材料力学：第六章 弯曲变形

1第六章弯曲变形材料力学2§6–1概述§6–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§6–3按叠加原理求梁的挠度与转角§6–4梁的刚度校核§6–5梁内的弯曲应变能

第六章弯曲变形

§6–6简单超静定梁的求解方法§6－１概述弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；

②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f

同向为正，反之为负。

2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用

表示，顺时针转动为正，反之为负。

二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：

v=f(x)三、转角与挠曲线的关系：弯曲变形一、度量梁变形的两个基本位移量小变形PxvCqC1f

§6-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程式（2）就是挠曲线近似微分方程。弯曲变形小变形fxM>0fxM<0(1)对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分弯曲变形2.位移边界条件PD讨论：

①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。

②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。

③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。

④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。

支点位移条件：

连续条件：

光滑条件：弯曲变形PABC[例1]求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程并积分

应用位移边界条件求积分常数弯曲变形解：PLxf

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角弯曲变形xfPL解：

建立坐标系并写出弯矩方程

写出微分方程并积分弯曲变形xfPLa[例2]求下列等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

应用位移边界条件求积分常数弯曲变形PLaxf

写出弹性曲线方程并画出曲线

最大挠度及最大转角弯曲变形PLaxf课堂练习弯曲变形

写出图示各梁的边界条件。在图中杆的抗拉刚度刚度为EI。课堂练习弯曲变形悬臂梁如图所示，有载荷FP沿梁移动。若使载荷移动时总保持相同的高度，试问应将梁轴线预弯成怎样的曲线？设EI=常数

§6-3按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形

等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。弯曲变形[例4]按叠加原理求A点转角和C点

挠度。解、①载荷分解如图②由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa弯曲变形qqPP=+AAABBB

Caa③叠加[例6]

按叠加原理求C点挠度。解：

载荷无限分解如图

由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。

叠加弯曲变形q00.5L0.5LxdxbxfC弯曲变形叠加技巧

在简支梁的一半跨度内作用均布载荷q，试求跨度中点的跨度。设EI为常数。弯曲变形思考、练习

求图示各梁自由端的挠度和转角。设EI＝常量。21二、逐段刚化法=+弯曲变形PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf22[例5]求图示变截面梁自由端的挠度和转角。弯曲变形§6-5梁的刚度校核一、梁的刚度条件其中[

]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：

、校核刚度：

、设计截面尺寸；

、设计载荷。弯曲变形(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB[例7]下图为一空心圆截面梁，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[

]=0.001弧度,试校核此梁的刚度。=++=弯曲变形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++图1图2图3解：

结构变换，查表求简单

载荷变形。弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++图1图2图3弯曲变形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

叠加求复杂载荷下的变形

校核刚度弯曲变形dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：§6–6

梁内的弯曲应变能

弯曲变形应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去dqM(x)P1MxfP2dxdqr[例8]

用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形qxfPaa二、应变能法计算挠度[练习]弯曲变形求图示梁外伸端的转角。设EI为常数。

§6-7

简单超静定梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：

建立静定基

确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。=弯曲变形q0LABLq0MABAq0LRBABxf

几何方程——变形协调方程+弯曲变形q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、

变形等）

几何方程

——变形协调方程：解：

建立静定基=[例10]

结构如图，求B点反力。LBC弯曲变形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBC弯曲变形xfq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——变形与力的关系

补充方程

求解其它问题（反力、应力、

变形等）弯曲变形练习:房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的双跨梁。试做梁的剪力图和弯矩图。36

第六章练习题一、挠曲线近似微分方程的近似性反映在哪几方面?

二、用积分法求图示组合梁的挠曲线方程时,需应用的支承条件和连续条件是什么?

弯曲变形37弯曲变形三、长度为L,重量为P的等截面直梁,放置在水平刚性平面上。若在端点施力P/3上提,未提起部