专题01 幂运算的七种压轴题型全攻略（解析版）四川成都七年级数学下册-

专题01幂运算的七种压轴题型全攻略【知识点梳理】同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n，（m，n为正整数）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。零指数幂：=1()；负整数指数幂：=（，p为正整数）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。()的三种情况：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n为偶数）类型一、幂运算的逆运用例1．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）已知，，则．【答案】【分析】根据幂的乘方法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的除法运算法则计算即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．例2．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期中）若，则的值是．【答案】/0.24【分析】利用同底数幂的除法计算即可．【详解】∵，∴==，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键．例3．（2023下·四川成都·七年级校考期中）若，则的值是．【答案】64【分析】逆用的幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：64．【点睛】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．熟练掌握相关运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．例4．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期中）若，，则的值是．【答案】27【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，可得答案．【详解】解：∵，，∴，，，．故答案为：27．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．【变式训练1】．已知，则的值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】根据同底数的乘法法则构造一元一次方程即可得解．【详解】解：∵，∴即，∴，∴，∴，故选∶A．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式训练2】．已知：，，则．【答案】/【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的逆运算计算即可得出答案．【详解】∵，，故答案为：．【点睛】本题考查的是幂的运算公式，需要熟练掌握四个幂的运算公式及其逆运算．【变式训练3】．已知，，．则的值为．【答案】【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，零指数幂，可得答案．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握幂的运算法则．【变式训练4】．回答下列问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求x的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答；（2）根据同底数幂乘法法则计算即可．【详解】（1）解：因为，所以，所以．（2）解：因为，所以，所以．【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．类型二、方程思想例1．已知，，均为正整数，且满足，则的取值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c均为正整数，求出a，c的值，进而求出答案．【详解】解：∵∴，∴，∵，，均为正整数，∴当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，∴的取值不可能为7．故选A例2．（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．【答案】（1）1（2）1024【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值；（2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算以及代数式代入求值的知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．【变式训练1】（1）已知、为正整数，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可；【详解】（1）解：∵、为正整数，（2）∵，；【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．【变式训练2】．按要求完成下列问题(1)已知，求：的值(2)已知，求的值；的值．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）把各个数字化为以为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求得的值，再代入求解即可；（2）根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方求解即可．【详解】（1）解：∵∴，∴，∴，解得：，∴；（2）解：∵，∴，。【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则．类型三、幂比较大小例1．已知，，则a，b大小关系是．【答案】/【分析】先利用幂的乘方的逆运算可得，，再比较底数即可求解．【详解】解：，，∵，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．例2．如果，，，那么它们的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：，，，且，．故选：D【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．【变式训练1】．如果，，那么，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂运算法则分别计算即可．【详解】，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解本题的关键．【变式训练2】．若，则a，b，c，d的大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求解，然后比较即可解答．【详解】解：∵，，，，∴a、b、c、d的大小关系是：．故选：D．【点睛】本题主要考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识点，正确化简各数是解题关键．【变式训练3】．已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂的乘方的逆用可得，由此即可得．【详解】解：，，，，故选：A．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用法则是解题关键．类型四、“1”的应用例．满足等式的x的值为．【答案】或或【分析】分，，且三种情况求解．【详解】（1）当时，，此时，等式成立；（2）当时，，此时，等式成立；（3）当且时，，此时，等式成立．综上所述，x的值为：或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了零指数幂的计算，幂的计算，正确分类是解题的关键．【变式训练1】．若有意义，则x的取值范围是．【答案】且【分析】由有意义，有意义，可得，，计算求解，然后作答即可．【详解】解：由题意知，∵有意义，∴，即；∵有意义，∴，即．∴且．故答案为：且【点睛】零次幂和负整数指数幂的底数都不能为零．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练2】．已知，求的值．【答案】的值为或或【分析】直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案．【详解】解：∵，∴，∴当且时，解得：当时，解得：，当且为偶数时，解得：，∴的值为或或．【点睛】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于．类型五、代换思想例1．已知，，，请用含a，b，c的式子表示下列代数式：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本题考查了同底数幂旳乘法，积的乘方与幂的乘方，掌握其运算法则是解决此题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可；（3）根据幂的乘方与积的乘方的运算即可．【详解】（1）解：，，；（2），，；（3），，．例2．如果，那么我们规定．例如；因为，所以．(1)根据上述规定填空：______，______；(2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)3，0，；(2)【分析】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算；（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；（2）解：∵，，，∴，，，∵，∴，∴；【变式训练1】若，，则用含的代数式表示为______．【答案】y=(x-1)2+3【解析】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x−1，

∵y＝3＋4m，∴y＝（x−1）2＋3，故答案为：y＝（x−1）2＋3．【变式训练2】.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．【答案】a+b=c【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴，又∵=50=，∴a+b=c．故答案为：a+b=c．类型六、幂运算易错题例1．（幂加减与乘除混淆）计算后的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则计算即可．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则，解答本题的关键是掌握运算法则．例2．（底指不同）计算的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算，通过积的乘方的逆运算，同底数幂乘方的逆运算，幂的乘方的逆运算把原式变形为是解题的关键．【详解】解：，故选A．【变式训练1】．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的乘方，积的乘方的逆运算．熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，故选：B．【变式训练2】．计算的结果是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】把转化成逆用积的乘方公式，即可求解．【详解】解：原式，故选：C．【点睛】本题主要考查了积的乘方公式的逆用，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式训练3】．计算：【答案】【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，求解即可．【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是掌握同底数幂乘法的运算法则．类型七、新定义问题例．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．(1)根据上述规定，填空：，；(2)若，，，试探究a，b，c之间存在的数量关系；(3)若，求t的值．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）根据新定义运算，求解即可；（2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解；（3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：，（2），理由如下：∵，，∴，，∵∴，即∴（3）设，，，则，，由可得∴【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．【变式训练1】．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：∵，∴(1)根据上述规定，填空：______，______，________；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：

设，则，即，∴，即，∴．请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由．【答案】(1)4；0；；(2)成立，见解析【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；（2）设，，则，，根据，得出即可证明结论．【详解】（1）解：∵，∴；∵，∴；∵，∴．故答案为：4；0；．（2）解：成立，理由如下：设，，则，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了幂的运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数幂乘法，负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则，准确计算．【变式训练2】．如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：_______；(2)劳格数有如下运算性质：若为正数，则，．根据运算性质，填空：______（为正数）．若，则______，______；（答案精确到小数点后一位）(3)已知，，，则之间的等量关系式为______．【答案】(1)(2)3，1.3，0.15(3)【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案；（2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案；（3）分别表示出，，由此即可得到答案．【详解】（1）解：，，，故答案为：；（2）解：，为正数，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：3，1.3，0.15；（3）解：，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【课后训练】1．计算．【答案】【分析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟练掌握幂的乘方和积的乘方的计算方法是解题的关键．2．已知，则．【答案】1【分析】先把m的分子分成，逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后将整理为代入求值即可．【详解】解：，，，，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、除法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用．3．已知，，则．【答案】/【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．【详解】解：∵，，∴，，∴，解得：，∴，故答案为：．4．已知m，n，x，y满足，，则．【答案】【分析】对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解．【详解】解：∵1，∴1，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用．5．已知，求的值．【答案】【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则对条件进行整理，从而可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，解得．∴．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．阅读理解：我们知道一般