七年级数学下册-第04讲 认识三角形（5大考点+5种题型+强化训练）（解析版）

第04讲认识三角形了解三角形的概念；了解三角形的稳定性；理解三角形的分类；理解三角形及与三角形有关的线段的概念；掌握并证明三角形两边的和大于第三边；掌握三角形面积的方法一．三角形的概念（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．二．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．四．三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．五．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．一．三角形的概念（共4小题）1．（2023春•江都区月考）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．故选：．【点评】此题考查了三角形的分类．2．（2023春•建邺区期中）如图，图中以为边的三角形的个数为4．【分析】根据三角形的定义即可得到结论．【解答】解：以为公共边的三角形有，，，，以为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．3．（2023春•建邺区校级期中）如图，以为边的三角形的个数是4个．【分析】根据三角形的定义即可得到结论．【解答】解：以为公共边的三角形有，，，，以为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键．4．（2023春•秦淮区校级月考）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【分析】根据题意画出图形即可得到结论．【解答】解：如图所示，以，为顶点，得，，，以，为顶点，得，，以，为顶点，得，以，为顶点，得，，以，为顶点，得，以，为顶点，得，故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．【点评】本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．二．三角形的角平分线、中线和高（共6小题）5．（2023春•锡山区校级月考）下列各组图形中，是的高的图形是A． B． C． D．【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：的高是过顶点与垂直的线段，只有选项符合．故选：．【点评】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．6．（2023春•秦淮区期中）如图，，，，，垂足分别为点、点、点，中边上的高是A． B． C． D．【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．【解答】解：中，画边上的高，是线段．故选：．【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．7．（2023春•秦淮区期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为23．【分析】根据三角形中线的定义可得，再表示出和的周长的差就是、的差，然后计算即可．【解答】解：是边上的中线，，和周长的差，的周长为，比长，周长为：．故答案为23．【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．8．（2023春•吴江区期中）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．（1）求的度数；（2）若与的周长差为3，，则10．【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）是的高，，，，是的角平分线，，，；（2）是中点，，与的周长差为3，，，，，故答案为：10．【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．9．（2023春•盱眙县期中）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多1，则5．【分析】根据三角形中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：是的边上的中线，，的周长比的周长多1，，即，，，故答案为：5．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．10．（2023春•高新区期中）如图，在中，于，平分．（1）若，，求的度数（2）若，则．（3）若，求的度数（用含的代数式表示）．【分析】（1）根据角平分线的定义和互余进行计算；（2）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出的度数等于与差的一半解答即可；（3）根据（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，，，；（2），，平分，，，，而，，，，，故答案为：；（3），．【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是和三角形外角性质解答．三．三角形的面积（共8小题）11．（2023春•海州区期中）如图，中，是边上的中线，是中边上的中线，若的面积是24，则的面积是A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根据三角形的中线的性质，得的面积是的面积的一半，的面积是的面积的一半，由此即可解决问题；【解答】解：是的中线，．是的中线，．故选：．【点评】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．12．（2023春•泗洪县期中）如图，中，点是上一点，，点是的中点，若的面积，则A．1 B．2 C．3 D．4【分析】本题需先分别求出，再根据即可求出结果．【解答】解：，，点是的中点，，，，，，．故选：．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．13．（2023春•仪征市月考）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为．【分析】根据三角形面积公式得到，然后把，，代入计算即可．【解答】解：，分别是边，上的高，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．14．（2023春•兴化市月考）如图，中，、分别是，的中点，的面积是16，则阴影部分的面积是4．【分析】根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，由此可解．【解答】解：点、分别是，的中点，，，，故答案为：4．【点评】本题考查根据三角形中线求面积，掌握“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键．15．（2023春•灌南县期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．（1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长；（2）当为的平分线时，若，，求的度数．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，接着计算出，然后计算即可．【解答】解：（1）为边上的高，的面积为24，，，为边上的中线，；（2），，，为的平分线，，，，，．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．16．（2023春•工业园区校级月考）已知：如图所示，中，、分别在边、上，，，求的值．【分析】先利用线段之比得出面积之比，得到和，再求出，则可得出答案．【解答】解：连接，，，设，则，又，，设，则，又，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积，利用三角形的边长之比转换成面积之比是解题的关键．17．（2023春•靖江市校级月考）如图，中，，，，，和交于点，．（1）求的度数；（2）若，求的长．【分析】（1）根据，求出即可．（2）利用面积法求解即可．【解答】解：（1），，，，，，．（2），，，，，，．【点评】本题考查三角形的面积，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．18．（2023春•工业园区校级月考）如图，在三角形中，，，是的中点，点在边上，三角形与四边形的周长相等．（1）求线段的长；（2）图中共有8条线段；（3）若图中所有线段长度的和是，求的值；（4）若四边形的面积为，则点到直线的距离为．（用的代数式表示）【分析】（1）根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算即可；（2）根据线段的概念写出图中线段；（3）根据题意列式计算求出的值，进而求出的值；（4）连接，根据面积之比等于同高的底边之比，得出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，设，则，求出用表示三角形的面积，再根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，求出点到直线的距离【解答】解：（1）是的中点，，与四边形的周长相等，，，，，，；（2）图中线段有：、、、、、、、共8条，故答案为：8；（3）图中所有线段长度的和是，，，；（4）如图所示连接，，，，，是的中点，，，设，则，，，，，设点到直线的距离为，，，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，正确写出图中线段的条数是解题的关键．四．三角形的稳定性（共3小题）19．（2023秋•兴化市月考）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．故选：．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．20．（2023春•睢宁县期中）下列图形中，具有稳定性的是A． B． C． D．【分析】直接根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：、、选项中都有四边形，只有选项中只有三角形，根据四边形的不稳定性和三角形的稳定性可知：选项的图形具有稳定性．故选：．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，掌握组成的所有的图形都是三角形，则具有稳定性是解答本题的关键．21．（2023春•仪征市期中）如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是A．三角形的稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可．【解答】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三角形具有稳定性，故选：．【点评】考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大．五．三角形三边关系（共9小题）22．（2023春•吴江区期中）已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于和，则第三边的长可能是A． B． C． D．【分析】已知三角形的两边长分别为、，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围．【解答】解：设第三边长为，则由三角形三边关系定理得，即．一个三角形的周长为偶数，或9或11．只有符合题意．故选：．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．23．（2023春•姑苏区校级月考）已知三角形的三边长为3、7、，则的取值范围是．【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得，即：．故答案为：．【点评】考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是熟知三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．24．（2023春•涟水县期末）若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则第三边的长为7．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，又知道第三边长为奇数，就可以知道第三边的长度．【解答】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系，得，即．又第三边长是奇数，则．故答案为：7．【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，难度适中．25．（2023春•仪征市期末）三角形两边的长分别为1，7，第三边长是整数，则第三边的长为7．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边，而．又第三条边长为整数，则第三边是7．故答案为：7．【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．26．（2023春•邗江区月考）已知的三边长是，，．（1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求边的长；（2）化简．【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案；（2）根据绝对值的定义和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：（1），，是的三边，，，，三角形的周长是小于18的偶数，，或6；（2）．【点评】此题主要考查了绝对值和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键．27．（2023春•兴化市月考）在中，，．（1）若是整数，求的长；（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：，，是整数，；（2）是的中线，的周长为10，，，，的周长．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．28．（2023春•宿城区校级月考）已知在中，、、的对边分别为、、．（1）化简代数式：．（2）若，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得；（2）先根据三角形中线的定义可得，再分①和②两种情况，分别求出，的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得：，，，，．故答案为：；（2）画出图形如下：由题意可知，，，，，，是边上的中线，且，，分以下两种情况：①当时，即，解得，此时的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去；②当时，即，解得，此时的三边长分别为4，12，12，满足三角形的三边关系定理；综上，腰长为12．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理、整式加减的应用、二元一次方程组的应用、三角形的中线等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．29．（2023春•灌云县月考）某市木材市场上木棒规格与价格如下表：规格价格（元根）101520253035小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用，现有两根长度为和的木棒，还需要到该木材市场上购买一根．（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？（2）在能做成三角形支架的情况下，选择哪一种规格的木棒最省钱？【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式可得的取值范围，进而得到选择的木棒长度；（2）根据木棒价格可直接选出答案．【解答】解：（1）设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得：，解得，，4，5，6共4种，有4种规格木棒可供小明的爷爷选择；（2）根据木棒的价格可得选最省钱．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．30．（2023春•仪征市月考）已知，，是的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长．【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而可得出其周长．【解答】解：，，，解得：，，为方程的解，，解得：或2．、、为的三边长，，不合题意舍去，，的周长．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．一．选择题（共10小题）1．（2023春•江都区月考）如图所示在中，边上的高线画法正确的是A． B． C． D．【分析】直接利用高线的概念得出答案．【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，故选：．【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．2．（2023春•邗江区期末）下列三条线段的长度能构成三角形的是A．1，2，3 B．2，2，4 C．2，9，6 D．4，6，9【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：、，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；、，不能够组成三角形，故本选项不符合题意；、，能够组成三角形，故本选项符合题意．故选：．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．3．（2023春•工业园区期中）已知三角形两边的长分别为、，第三边长为整数，则第三边的长可以为A． B． C． D．【分析】根据三角形的三边关系得出第三边的范围，进而得到答案．【解答】解：设第三边的长为，则，即，第三边的长为整数，第三边的长可以为．故选：．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．4．（2023春•江宁区校级月考）已知三条线段的长分别是3，7，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是A．11 B．10 C．9 D．7【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．【解答】解：三条线段的长分别是3，7，，它们能构成三角形，，，整数的最大值是9．故选：．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．5．（2023春•亭湖区期中）如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是A．6米 B．8.7米 C．18米 D．27米【分析】连接，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项．【解答】解：设米，米，米，由三角形三边关系定理得：，，所以选项不符合，选项、、符合，故选：．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键．6．（2023春•工业园区期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为A． B． C． D．【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．【解答】解：为的边上的中线，，的周长比的周长大，，，，，故选：．【点评】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解此题的关键．7．（2023春•高港区月考）如图，在中，已知点、分别是、边上的中点，且，则的值为A． B． C． D．【分析】根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．8．（2023春•姜堰区期中）小李想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的细木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么小李应该选择把哪根木条分为两段？A．的木条 B．的木条 C．两根都可以 D．两根都不行【分析】三角形两边之和大于第三边．依此即可求解．【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．故选：．【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．9．（2023春•高邮市期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由得，同理可得，根据即可得到答案．【解答】解：，，点为中点，，，即，．故选：．【点评】本题考查了三角形的面积计算，同高不等底的三角形面积之比为底之比，熟悉以上性质是解题关键．10．（2023春•姑苏区校级期中）如图，在中，点是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是A． B． C． D．【分析】设与相交于点，连接，根据三角形的中线性质可得的面积的面积，的面积的面积的面积，从而可得的面积，再根据已知，可得的面积的面积，从而可得四边形的面积的面积；然后根据图形面积的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：设与相交于点，连接，点是边的中点，的面积是4，的面积的面积，的面积的面积的面积，的面积；，的面积的面积，的面积四边形的面积，四边形的面积的面积；的面积的面积的面积的面积，四边形的面积的面积的面积的面积，；的面积的面积）；故，，都不符合题意；符合题意；故选：．【点评】本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2023春•丹阳市校级期末）已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则3．【分析】首先根据三角形的三边之间的关系得：，由此解得，然后再根据为奇数即可求出的值．【解答】解：根据三角形的三边之间的关系得：，，为奇数，．故答案为：3．【点评】此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．12．（2023春•邗江区月考）如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性（选填“稳定性”或“不稳定性”．【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案．【解答】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定性．【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键．13．（2023春•玄武区校级期中）如图，在中，已知，垂足为，，若是的中点，则6．【分析】设的面积为，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值．【解答】解：设的面积为，是的中点，，，，，．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是关键．14．（2023春•天宁区校级期中）如图，点在直线外，点、在直线上，点、分别是，的中点，、相交于点．已知，四边形的面积为6，则的最小值为6．【分析】连接，过点作于点，根据三角形中线性质只需求出，进而求出，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解．【解答】解：如图，连接，过点作于点，点、分别是、的中点，，，，，，，，，，点到到直线的距离垂线段最短，，的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．15．（2023春•仪征市期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为3．【分析】由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：是的中线，，是的中线，，，，，即，解得：，故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．16．（2023春•亭湖区校级期末）某花店打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．【解答】解：设第三边长为分米，则三角形的第三边满足：，即．因为第三边长为奇数，所以第三边可以为5分米、7分米或9分米．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．故答案为：3．【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．17．（2023春•盐都区期中）如图，点是的边上任意一点，点、分别是线段、的中点，且的面积为60，则的面积15．【分析】根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积．【解答】解：点是线段的中点，，，，分别是线段的中点，，故答案为：15．【点评】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．18．（2023春•江阴市期中）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动．若设点运动的时间是，那么当2或时，的面积等于8．【分析】分点在线段上和点在线段上两种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：，点是的中点，，当点在线段上，如图1所示，，，，解得：；当点在线段上，如图2所示，，，，解得：．故答案为：2或．【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，以及解一元一次方程，和分类讨论的数学思想，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三．解答题（共8小题）19．（2023春•工业园区校级月考）（1）如图，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）你能把1个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形．【分析】（1）与属于等底，同高，所以面积相等．（2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，先分成两个面积相等的三角形，进而继续即可．剩下方法可根据此基本图形进行变形．【解答】解：（1）．理由如下：为中点，．又为三角形顶点，和等底同高．．．（2）分割方法如图提示（虚线为分割线）【点评】本题考查了三角形的面积．用到的知识点为：等底，同高的三角形的面积相等以及这个知识的应用．20．（2023春•惠山区期中）已知，，是三角形的三边长，化简．【分析】根据三角形的三边关系，结合绝对值的定义进行化简．【解答】解：，，是三角形的三边长，，又，，，，．【点评】解题的关键是根据“三角形两边之差小于第三边”．21．（2022春•泗阳县月考）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．（1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长；（2）当为的角平分线时，若，，求的度数．【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出长；（2）利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出．【解答】解：（1）为边上的中线，，为边上的高，，．（2），为的角平分线，，，，，【点评】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几种知识点的熟练应用是解决此题的关键．22．（2022春•阜宁县期中）已知，如图，，，于．（1）与相等吗？为什么？（2）试说明是的高．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；（2）根据平行线的性质得到，根据三角形的概念证明即可．【解答】解：（1），理由如下：，，；（2），，，，，，即是的高．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键