2024年内蒙古包头市青山区北方重工业集团有限公司第二中学九年级中考数学三模试卷

2024年内蒙古包头市青山区北方重工业集团有限公司第二中学中考数学三模试卷一、选择题1．（3分）下列运算中正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x3＝5x5 C．x3•x3＝x6 D．（ab）3＝x3y2．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（）A．65° B．55° C．45° D．60°4．（3分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定7．（3分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4与正比例函数y＝kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于点B，且AO＝AB，则正比例函数的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x8．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，点B的纵坐标为，对角线BO交双曲线于点D，DA⊥x轴，则k的值为（）A．6 B． C．12 D．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝CE，则∠BAD等于（）A．100° B．120° C．135° D．150°10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若tana＝tan2β，则＝（）A． B． C． D．二．填空题11．（3分）比大的最小整数是．12．（3分）已知方程x2﹣6x+3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，则阴影部分的面积为．14．（3分）已知A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为．15．（3分）如图，在等腰△ABM中，AM＝AB，N为AB上一点，NA＝BN，连接MN，以MN为边向右作等腰△MNE，使∠MNE＝∠MAB，MN＝NE．连接BE，则＝．16．（3分）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME＝108°，②AN2＝AM•AD；③MN＝3﹣；④S△EBC＝2﹣1，其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题17．（8分）（1）解不等式组并写出它的解集在数轴上表示出来；（2）解方程：．18．（8分）“接发球”是排球队员常规训练的重要项目之一．某校排球队教练对球队中的甲、乙、丙三位“自由人”球员各进行了十次接发球测试，测试完成后将三人的测试成绩整理并制作了下面的图表．运动员甲测试成绩表测试次序第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次成绩（分）7687758787三位运动员成绩统计分析表平均数中位数众数方差甲7b70.8乙777c丙a660.81（1）请补全运动员丙测试成绩统计图；（2）试计算“三位运动员成绩统计分析表”中a，b，c的值；（3）若在他们三人中选择一名运动员作为球队的主力自由人，请你作出选择，并给出理由．19．（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）（1）求点P到地面的高度；（2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离．20．（11分）如图，某人在两部手机电量为50%时开始充电，甲手机电量y1（%）与充电所需时间x（min）的函数图象是线段AF．乙手机电量y2（%）与充电所需时间x（min）的函数图象是折线A﹣B﹣C﹣D．（1）当甲手机电量充至100%时，所需时间为多少？（2）求甲、乙两部手机电量充至80%时所需时间的差．21．（12分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，点F、N为半圆上的两个点，且N是弧BF的中点，连接AF、BN并延长相交于C点，过点N作DE⊥AC于点D，交AB的延长线于点E．（1）求证：CN＝BN（两种证法解答）．（2）若AB＝6，CD＝1.2，请求出BE的长．22．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的位置关系（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若，求EG的长．23．（13分）已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；（2）连接ON，AC，证明：∠NOB＝∠ACB；（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列运算中正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．3x2+2x3＝5x5 C．x3•x3＝x6 D．（ab）3＝x3y【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意；B.3x2+2x3不能再进行计算，故本选项不符合题意；C．x3•x3＝x6，故本选项符合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不符合题意；故选：C．2．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：这个组合体的左视图的底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．3．（3分）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（）A．65° B．55° C．45° D．60°【解答】解：过点C作CA∥DF，∴∠1＝∠ACF，∵∠1＝35°，∴∠ACF＝35°，∵DF∥EG，∴CA∥EG，∴∠ACG＝∠2，∵∠FCG＝90°，∴∠ACG＝∠2＝55°．故选：B．4．（3分）在数轴上表示不等式＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：＜0，x﹣1＜0，x＜1，在数轴上表示为，故选：A．5．（3分）有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：所有的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；4，8，10；6，8，10，共10种，其中能构成三角形的有：4，6，8；6，8，10；4，8，10，共3种，则P＝．故选：B．6．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵（x﹣2）☆2＝x﹣1，∴方程为（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2＝x﹣1，即x2﹣6x+9＝0，Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，∴有两个相等的实数根，故选：B．7．（3分）如图，一次函数y＝﹣x﹣4与正比例函数y＝kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于点B，且AO＝AB，则正比例函数的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x【解答】解：设正比例函数解析式y＝kx．∵y＝﹣x﹣4，∴B（0，﹣4），C（﹣6，0）．∴OC＝6，OB＝4．如图，过点A作AD⊥y轴于点D．又∵AO＝AB，∴OD＝BD＝2．∴tan∠CBO＝＝，即＝，解得AD＝3．∴A（﹣3，﹣2）．把点A的坐标代入y＝kx，得﹣2＝﹣3k，解得k＝．故该函数解析式为：y＝x．故选：B．8．（3分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，点B的纵坐标为，对角线BO交双曲线于点D，DA⊥x轴，则k的值为（）A．6 B． C．12 D．【解答】解：过B作DA⊥x轴于M，∵四边形ABCO是菱形，∴AB∥OC，∴∠BAM＝∠AOC＝60°，∵点B的纵坐标为，∴BM＝3，∴AM＝3，∴OA＝AB＝2AM＝6，∵DA⊥x轴，DA⊥x轴，∴DA∥BM，∴，即，∴DA＝2，∴D（6，2），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝6×＝12，故选：D．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝CE，则∠BAD等于（）A．100° B．120° C．135° D．150°【解答】解：如图，连接BD．∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠ACD＝45°．∴∠DBC＝∠DAC＝45°，∵DE⊥BC，则∠BED＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∴，在Rt△CDE中，，∴∠DCE＝60°．∴∠BAD＝180°﹣∠DCE＝120°．故选：B．10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若tana＝tan2β，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：设直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c．∵tana＝tan2β，∴＝（）2．∴＝．∵a≠0，∴＝．∴（b﹣a）2＝ab．∴a2+b2﹣2ab＝ab．∴a2+b2＝3ab．由勾股定理可得：a2+b2＝c2．∴c2＝3ab．∵S正方形EFGH＝（b﹣a）2＝ab；S正方形ABCD＝c2＝3ab．∴则＝＝．故选：B．二．填空题11．（3分）比大的最小整数是3．【解答】解：∵4＜5＜9，∴，∴，∴比大的最小整数为3．故答案为：3．12．（3分）已知方程x2﹣6x+3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为3．【解答】解：∵方程x2﹣6x+3＝0的两个根为x1，x2，∴，，∴x1+x2﹣x1•x2＝6﹣3＝3，故答案为：3．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，则阴影部分的面积为．【解答】解：连接DE，因为四边形ABCD是矩形，所以∠C＝90°，CD＝AB＝1．由题知，CE＝CD＝1，所以△CDE是等腰直角三角形，所以∠EDC＝45°，则∠ADE＝90°﹣45°＝45°．由勾股定理得，DE＝，所以，，，则S阴影＝S扇形DAE+S△CDE﹣S扇形CDE＝．故答案为：．14．（3分）已知A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为3．【解答】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+3的对称轴对称，∴﹣＝，∴x1+x2＝﹣b，∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上，∴m＝b2+b•（﹣b）+3＝3．故答案为：3．15．（3分）如图，在等腰△ABM中，AM＝AB，N为AB上一点，NA＝BN，连接MN，以MN为边向右作等腰△MNE，使∠MNE＝∠MAB，MN＝NE．连接BE，则＝．【解答】解：∵∠MNE＝∠MAB，AM＝AB，MN＝NE，∴∠AMB＝∠ABM＝∠NME＝∠NEM，∴△ABM∽△NEM，∴，又∵∠AMN＝∠AMB﹣∠NMB，∠BME＝∠NME﹣∠NMB，∠AMB＝∠NME，∴∠AMN＝∠BME，∴△MAN∽△MBE，∴，又∵，AN+BN＝AB，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣2AN，整理得：AB＝3AN，又∵AM＝AB，∴AM＝3AN，∴，故答案为：．16．（3分）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①∠AME＝108°，②AN2＝AM•AD；③MN＝3﹣；④S△EBC＝2﹣1，其中正确的结论是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）．【解答】解：∵∠BAE＝∠AED＝108°，∵AB＝AE＝DE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝36°，∴∠AME＝180°﹣∠EAM﹣∠AEM＝108°，故①正确；∵∠AEN＝108°﹣36°＝72°，∠ANE＝36°+36°＝72°，∴∠AEN＝∠ANE，∴AE＝AN，同理DE＝DM，∴AE＝DM，∵∠EAD＝∠AEM＝∠ADE＝36°，∴△AEM∽△ADE∴＝，∴AE2＝AM•AD；∴AN2＝AM•AD；故②正确；∵AE2＝AM•AD，∴22＝（2﹣MN）（4﹣MN），解得：MN＝3﹣；故③正确；在正五边形ABCDE中，∵BE＝CE＝AD＝1+，∴BH＝BC＝1，∴EH＝＝，∴S△EBC＝BC•EH＝×2×＝，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题17．（8分）（1）解不等式组并写出它的解集在数轴上表示出来；（2）解方程：．【解答】解：（1）解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：，将不等式的解集表示在数轴上为：∴不等式组的解集为：；（2）等式两边同时乘（x﹣2），得：1﹣x+2（x﹣2）＝﹣1，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的增根，所以原分式方程无解．18．（8分）“接发球”是排球队员常规训练的重要项目之一．某校排球队教练对球队中的甲、乙、丙三位“自由人”球员各进行了十次接发球测试，测试完成后将三人的测试成绩整理并制作了下面的图表．运动员甲测试成绩表测试次序第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次成绩（分）7687758787三位运动员成绩统计分析表平均数中位数众数方差甲7b70.8乙777c丙a660.81（1）请补全运动员丙测试成绩统计图；（2）试计算“三位运动员成绩统计分析表”中a，b，c的值；（3）若在他们三人中选择一名运动员作为球队的主力自由人，请你作出选择，并给出理由．【解答】解：（1）运动员丙成绩为7分的次数为：10﹣（2+4+1）＝3（次），补全运动员丙测试成绩统计图如下：（2）a＝＝6.3；∵将甲10次成绩由小到大排列：5，6，7，7，7，7，7，8，8，8，处于第5个，第6个数据分别为7，7，∴b＝（7+7）÷2＝7；由运动员乙测试成绩折线统计图可知，有2次6分，6次7分，2次8分，∴c＝＝0.4，故“三位运动员成绩统计分析表”中a，b，c的值分别为6.3，7，0.4；（3）选乙．理由：甲，乙的平均数，中位数，众数都高于丙，说明甲，乙的水平高于丙，甲，乙的平均数，中位数，众数分别相等，说明，甲，乙水平相当，但乙的方差小于甲的方差，说明乙的成绩波动较小，故选乙．19．（8分）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）（1）求点P到地面的高度；（2）若挖掘机能挖的最远处点Q，此时∠QPM＝90°，求Q点到N点的距离．【解答】解：（1）作PB⊥QN于点B，延长ME交PB于点A．∴∠PBQ＝∠PBN＝90°．∵EM∥QN，∴∠BAE＝∠PAE＝90°．由题意得：MN⊥BN，∴∠MNB＝90°．∴四边形ABNM是矩形．∴AB＝MN＝1（m），AM＝BN．∵PM＝5m，∠PME＝37°，∴PA＝PM•sin∠PME≈5×＝3（m）．∴PB＝PA+AB＝3+1＝4（m）．答：点P到地面的高度约为4m；（2）∵PA＝3m，PM＝5m，∠PAM＝90°，∴AM＝4（m），∠APM+∠PME＝90°．∴BN＝4（m）．∵∠QPM＝90°，∴∠QPB+∠APM＝90°．∴∠QPB＝∠PME＝37°．∴QB＝PB•tan∠QPB≈4×＝3（m）．∴QN＝QB+BN＝7（m）．答：Q点到N点的距离约为7m．20．（11分）如图，某人在两部手机电量为50%时开始充电，甲手机电量y1（%）与充电所需时间x（min）的函数图象是线段AF．乙手机电量y2（%）与充电所需时间x（min）的函数图象是折线A﹣B﹣C﹣D．（1）当甲手机电量充至100%时，所需时间为多少？（2）求甲、乙两部手机电量充至80%时所需时间的差．【解答】解：（1）设甲手机电量y1（%）与充电所需时间x（min）的函数关系式为y1＝kx+50，根据题意得：30k+50＝95，解得k＝，∴y1＝x+50，当y1＝100时，x+50＝100，解得x＝，答：当甲手机电量充至100%时，所需时间为分钟；（2）设线段BC所在直线的函数关系式为y2＝mx+n（30≤x≤60），根据题意得：，解得，∴线段BC所在直线的函数关系式为y2＝x+35，当y2＝80时，x+35＝80，解得x＝45；当y1＝80时，x+50＝80，解得x＝20，45﹣20＝25（分钟），答：甲、乙两部手机电量充至80%时，甲比乙少用25分钟．21．（12分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，点F、N为半圆上的两个点，且N是弧BF的中点，连接AF、BN并延长相交于C点，过点N作DE⊥AC于点D，交AB的延长线于点E．（1）求证：CN＝BN（两种证法解答）．（2）若AB＝6，CD＝1.2，请求出BE的长．【解答】解：（1）证法一：如图，连接AN，ON，∵N为弧BF的中点，∴弧FN＝弧NB，∴∠FAN＝∠NAB，∵OA＝ON，∴∠NAB＝∠ANO，∴∠FAN＝∠ANO，∴NO∥AD，∴，∵OA＝OB，∴BN＝CN；证法二：如图所示，连接AN，∵N为弧BF的中点，∴弧FN＝弧NB，∴∠BAN＝∠CAN，∵AB为直径，∴∠ANB＝∠ANC＝90°，∵AN＝AN，∴△ANC≌△ANB（ASA），∴BN＝CN；（2）由（1）得：NO∥AD，∴∠ONB＝∠C，∵OB＝ON，∴∠ONB＝∠OBN，∴∠C＝∠OBN，∴AB＝AC，∵AB＝6，∴AC＝6，ON＝OB＝3，∵CD＝1.2，∴AD＝4.8，∵∠E＝∠E，∠ONE＝∠ADE，∴△ONE∽△ADE，∴，∵OE＝OB+BE，AE＝AB+BE，∴设BE＝x，则，解得：x＝2，∴BE的长为2．22．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的位置关系（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若，求EG的长．【解答】解：（1）AE⊥AD；理由如