2024八年级数学下册专题2.4一元二次方程的解法因式分解法含解析新版浙教版

Page1专题2.4一元二次方程的解法（因式分解法）姓名：__________________班级：______________得分：_________________留意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（下城区期中）若x2＝﹣x，则（）A．x＝0 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝0【分析】视察方程，先移项再因式分解即可解出x的值．【解析】x2＝﹣x，x2+x＝0，x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，所以A、B、C错误，故选：D．2．（永嘉县校级模拟）方程x（x﹣2）＝2x的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4【分析】先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．【解析】∵x（x﹣2）＝2x，∴x（x﹣2）﹣2x＝0，∴x（x﹣4）＝0，则x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4．故选：D．3．（永嘉县校级模拟）方程5x2＝4x的解是（）A．x＝0 B．x=4C．x1＝0，x2=45 D．x1＝0或x【分析】利用提公因式法将方程化为x（5x﹣4）＝0，即可求解．【解析】5x2＝4x，5x2﹣4x＝0，x（5x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2=4故选：C．4．（下城区期末）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2【分析】由已知等式知这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．【解析】∵（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，故选：C．5．（萧山区期中）解方程x2A．干脆开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【分析】依据方程的特点得出即可．【解析】解方程x2故选：D．6．（丽水期中）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24或25 B．24 C．85 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高＝25，则依据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可推断三角形为直角三角形，然后依据三角形面积公式求解．【解析】x2﹣16x+60＝0，（x﹣6）（x﹣10）＝0，x﹣6＝0或x﹣10＝0，所以x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高=62-42=25当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积=1故选：D．7．（武义县期末）已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）A．13 B．5 C．13 D．5【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．【解析】方程x2﹣5x+6＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2或x＝3，依据勾股定理得：斜边为22故选：A．8．（鄄城县期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（）A．干脆开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【分析】先移项得到（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，然后依据因式分解法解方程．【解析】（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0解得：x1=35，x故选：D．9．（晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为（）A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）【分析】先提取公因式2，再依据已知分解即可．【解析】∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）＝2（x+3）（x﹣5），故选：C．10．（菏泽二模）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】依据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解析】∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案干脆填写在横线上11．（嘉兴期末）一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是x1＝﹣1，x2＝2．【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解析】方程整理得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，可得x+1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．12．（永嘉县校级期中）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是x1＝4，x2＝﹣3．【分析】干脆利用因式分解法解方程即可．【解析】∵（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，∴x1＝4，x2＝﹣3；故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．13．（拱墅区期中）一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2﹣11x+30＝0的一个根，则这个三角形的周长是22．【分析】先求出方程的解，再依据三角形的三边关系定理推断能否组成三角形，再求出即可．【解析】解方程x2﹣11x+30＝0得：x＝5或6，当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5＝10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10＝22，故答案为：22．14．（建邺区校级期末）关于a的一元二次方程a2＝3a的解为a1＝0，a2＝3．【分析】先移项，然后通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解并解方程．【解析】由原方程，得a（a﹣3）＝0，则a＝0或a﹣3＝0，解得a1＝0，a2＝3．故答案是：a1＝0，a2＝3．15．（开福区校级二模）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为24．【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种状况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种状况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故答案为：24．16．（呼和浩特一模）若a≠0，则关于x的方程a（x+1）＝a的解是x＝0；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是x＝0或x＝1．【分析】第一个方程两边都除以a可得；其次个方程利用因式分解法求解可得．【解析】∵a≠0，∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，解得x＝0；∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1，故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．17．（西城区校级月考）对于实数a、b、c、d，我们定义运算abcd=ad﹣bc，例如：2135【分析】依据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．【解析】依据题中的新定义得：xx-26x=x即x2﹣6x+8＝0，分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x＝4或2．故答案为：2或4．18．（天水模拟）等腰△ABC的腰和底边分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等的解，则此三角形的周长为7或8．【分析】首先求出方程的根，再依据三角形三边关系列出不等式，确定是否符合题意．【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，当2为腰，3为底时，2﹣2＜3＜3+3，能构成等腰三角形，周长为2+2+3＝7；当3为腰，2为底时，3﹣2＜3＜3+2，亦能构成等腰三角形，周长为3+3+2＝8．故周长为7或8，故答案为7或8．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（南京期末）解方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．【分析】利用因式分解法求解即可．【解析】（1）∵x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，则x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2=-20．（定州市期中）依据要求解方程（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；（3）（x+4）2＝7（x+4）（适当的方法）．【分析】（1）干脆求出Δ＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；（2）干脆利用配方法解方程得出答案；（3）干脆利用提取公因式法解方程得出答案．【解析】（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝25＞0，∴x=-3±5解得：x1＝﹣4，x2＝1；（2）x2+4x﹣12＝0，x2+4x＝12，（x+2）2＝16，则x+2＝±4，解得：x1＝﹣6，x2＝2；（3）（x+4）2＝7（x+4）（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，则x+4＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4．21．（宜宾县校级月考）按要求解下列方程①x2﹣6x＝1（公式法）②14x2+x③3x2+16x+5＝0④x2﹣4x+5＝0（因式分解法）【分析】方程分别利用公式法，配方法，因式分解法求出解即可．【解析】①方程整理得：x2﹣6x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，∵△＝36+5＝40，∴x=6±2102②方程整理得：x2+4x＝8，配方得：x2+4x+4＝12，即（x+2）2＝12，开方得：x+2＝±23，解得：x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23；③分解因式得：（3x+1）（x+5）＝0，可得3x+1＝0或x+5＝0，解得：x1=-13，④方程整理得：x2﹣4x＝﹣5，配方得：x2﹣4x+4＝﹣1，即（x﹣2）2＝﹣1，则此方程无解．22．（东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．【分析】先移项得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．23．（昭通期中）等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形三边关系推断是否构成三角形，继而可得答案．【解析】解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8．24．（綦江区校级月考）阅读理解下列材料，然后回答问题：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2