微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D8

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算eq\i(,,\f(18x-35,9x²-35x+5))dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(9x²-35x+5)'=18x-35，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式eq\i(,,\f(dx,x))=lnx+c来变形计算。eq\i(,,\f(18x-35,9x²-35x+5))dx=eq\i(,,\f(d(9x²-35x),9x²-35x+5))=eq\i(,,\f(d(9x²-35x+5),9x²-35x+5))=ln|9x²-35x+5|+C。2.计算eq\i(,,(6x²-33)²)dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：eq\i(,,(6x²-33)²)dx=eq\i(,,(6²x⁴-396x²+33²))dx,=eq\i(,,6²x⁴dx)-eq\i(,,396x²dx)+eq\i(,,33²dx),=eq\f(1,5)*6²x⁵-eq\f(1,3)*396x³+33²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：eq\i(,,(6x²-33)²)dx=(6x²-33)²x-eq\i(,,xd(6x²-33)²)，=(6x²-33)²x-4*6eq\i(,,x²(6x²-33))dx，=(6x²-33)²x-4*6eq\i(,,(6x⁴-33x²)dx)，=(6x²-33)²x-4*6²eq\i(,,x⁴dx)+4*6*33eq\i(,,x²dx),=(6x²-33)²x-eq\f(4,5)*6²x⁵+eq\f(2,3)*396x³+C。3.积分eq\i(,,\f(dx,(x²-18x+90)))的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=18²-4*90＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式eq\i(,,\f(dx,1+x²))=arctanx+C变形计算即可，有：eq\i(,,\f(dx,(x²-18x+90)))=eq\i(,,\f(dx,x²-18x+81+9))=eq\i(,,\f(dx,(x-9)²+9))=eq\f(1,9)eq\i(,,\f(dx,1+\f((x-9)²,9)))=eq\f(1,3)eq\i(,,\f(deq\f(x,\r(9)),1+\f((x-9)²,9))),=eq\f(1,3)arctaneq\f(x-9,3)+C。4.计算eq\i(,,(\f(91,94x)+\f(48x,77))²dx).解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：eq\i(,,(\f(91,94x)+\f(48x,77))²dx)=eq\i(,,[(eq\f(91,94x))²+2*eq\f(91,94)*eq\f(48,77)+(eq\f(48x,77))²]dx),=(eq\f(91,94))²eq\i(,,\f(dx,x²))+eq\f(624,517)eq\i(,,dx)+(eq\f(48,77))²eq\i(,,x²dx),=-eq\f((\f(91,94))²,x)+eq\f(624x,517)+eq\f(1,3)*(eq\f(48,77))²x³+C。5.计算eq\i(,,(5x³-22x²+3)100(15x²-44x)dx)不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(5x³-22x²+3)'=15x²-44x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：eq\i(,,(5x³-22x²+3)100(15x²-44x)dx)=eq\i(,,(5x³-22x²+3)100d(5x³-22x²+3)),=eq\f(1,101)(5x³-22x²+3)101+C.6.计算eq\i(,,xln(81x-28))dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：eq\i(,,xln(81x-28))dx=eq\f(1,2)eq\i(,,ln(81x-28)dx²)，=eq\f(1,2)x²ln(81x-28)-eq\f(1,2)eq\i(,,x²dln(81x-28)),=eq\f(1,2)x²ln(81x-28)-eq\f(81,2)eq\i(,,\f(x²dx,81x-28)),=eq\f(1,2)x²ln(81x-28)-eq\i(,,(x+\f(28,81)))dx-(eq\f(28,81))²eq\i(,