期中考试B卷相交线与平行线压轴题专项训练（解析版）四川成都七年级数学下册-

期中考试B卷相交线与平行线压轴题专项训练【例题精讲】例1．（求角度）已知直线，点A在直线上，点为平面内两点，于点．

(1)如图1，当点在直线上，点在直线上方时，交于点D，则和之间的数量关系是________；(2)如图2，当点在直线上且在点A左侧，点在直线与之间时，过点作交直线于点，说明与的数量关系；(3)如图3，当点在直线上且在点A左侧，点在直线下方时，过点作交直线于点，作的平分线交直线于点，当时，求出的度数．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)【分析】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，本题的难点在于辅助线的作法，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）利用平行线的性质即可得出结论；（2）过点作，利用平行线的性质和角度的计算即可得出结论；（3）过点B作，利用平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义即可求解．【详解】（1）解：，，，，，故答案为：；（2）解：，理由如下：过点作，

，，，，，，，，，，，，（3）解：过点B作，

，，，∵，∴，∵平分，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．例2.（求运动时间）(1)如图1，将一副直角三角板按照如图所示的方式放置，其中点，，，在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为，，，，与相交于点，则的度数是______．(2)将图1中的三角板和三角板分别绕点，按各自的方向旋转至如图2所示的位置，其中平分，求的度数．(3)将图1位置的三角板绕点顺时针旋转一周，速度为每秒15°，三角板不动，在此过程中，经过______秒边与边互相平行．

【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）根据三角形尺的角度，根据三角形内角和可得，求得，根据对顶角相等求得；（2）过点作，根据平行线的性质，进而求得，即可求解；（3）根据题意分类讨论，根据平行线的性质求得，根据旋转角度除以旋转的速度即可求解．【详解】解：（1）由三角板可知，，故答案为：；（2）∵平分，，∴，如图，过点作.

∵，∴，∴，.∵，∴，∴.（3）分两种情况讨论，①如图，在、之间

由(1)可知旋转时间为：秒②如图所示在上面，

则旋转的度数为：旋转时间为综上所述，经过秒或秒，与边互相平行．故答案为或．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角尺中角度的计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．例3．（数量关系）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：；(2)如图2，①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯A射线到达之前，设灯A转动t秒，则，；（用含t的式子表示）②若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，灯A射线与交于点，灯B射线与交于点，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，当，求t的值．(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【答案】(1)(2)①，；②或；(3)不发生变化，，详见解析【分析】（1）根据邻补角的性质，结合的条件求出度数即可；（2）第一小空根据图形求出度数，第二小空根据平行线的性质即可得出答案；（3）设灯A射线转动时间为t秒，求出两角之间的关系即可．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：①设灯A转动t秒，则，，②当时，如图，

若，则，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；当时，如图，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，综上所述：当或时，亮灯的光束平行；（3）解：如图3：

不发生变化，，理由如下：设灯A射线转动时间为t秒，∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴，即．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【模拟训练】1．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．

(1)【特例探究】如图1，．①______度；②若与的角平分线相交于点，则______度；(2)【一般探索】如图2，，．①若，，求与的关系；②若，（且为整数），直接写出与的关系；(3)【拓展应用】如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）【答案】(1)①，②(2)①；②(3)【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可；②证明即可；（2）①利用平行线的性质证明和即可；②利用平行线的性质证明和即可；（3）利用（2）中的结论计算即可．【详解】（1）①过点作平行于，过点作平行于

∵，∴，，∴，，，，∴，，∵，∴，，∴，②∵与的角平分线相交于点，则______度；∴，，∴故答案为：①，②；（2）①过点作平行于，过点作平行于

∵，∴，，∴，，，，∴，，即，，∴，∵，，∴，∴，即；②同①可得，∵，，∴，∴，即；（3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，∴，∴由（2）得∴．【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键．2．如图1，直线，直线分别交于点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接．

(1)如图1，点在线段上，若，则的度数为_________；(2)如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连．若，求的度数；(3)如图3，于点，点在射线上运动（不与重合），与的角平分线所在直线交于点与的角平分线所在直线交于点与的角平分线交于点，直接写出与的数量关系．【答案】(1)；(2)；(3)，证明见解析【分析】（1）设延长线交于点S，根据平行线的性质得出，再根据余角得出的度数即可；（2）过点K作，交于点W，设，，根据平行线的性质得出，根据四边形内角和为求出的值即可；（3）过点C作交于点O，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可．【详解】（1）解：设延长线交于点S，

∵，，∴，∵，∴是直角三角形，∴，故答案为：；（2）过点K作，交于点W，

∴，，设，，∴，，，∴，，∵，，∴，即，∴的度数为；（3）过点C作交于点O，

在四边形中，，∵与的角平分线所在直线交于点G，与的角平分线所在直线交于点F，与的角平分线交于点T，∴，，∵，∴，在四边形中，，∴，即，∴，即．【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关键．3．如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分线求出结果；（2）设，求出，再利用角平分线及平行的性质求得，最后根据即可求解；（3）过点作，由角平分线求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如图，设交于点M，平分，设，则，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如图，过点作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【点睛】本题考查平行线的性质，平行线的拐角问题，角平分线的性质，掌握辅助线的作法是解决本题的关键．4．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，(1)如图1，求证：；(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．（1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出；（2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；（3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得．【详解】（1）证明：，，又，，；（2）证明：如图2，过点N作，，，，设，，、分别平分，,，，又，，又，，，，，（3）解：，即，∴，∴，，又和是角平分线，，，又，∴，故答案为．5．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若，，秒时，________°；(2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值；(3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒；②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系．【答案】(1)100(2)(3)①或30或48；②【分析】（1）根据，即可求解；（2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解；（3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可，②由与始终互余，得出，进而可求解．【详解】（1）解：当，，秒时，，，，；故答案为：100；（2）解：，又在的左侧且平分，解得：，（3）解：①当是的角平分线时，如图所示：又始终平分，，当是的角平分线时，如图所示：又始终平分，，此时射线与重合，解得：，当是的角平分线时，如图所示：又始终平分，，又，，解得：，故答案为：或30或48；②当在的左侧时，如图所示：又始终平分，与始终互余，，化简得：．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答．6．如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：与之间的数量关系为：．理由如下：设，则，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴．（3）解：∵，，，∴，，∴，当时，，，如图，当时，，∴，解得；如图，当时，，∵，，∴，∴，∴，解得；当时，如图，当时，，∵，，∴，∴，解得；如图，当时，，∵，，∴，∴，解得，舍去；综上所述，当或或时，射线和射线平行．7．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交射线、于点、．(1)如图，当时，求的度数；(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；(3)如图，当，且，时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点置于点处，两直角边分别与和重合，将其绕点点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为'，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请求出的值．【答案】(1)(2)(3)秒或秒或秒或秒或秒【分析】本题考查平行线的性质及应用，一元一次方程，（1）过点作，可得，再结合，即可得出答案；（2）过点作，过点作，设，可得，设，可得，，即可得出结论；（3）分四种情况，分别画出图形，列方程即可解得答案：①若，到达前有，返回时有；②当时，；③当时，；④当时，；解题的关键是分类讨论思想的应用．【详解】（1）解