一元二次不等式的概念；了解二次函数的零点；了

解三个“二次”的联系；掌握一元二次不等式的解法.【考情概述】三个“二次”是新高考考查的重点内容之一，常以选择

题或填空题的形式进行考查，有时与其他知识交汇考查，难度中等，属

于高频考点.

知识梳理1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次

不等式.2.求解一元二次不等式的步骤（1）

检查二次项系数

a

的符号，对于

a

＜0的一元二次不等式，把它的

二次项系数化为正数；（2）

计算对应方程的判别式Δ的值，如果Δ≥0，求出对应的一元二次

方程的根；如果Δ＜0，说明对应方程没有实数根；（3）

画出对应的一元二次函数的图象，结合图象写出不等式的解集.3.二次函数与一元二次方程、不等式之间的对应关系Δ＝

b

2－4

ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的图象

ax

2＋

bx

＋

c

＝0

（

a

＞0）的根有两个不相等的

实数根

x

1，

x

2

（

x

1＜

x

2）没有实数根

ax

2＋

bx

＋

c

＞0

（

a

＞0）的解集{

x

｜

x

＜

x

1或

x

＞

x

2}R{

x

｜

x

＜

x

1或

x

＞

x

2}

RΔ＝

b

2－4

ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

ax

2＋

bx

＋

c

＜0

（

a

＞0）的解集{

x

｜

x

1＜

x

＜

x

2}⌀⌀{

x

｜

x

1＜x

＜

x

2}⌀⌀4.一元二次方程

ax

2＋

bx

＋

c

＝0（

a

＞0）的根的分布分布情况

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致图象得出的结论两根都小于

k

（

x

1＜

k

，

x

2＜

k

）

两根都大于

k

（

x

1＞

k

，

x

2＞

k

）

一个根小于

k

，一个大于

k

（

x

1＜

k

＜

x

2）

f

（

k

）＜0

f

（

k

）＜0分布情况

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致图象得出的结论两根都在区间（

m

，

n

）内

两根有且仅有一根在

区间（

m

，

n

）内（有

四种情况，只画了一

种）

⁠

或

f

（

m

）＝0或

f

（

n

）＝0（后两种需检验另一个根是否在区间（

m

，

n

）内）

f

（

m

）

f

（

n

）＜

0

分布情况

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＞0）的大致图

象得出的结论一根在区间（

m

，

n

）

内，另一根在区间

（

p

，

q

）内，且

m

＜

n

＜

p

＜

q

常用结论1.｜

x

｜＞

a

（

a

＞0）的解集为

⁠

；｜

x

｜＜

a

（

a

＞0）的解集为

⁠.记忆口诀：“大于取两边，小于取中间”.（－∞，－

a

）∪（

a

，＋

∞）（－

a

，

a

）

f

（

x

）

g

（

x

）＞0

f

（

x

）

g

（

x

）＜0

3.一元二次不等式恒成立问题的转化策略不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＞0在R上恒成立⇔

；不等式

ax

2＋

bx

＋

c

＜0在R上恒成立⇔

⁠.

回归课本[注：“SJ一”指苏教版必修第一册教材]

✕√✕✕2.（RA一P55习题2.3第5题改编）已知集合

A

＝{

x

｜

x

2－16＜0}，

B

＝

{

x

｜

x

2－4

x

＋3＞0}，则

A

∪

B

等于（

D

）A.（1，3）B.⌀C.（－4，1）∪（3，4）D.R

A.（－3，0）B.[－3，0）C.（－3，0]D.[－3，0]DC4.（多选）（SJ一P69习题3.3第10题改编）下列实数

m

的值中，能使二

次函数

y

＝

x

2－5

x

＋

m

存在两个均大于1的零点的是（

BC

）A.4B.5C.6D.8BC

考点一

一元二次不等式（组）的解法例1解关于

x

的不等式（组）：（1）0＜

x

2－

x

－2≤4；

（2）

ax

2－2≥2

x

－

ax

（

a

∈R）.

总结提炼

1.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）

注意二次项系数是否含参，若含参，则先讨论二次项系数与0的

关系；（2）

判断对应方程根的个数，注意判别式与0的大小关系，能因式分

解的先分解因式；（3）

讨论根的大小，从而确定解集的形式.2.已知不等式的解集求参数的值，要充分理解三个“二次”的关系，

将不等式与对应函数、方程进行熟练转换，体会其中蕴含的数学思想

方法——函数与方程思想.3.解分式不等式要先将其转化为一元二次不等式.

A.最小值4B.最小值－4C.最大值4D.最大值－4A考点二

一元二次方程的实数根的分布问题例2已知关于

x

的一元二次方程

x

2＋2

mx

＋2

m

＋1＝0，其中

m

为实数.（1）

若该方程有两个实数根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一

个根在区间（1，2）内，求实数

m

的取值范围；

解：设

f

（

x

）＝

x

2＋2

mx

＋2

m

＋1.（2）

若该方程的两个不相等的实数根均在区间（0，1）内，求实数

m

的取值范围.

总结提炼

解一元二次方程实数根的分布问题主要考虑的因素对应函数图象的开口方向、对应方程的判别式的符号、对应函数

图象的对称轴与区间端点的位置关系、对应函数在区间端点处的函数

值的符号，常采用数形结合的思想进行等价转化.

[对点训练]

2.（2023·全国高三专题练习）已知关于

x

的方程

x

2＋（

m

－3）

x

＋

m

＝0满足下列条件，请分别求出实数

m

的取值范围.（1）

有两个正根；

解：令

f

（

x

）＝

x

2＋（

m

－3）

x

＋

m

.（2）

一个根大于1，一个根小于1；（2）

由题意，得

f

（1）＝2

m

－2＜0，解得

m

＜1，即实数

m

的取值范

围是（－∞，1）.（3）

一个根小于2，一个根大于4.

考点三

一元二次不等式恒成立与能成立问题考向1

恒成立问题例3已知函数

f

（

x

）＝

mx

2－

mx

－1，其中

m

为实数.（1）

若对于任意的

x

∈R，不等式

f

（

x

）＜0恒成立，求实数

m

的取值

范围；

（2）

若对于任意的

x

∈[1，3]，不等式

f

（

x

）＜5－

m

恒成立，求实数

m

的取值范围；

（3）

若不等式

f

（

x

）＜0对一切

m

∈[1，2]恒成立，求实数

x

的取

值范围.

总结提炼

1.一元二次不等式恒成立问题的处理方法：解决恒成立问题一定要分清主元与参数，通常已知范围的量为主元，

待求范围的量为参数.2.形如

f

（

x

）≥0（

f

（

x

）≤0）在区间[

a

，

b

]上恒成立问题的求解思

路：（1）

根据函数的单调性，求其最值，令

f

（

x

）

min

≥0（

f

（

x

）

max

≤0），从而确定参数的取值范围.（2）

分离参数，先研究新函数的最值，再解不等式确定参数的取值

范围.[对点训练]

3.已知函数

f

（

x

）＝

x

2－2

tx

＋2，其中

t

∈R.

（1）

若

t

＝1，且对任意的

x

∈[

a

，

a

＋2]，都有

f

（

x

）≤5，求实数

a

的取值范围；

（2）

若对任意的

x

1，

x

2∈[0，4]，都有｜

f

（

x

1）－

f

（

x

2）｜≤8，求

实数

t

的取值范围.

考向2

能成立问题例4已知函数

f

（

x

）＝2

x

2＋4

x

－

k

，

g

（

x

）＝

x

2－2

x

，其中

k

∈R.

（1）

若存在

x

∈[－3，3]，使得

f

（

x

）≤

g

（

x

）成立，求实数

k

的取

值范围；解：（1）

存在

x

∈[－3，3]，使得

f

（

x

）≤

g

（

x

）成立，即2

x

2＋4

x

－

k

≤

x

2－2

x

在区间[－3，3]上有解，即

x

2＋6

x

－

k

≤0在区间[－3，3]

上有解.所以（

x

2＋6

x

－

k

）min≤0.当

x

∈[－3，3]时，

y

＝

x

2＋6

x

－

k

为增函数，所以当

x

＝－3时，

x

2＋6

x

－

k

取得最小值，为－9－

k

.令－

9－

k

≤0，解得

k

≥－9，即实数

k

的取值范围是[－9，＋∞）.（2）

若对任意

x

1∈[－3，3]，总存在

x

2∈[－3，3]，使得

f

（

x

1）≤

g

（

x

2）成立，求实数

k

的取值范围.解：（2）

若对任意

x

1∈[－3，3]，总存在

x

2∈[－3，3]，使得

f

（

x

1）

≤

g

（

x

2）成立，则

f

（

x

）max≤

g

（

x

）max.当

x

∈[－3，3]时，易知函

数

f

（

x

）＝2

x

2＋4

x

－

k

＝2（

x

＋1）2－

k

－2在区间[－3，－1]上单调

递减，在区间[－1，3]上单调递增，且｜3－（－1）｜＞｜－3－（－

1）｜；函数

g

（

x

）＝

x

2－2

x

＝（

x

－1）2－1在区间[－3，1]上单调

递减，在区间[1，3]上单调递增，且｜3－1｜＜｜－3－1｜.所以

f

（

x

）max＝

f

（3）＝2×32＋4×3－

k

＝30－

k

，

g

（

x

）max＝

g

（－3）

＝（－3）2－2×（－3）＝15.所以30－

k

≤15，解得

k

≥15，即实数

k