第四章 三角形B卷压轴题模拟训练（解析版）四川成都七年级数学下册-

第四章三角形B卷压轴题模拟训练一、填空题1．如图，四边形中，，于，，，则的面积是．

【答案】12.5【分析】作，然后根据题目中的条件和图形，可以证明，从而可以得到和的关系，然后根据三角形的面积计算公式即可解答本题．【详解】解：作于点，则，

，，，又，，，在与中，，，，，，的面积为：．故答案为：12.5【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．2．如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则°．【答案】【分析】本题考查了三角形的全等，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含30°角直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出，则根据等腰三角形的内角和，可求出的度数．【详解】解：如图，过作，交的延长线于，过作于，点在的垂直平分线上，是的垂直平分线，，，，在中，，，，在和中，，，，，，，又，，故答案为：．3．如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是（填序号）．【答案】①③④【分析】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案．【详解】解：，，，，，，，，，，在和中，，，故①正确；，，，，，，故②不正确；在和中，，，，，，故③正确，，，，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键．4．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为．

【答案】【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值．【详解】解：如图：延长，交点于，

平分，，，，在和中，，，，；，，即；

，，当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到．5．如图，在中，点是线段的中点，点将线段分成，若四边形的面积是22，则的面积是．

【答案】18【分析】连接，设，，由题意可知，结合中点及，可得，，，，进而，整理得，求出，的值即可求得的面积．【详解】解：连接，设，，

∵四边形的面积是22，∴，∵点是线段的中点，∴，，则，∵，则∴，，即：，，则，∴，解得：，，∴，故答案为：18．【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积问题，利用等高求得面积之比是解决问题的关键．6．如图，等腰中，，，为内一点，且，，则.

【答案】/65度【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．【详解】如图，延长交的角平分线于点，连接．

平分，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，故答案为：．7．如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为．【答案】【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题．【详解】如图，过点作交的延长线于点，.，，.在和中，，，，.在和中，，，，.，，，.，.，，，，故答案为.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．如图，在三角形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是．【答案】【分析】本题考查了三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解．【详解】解：如图，连接，是的中点，，，，即，是边上靠近的三等分点，，，．故答案为：．9．在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时，．【答案】【分析】作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，则，，而，，则，可证明，得，，可知点在经过点，且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，此时，延长交于点，连结，可证明，得，由，，求得，，于是得到问题的答案，【详解】解：作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，如图，则点在经过点，且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，如图，，则，延长交于点，连结，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，故答案为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，三角形形内角和定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10．如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是．【答案】或【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1，则，，，，∵，∴

，即，解得：，即P点运动6秒；（2）当点P在上，点Q在上，如图2，

则，，∵，∴，即，解得，此时不符合题意；（3）点P与Q重合在上，如图3，

则，，∴，即，解得：，∴综上可知：或，故答案为：或．二、解答题11．【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．【详解】解：（1），理由如下：如图1，延长到点G，使，连接，在和中，，≌，，，，，，在和中，，≌，故答案为：；（2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接，，，，在和中，，≌，，，在和中，，≌，；（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，，，，即，，，，【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．12．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．（1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论；（3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论．【详解】证明：延长到G，使，连接．

∵，∴．∴．∴．∴．又∵∴．∴．∵．∴（2）（1）中的结论仍然成立．，，在与中，，，，，即在与中，，即，；（3）结论不成立，应当是．证明：在上截取，使连接．

∵，∴．∵∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴，∵，∴．13．在中，，，．是经过点的直线，于，于．(1)求证：(2)若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：．(3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得；（2）首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得；（3）首先证明，然后再证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论．【详解】（1）如图1，，，，，，又，，在和中，，，；（2）如图2，，，，，，，在和中，，，；（3）如图3，过作交于，，，，，由（2）得：，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，又，，，在和中，，，，，．【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．14．（1）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，过点B作直线的平行线，交线段的延长线于点，可以判定，得出，这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是：____________，（2）【类比应用】如图2，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断的数量关系，并说明理由．（3）【拓展创新】如图3，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，是的平分线，试判断的数量关系，请直接写出你的结论．【答案】(1)(2),见解析(3)见解析【分析】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定，等腰三角形的判定是解题的关键．（1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．(2)根据，证明，判定是等腰三角形证明即可．(3)延长交的延长线于点G，仿照(2)的证明解答即可．【详解】（1）∵边上的中线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，故答案为：．(2)延长交的延长线于点F，∵，∴，，∵E是的中点，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∵∴．故答案为：．(3)如图，延长交的延长线于点G，∵，∴，，∵E是的中点，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，∵∴．15．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．

(1)【观察发现】如图①，与的数量关系是；(2)【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数；(3)【深入思考】如图②，若E为中点，探索与的数量关系．【答案】(1)(2)的大小不变，(3)【分析】此题考查等腰