2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题43直线平面平行的判定与性质教师版

专题43直线、平面平行的判定与性质一、【学问梳理】【考纲要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.驾驭直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简洁应用．【考点预料】1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，假如另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b【常用结论】(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.【方法技巧】1.推断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时须要经过已知直线作帮助平面确定交线．3.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．4.解决这种数值或存在性问题的题目时，留意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．二、【题型归类】【题型一】直线与平面平行的判定与性质【典例1】如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.【解析】证明法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(QB,BD)＝eq\f(QN,DC)，∴eq\f(PM,AB)＝eq\f(QN,DC).又AB∥DC，且AB=DC，∴PM∥QN，且PM=QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.则PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ)，∴eq\f(AM,MB)＝eq\f(DQ,QB)，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.【典例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.【解析】证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.【典例3】如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.【解析】(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.【题型二】平面与平面平行的判定与性质【典例1】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.【解析】证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，且A1B1=AB，∴A1G∥EB，且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.【典例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．【解析】证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．【典例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.【解析】证明(1)由题设知BB1，DD1平行且相等，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1，B1C1，BC平行且相等.所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.【题型三】平行关系的综合应用【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.【解析】证明(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.【典例2】如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【解析】证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.【典例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，eq\f(AR,AB)的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．【解析】(1)证明连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因为eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解当eq\f(AR,AB)的值为eq\f(3,5)时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明如下：因为eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.三、【培优训练】【训练一】(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是()A.A1P∥平面AD1CB.A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是eq\f(2\r(5),5)C.A1P＋PC的最小值为eq\f(\r(170),5)D.以A为球心，eq\r(2)为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是eq\f(π,2)【解析】对于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正确；对于B，当B1P⊥BC1时，A1P与平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是eq\f(\r(5),2)，所以B错误；对于C，将△A1C1B沿BC1翻折与△BCC1在同一平面，且点A1，C在直线BC1的异侧，此时在△A1CC1中，由三角恒等变换可求得cos∠A1C1C＝－eq\f(\r(2),10)，由余弦定理可得A1C＝eq\f(\r(170),5)，所以A1P＋PC的最小值为eq\f(\r(170),5)，C正确；对于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交线为以D为圆心，1为半径的圆周的四分之一，所以交线长是eq\f(π,2)，D正确.故选ACD.【训练二】在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.【解析】如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.【训练三】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，eq\f(AR,AB)的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.【解析】(1)证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因为eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解当eq\f(AR,AB)的值为eq\f(3,5)时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明：因为eq\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PRQ∥平面A1D1DA.【训练四】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为AB1，A1C1上的点，A1N＝AM.(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)求MN的最小值．【解析】(1)证明如图，作NE∥A1B1交B1C1于点E，作MF∥AB交BB1于点F，连接EF，则NE∥MF.∵NE∥A1B1，∴eq\f(NE,A1B1)＝eq\f(C1N,A1C1).又MF∥AB，∴eq\f(MF,AB)＝eq\f(B1M,AB1)，∵A1C1＝AB1，A1N＝AM，∴C1N＝B1M.∴eq\f(NE,A1B1)＝eq\f(MF,AB)，又AB＝A1B1，∴NE＝MF.∴四边形MNEF是平行四边形，∴MN∥EF，又MN⊄平面BB1C1C，EF⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.(2)解设B1E＝x，∵NE∥A1B1，∴eq\f(B1E,B1C1)＝eq\f(A1N,A1C1).又∵MF∥AB，∴eq\f(B1F,BB1)＝eq\f(B1M,AB1)，∵A1N＝AM，A1C1＝AB1＝eq\r(2)a，B1C1＝BB1＝a，B1E＝x，∴eq\f(B1E,B1C1)＋eq\f(B1F,BB1)＝eq\f(A1N,A1C1)＋eq\f(B1M,AB1)，∴eq\f(x,a)＋eq\f(B1F,a)＝1，∴B1F＝a－x，从而MN＝EF＝eq\r(B1E2＋B1F2)＝eq\r(x2＋a－x2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2)，∴当x＝eq\f(a,2)时，MN的最小值为eq\f(\r(2),2)a.【训练五】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF与棱PD相交于点F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求点F到平面PBC的距离．【解析】(1)∵平面CEF∥平面PAB，且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，∴PA∥EF，又AE＝1＝eq\f(1,3)AD，∴PF＝eq\f(1,3)PD，∴eq\f(PF,FD)＝eq\f(1,2).(2)∵F为PD的三等分点，∴F到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的eq\f(1,3)，设D到平面PBC的距离为h，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，由等体积法得VD－PBC＝VP－BCD，即eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)S△DBC·PA，∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，∴PB＝2eq\r(2)，BC＝1，∴S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝eq\r(2)，S△DBC＝eq\f(1,2)BC·AB＝1，∴h＝eq\r(2)，∴F到平面PBC的距离等于eq\f(\r(2),3).【训练六】如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F­DCE的体积．【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝eq\f(1,2)AB，即点E是AB的中点．因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点．综上，E，F分别是AB，PB的中点．(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF­DEC＝eq\f(1,2)VP­DEC＝eq\f(1,6)S△DEC×PE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(2,3).四、【强化测试】【单选题】1.下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α【解析】A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．故选D.2.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF平行等于eq\f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG平行等于eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．故选B.3.在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E∈PC，F∈PB，eq\o(PE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，如图．若AF∥平面BDE，则λ的值为()A．1 B．3C．2 D．4【解析】连接AC，交BD于点O，连接OE.因为AF∥平面BDE，所以过点A作AH∥平面BDE，交PC于点H，连接FH，则得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以在△ACH与△OCE中，eq\f(OC,OA)＝eq\f(EC,HE)＝1，即EC＝EH.又因为eq\o(PE,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，所以PH＝2HE.因为eq\f(PF,FB)＝eq\f(PH,HE)＝2，所以λ＝2.故选C.故选C.4.设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意，对于①，依据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，依据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，依据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，依据a⊂α，b⊂β.α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是1，故选A．5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,5)BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．故选B.6.已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为()A．平行、平行B．异面、平行C．平行、相交D．异面、相交【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，∴EF⊂平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N∉EF，∴由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线；取A1C1的中点P，连接PM，PN，如图，则PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN⊂平面PMN，∴直线MN与平面ABB1A1平行．故选B.7.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG【解析】过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．故选B.8.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示，∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，∴AM∥A1E，MN∥EF，∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN⊂平面AMN，A1E，EF⊂平面A1EF，∴平面AMN∥平面A1EF，∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，∴点P的轨迹是线段EF，∵A1E＝A1F＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，EF＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2)，∴A1O⊥EF，∴当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，当P与E(或F)重合时，PA1的长度取最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝eq\f(\r(5),2).∴PA1的长度范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).故选B.【多选题】9.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法错误的是()A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥nC．若m⊂α，n⊂α且m∥β，n∥β，则α∥βD．若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n【解析】对于A，满足m⊥α，m⊥n的n，α的位置关系可能是n∥α或n⊂α，故A错误；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，结合n∥β，知m⊥n，故B正确；对于C，依据面面平行的判定定理知需当m，n为相交直线时，才有α∥β，故C错误；对于D，若m，n为圆锥的两条母线，平面α为圆锥的底面所在平面，此时直线m，n与平面α所成的角相等，但此时m，n为相交直线，故D错误．故选ACD.10.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1【解析】因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A正确；因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B错误；因为F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选AC.11.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是()A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱锥A1­DMN的体积为定值D．△DMN可能为直角三角形【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中点O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N­A1DM的体积不变，即三棱锥A1­DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，设正三棱柱的棱长为2，则DO＝eq\r(3)，MN＝2eq\r(3)，因为MN的最大值为BC1＝2eq\r(2)，所以MN不行能为2eq\r(3)，所以△DMN不行能为直角三角形，故D错误．故选ABC.12.已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，下列四个结论中正确的为()A．若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个B．若PD＝eq\r(3)，则点P的轨迹是一段圆弧C．若PD∥平面ACB1，则DP长的最小值为2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq\r(3)，则平面BDP截正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为eq\f(9π,4)【解析】如图所示，因为正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为2，所以B1D1＝2eq\r(2)，又侧棱AA1＝1，所以DB1＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故A项正确；因为PD＝eq\r(3)∈(1，3)，DD1＝1，则PD1＝eq\r(2)，即点P的轨迹是一段圆弧，故B项正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值，为eq\r(（\r(2)）2＋12)＝eq\r(3)，故C项错误；由C选项知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋12)＝eq\f(3,2)，面积为eq\f(9π,4)，故D项正确．故选ABD.【填空题】13.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).14.在下面给出的条件中，若条件足够推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：(1)条件：a∥b，b∥c，c⊂α，______，结论：a∥α；(2)条件：α∩β＝b，a∥b，a⊂β，______，结论：a∥α.【解析】因为a∥b，b∥c，c⊂α，所以由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α.因为α∩β＝b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α.15.在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【解析】如图，取CD的中点E，连接AE，BE，则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.16.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中推断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是______；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是______．【解析】(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，AD1⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，则AD1∥平面BCC1.(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是相交．理由：平面A1BC1与平面ABCD有一个交点B，由公理3得，假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点在一条直线上，这条直线为交线．如图，过点B作AC的平行线l，即为交线．【解答题】17.已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.(1)求证：BQ∥平面PAD；(2)若PD＝3，BC＝eq\r(2)，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三棱锥S－BCD的体积为eq\f(2,3).【解析】(1)证明取PD的中点G，连接AG，GQ，因为Q为PC的中点，所以GQ∥DC，且GQ＝eq\f(1,2)DC，又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四边形ABQG是平行四边形，所以BQ∥AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ∥平面PAD.(2)解因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，又因为BC＝eq\r(2)，BC⊥BD，所以BD＝BC＝eq\r(2)，所以△BCD的面积S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.设点S到平面ABCD的距离为h，所以eq\f(1,3)×1×h＝eq\f(2,3)，所以h＝2，又PD⊥平面ABCD，PD＝3，所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.18.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)证明如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由题设知A1B1平行且相等DC，可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1