七年级数学下册-第01讲 探索直线平行的条件（3大考点+7种题型+强化训练）（解析版）

第01讲探索直线平行的条件（3大考点+7种题型+强化训练）1.能够正确判断同位角、内错角、同旁内角；2.利用直线平行的条件判断两条直线平行；3.建立平面图形基本推理和思考能力。知识点1：同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5。同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。2、内错角：如图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。3、同旁内角：具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3。同旁内角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。知识点2：两条直线平行的条件两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为：同位角相等，两直线平行。两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称为：内错角角相等，两直线平行。两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称为：同旁内角互补，两直线平行。知识点3：平行线基本公理过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行②平行于同一条直线的两条直线平行题型一：同位角、内错角、同旁内角【例1】．（2023下·七年级课时练习）如图，与，与各是哪两条直线被哪一条直线所截而形成的什么角？

图①

图②【答案】图①中，与是，被所截而形成的内错角；与是，被所截而形成的同旁内角．图②中，与是，被所截而形成的内错角；与是，被所截而形成的内错角．【变式1】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与构成同位角的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【详解】解：直线a，b被直线m所截，与构成同位角的是，故选：C．【变式2】．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（

）

A．与是同位角 B．与是内错角C．与是对顶角 D．与是同旁内角【答案】B【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．【详解】解：A．与是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；B．与是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；C．与是对顶角，因此选项C不符合题意；D．与是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；故选：B．题型二：平行公理的应用【例2】．（2023上·江苏·七年级专题练习）小明与小刚在讨论数学问题时，有如下对话：小明：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m平行．小刚：在同一平面内，过一点A有且只有一条直线与已知直线m垂直．对于两个人的说法，正确的是（

）A．小明对 B．小刚对 C．两人均对 D．两人均不对【答案】B【分析】根据平行公理，垂线的基本性质进行判断即可．【详解】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴小明错，小刚对，故选：B．【点睛】本题考查了平行公理，垂线的基本性质，熟练掌握基础知识点是解题的关键．【变式1】．（2023上·江苏·七年级专题练习）经过直线外一点的5条不同的直线中，与直线相交的直线至少有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行进行判断即可．【详解】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，∴有和直线a平行的，只能是一条，∴与直线a相交的直线至少有4条，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，熟练掌握平行的公理，是解题的关键．【变式2】．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：a、b、c为平面内三条不同的直线，若，，则a、b的位置关系为．【答案】【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行可得答案．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是平行公理的含义，熟记平行公理的含义是解本题的关键．题型三：平行公理推论的应用【例3】．（2023上·江苏·七年级专题练习）下列说法中，正确的个数为(

)（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果，那么（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据平行线的概念、公理及推论判断．【详解】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；（2）根据平行公理的推论，正确；（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；（4）应该是“在同一平面内”，故错误．正确的只有一个，故选A【点睛】掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法．【变式1】．（2023上·江苏·七年级专题练习）已知，若由此得出，则直线a和c应满足的位置关系是（

）A．在同一个平面内B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一平面内【答案】C【分析】根据“平行线的传递性”即可求解．【详解】解：①若，，，可得；②若直线a和c重合，则由得：，可得，综上：直线a和c平行或重合，故选：C．【点睛】本题考查“平行线的传递性”．熟记相关结论是解题关键．【变式2】．（2023上·江苏·七年级专题练习）是直线，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可．【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意；D、若，则，正确，符合题意．故选：D题型四：同位角相等两直线平行【例4】已知：如图，直线与被所截，．求证：．

【分析】先证明，结合，可得，从而可得结论．【详解】解：∵（对顶角相等），又∵（已知），∴，∴（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查的是对顶角相等，平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解本题的关键．【变式1】．（2023下·江苏·七年级期中）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．(1)若，求的度数；(2)连接，若，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义得出；（2）根据对顶角相等得出，根据已知条件得出，然后得出，即可得证【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）证明：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】已知：如图，，和互余，于点，求证：．

【分析】首先由，得和互余，再由已知，，和互余，所以得，从而证得．【详解】证明：又与互余【点睛】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由及三角形内角和定理得出和互余．【变式3】．（2023下·江苏·七年级期中）如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线．(1)与有什么关系，为什么？(2)，有什么位置关系？请说明理由；【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和，即可得出答案；（2）通过等量代换证明，根据同位角相等、两直线平行，可得．【详解】（1）解：，理由如下：，分别是，的平分线，，，，，即；（2）解：，理由如下：由（1）知，，，，，，．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定，熟练进行等量代换是解题的关键．【变式4】．（2023下·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：，，，与平行吗？为什么？解：．理由如下：∵（已知），∴°即（）又∵（），且，∴＝（）∴（）【答案】90；90；等量代换；已知；∠1，∠4（∠1，∠4位置可互换）；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行【分析】根据等量代换和余角的性质进行证明即可．【详解】解：∵（已知），∴，即（等量代换），又∵（已知），且，∴（等角的余角相等），∴（同位角相等，两条直线平行），故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1，∠4（∠1，∠4位置可互换）；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．题型五：内错角相等两直线平行【例5】．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由．

【答案】，理由见解析【分析】由，可知，再由可证得．【详解】解：，理由如下：，，，，．【点睛】本题考查了平角以及平行线判定定理的知识，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．【变式1】．（2022下·江苏常州·七年级统考期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠（）．∴（）．【答案】ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．【详解】证明：∵CE平分∠ACD，∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），∵∠1＝∠2．（已知），∴∠1＝∠ECD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．【变式2】．（2022下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．解：因为(已知)，(______)，所以(______)．因为平分，所以(______)．因为平分，所以______，得(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．【详解】解：（已知），（平角的定义），（同角的补角相等）．平分，（角平分线的定义）．平分，，（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．【变式3】．（2023下·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CDOE，理由见解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．【变式4】．（2023下·江苏无锡·七年级统考期末）如图，点在上，已知平分平分，请说明的理由．解：因为（__________），（________________），所以（________________）．因为平分，所以________（___________）．因为平分，所以_________，得________（____________），所以________（____________）．【答案】已知；平角的定义；等量代换；；角平分线的定义；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【详解】解：因为（已知），（平角的定义），所以（等量代换）．因为平分，所以（角平分线的定义）．因为平分，所以，得（等量代换），所以（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型六：同旁内角互补两直线平行【例6】．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，直线与射线相交于点O，，直线与平行吗？为什么？【答案】ABCD，理由见解析【分析】先由对顶角性质得∠AOD=∠BOE=130°，再计算∠AOD+∠D=180°，即可得出结论．【详解】解：ABCD，理由：∵∠AOD=∠BOE=130°（对顶角相等），∴∠AOD+∠D=130°+50°=180°，∴ABCD(同旁内角互补，两直线平行)．【点睛】本题考查平行线的判定，对顶角性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式1】．（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）根据题意将下列空格补充完整：如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1=∠2，∠C＝∠A．求证：∠AEH＝∠F．证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°∴ED_________（________________）∴∠1＝∠C（______________________________）∠2＝___________（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，∠C＝∴∠A＝__________∴ABDF（___________________________）∴∠AEH＝∠F（________________）【分析】根据平行线的判定和性质，即可作答．【详解】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，∴EDAC（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2，∠C＝∠A∴∠A＝∠DGC∴ABDF（同位角相等，两直线平行）∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题关键是灵活运用平行线的判定和相关性质．【变式2】．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，已知、分别是、的平分线，且．求证：．【分析】根据，得，根据、分别是、的平分线得，，可得，即可得．【详解】证明：∵，，∴，∵、分别是、的平分线，∴，，∴，∴．【点睛】本题考查角平分线，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．【变式3】．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与、相交于点A、C，平分交于点E，，．试判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】，见解析【分析】根据角平分线定义求出的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行可得结论．【详解】解：，理由如下：∵平分，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义.解题的关键是熟练掌握两直线平行的判定方法．题型七：垂直于同一直线的两直线平行【例7】．（2023·江苏·七年级假期作业）下列命题是真命题的是（

）A．相等的角是对顶角 B．垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的余角互补 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】D【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定、余角的性质、平行线的性质分别进行判断即可．【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，故选项错误，不符合题意；B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故选项错误，不符合题意；C．同角的余角相等，故选项错误，不符合题意；D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了对顶角的定义、平行线的判定、余角的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式1】．（2023下·江苏·七年级阶段练习）在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：如图，（1）任取两点A，B，画直线．（2）分别过点A，B作直线的两条垂线；则直线即为所求．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是．【答案】在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行【分析】根据在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行，即可求解．【详解】解：∵，∴（在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行）．故答案为：在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握在同一平面上，垂直于同一直线的两直线平行是解题的关键．【变式2】．（2021上·江苏南京·七年级统考期末）在如图，所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．（1）经过点画的平行线．（2）过点，画的垂线．（3）过点，画的垂线．（4）请直接写出、的位置关系．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）平行．【分析】（1）利用表格结合平行的概念画出PQ即可．（2）利用表格结合垂直的概念画出AM即可．（3）利用表格结合垂直的概念画出CN即可．（4）根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论．【详解】（1）如图，直线PQ即为所求．（2）如图，直线AM即为所求．（3）如图，直线CN即为所求．（4）∵，，∴故AM与CN的位置关系为平行．【点睛】本题考查利用平行和垂直的概念作图以及平行线的判定．掌握同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行也是关键．一、单选题1．（2023下·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）下列图中，不是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断即可．【详解】解：A．由图可知，，不是同位角，故A符合题意；B．由图可知，，是同位角，故B不符合题意；C．由图可知，，是同位角，故C不符合题意；D．由图可知，，是同位角，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）是解题的关键．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与是（

）形成的内错角．A．直线、被直线所截 B．直线、被直线所截C．直线、被直线所截 D．直线、被直线所截【答案】B【分析】直接利用内错角的定义分析得出答案．【详解】解：与是直线、被直线所截形成的内错角．故选：B．【点睛】此题主要考查了内错角的定义，正确把握内错角的定义是解题的关键．3．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，与∠1是同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】D【分析】根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可．【详解】解：根据内错角、同位角、同旁内角的概念可得：和是对顶角；和是同位角；和是内错角；和5是同旁内角，故选：D．【点睛】本题考查了内错角、同位角、同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键．4．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（

）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等【答案】A【分析】根据平行线的判定定理判断．【详解】解：依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．5．（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，两直线、被直线所截，，下列结论正确的是（）

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】观察图中角之间的位置关系，根据平行线的判定方法，【详解】解：A.若，与为对顶角，不能得证，本选项不合题意；B.∵，，∴．若，则，∴．本选项符合题意．C.若，如图，与为邻补角，不能得证，本选项不合题意；D.若，∵，，∴，不能得证，本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．6．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线的判定，由结合内错角相等，两直线平行可得，由结合同旁内角互补，两直线平行可得，由而且两个角不是内错角，不是同位角，不能判定两直线平行，由同理可得，熟记平行线的判定方法是解本题的关键．【详解】解：∵，∴，故A不符合题意；∵，∴，故B不符合题意；由，不能判定，故C不符合题意；∵，∴，故D符合题意；故选：D．7．（2023上·江苏·七年级专题练习）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】C【分析】根据平行公理及推论，逐一判定即可；掌握平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键．【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；B、∵，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；C、∵∵，∴，故C符合题意；D、∵，∴a与c不一定平行，故D不符合题意．故选：C．8．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．【详解】解：A、可判断，故此选项符合题意；B、可判断，故此选项不符合题意；C、可判断，故此选项不符合题意；D、可判断，故此选项不符合题意．故选：A．9．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）下列条件：①，②，③，其中能判断的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据能判断．②由“同位角相等，两直线平行”知，根据能判断，但不能推断．③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据，能判断，但不能推断．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，以下条件能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定；利用平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、当时，根据同位角相等，两直线平行可得，不符合题意；B、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；C、当时，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；D、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；故选：C．二、填空题11．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：内错角相等，两直线平行．”小妙做法的依据是：．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可求解．【详解】解：根据题意得：小妙做法的依据是：同位角相等，两直线平行．故答案为：同位角相等，两直线平行【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．12．（2023下·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，请你添加一个条件，使，（只需填上你认为正确的一个条件），你添加的条件是

【答案】【分析】利用平行线的判定即可求解．【详解】解：由题意可得：当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键．13．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）在同一平面内，若，则与的位置关系是．【答案】【分析】先根据垂直定义求出，再根据平行线的判定推出即可．【详解】解：如图，，

，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定和垂直定义的应用，注意：同位角相等，两直线平行．14．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，直线、被直线所截，与相交于点，若，当时，．【答案】77【分析】根据对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，可得，结合题意即可求解．【详解】解：∵，当时，；∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．15．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，直线与相交，，，要使直线与平行，则直线绕点顺时针旋转的角度至少是°．

【答案】25【分析】要使，则，根据已知条件即可确定旋转的度数．【详解】解：当时，，又，，，直线顺时针旋转的度数至少是，故答案为：25．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．16．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是（填序号）．

【答案】①②④【分析】根据平行线的判定定理，逐一判断即可．【详解】解：①∵，∴；②∵，∴；③，∴；④∵，∴；∴能判断的是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．17．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点顺时针旋转一周，速度分别为12度/秒和2度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过

秒时木棒a，b平行．【答案】3或21或75或165【分析】设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：当秒时，，解得：；当秒时，，解得：；当秒时，木棒a停止运动，当时，，解得：，不符合题意；当时，，解得：；，解得：，当时，木棒b停止运动，综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，故答案为：3或21或75或165．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．18．（2023下·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝．

【答案】或【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可．【详解】解：设运动x秒后，使得与平行，此时转过了，转过了，当与在的两侧，

此时，∵，∴，∴解得；当与在的同侧，

此时，∵，∴，∴解得；当转了一圈，与在的同侧，

此时，∵，∴，∴解得（舍去）；故答案为：或．【点睛】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键．三、解答题19．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，，，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得，从而可得，再结合可得，然后根据平行线的判定即可得．【详解】解：，理由如下：分别平分，，，，又，，．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．20．（2023·江苏·七年级假期作业）（1）在学习“平行线的判定”时，课本首先通过以下的“思考”栏目，得到了平行线的判定方法1，即________．（2）平行线的另外两个判定方法都可以根据平行线的判定方法1进行证明．请根据平行线的判定方法1证明判定方法3．已知：如图1，直线和直线被直线所截，且．求证：．（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图2，是直角，那么，都可以通过度量图中已标出的哪个角，来判断两条直轨是否平行？为什么？【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行求解即可；（2）首先根据邻补角的概念得到，然后得到，利用同位角相等，两直线平行证明即可；（3）根据平行线的判定方法求解即可．【详解】解：（1）同位角相等，两直线平行．（2）∵（邻补角定义），（已知）∴（同角的补角相等）∴（同位角相等，两直线平行）；（3）可测量是否为，若等于，根据同旁内角互补可判定两直线平行；可测量是否为，若等于，根据同位角相等可判定两直线平行；可测量是否为，若等于，根据内错角相等可判定两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．21．（2023下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，已知，平分，试说明．

证明：因为平分（已知），所以（角平分线的定义）．又因为（已知），所以＝（等量代换）．所以（

）．【答案】；；；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【详解】证明：因为平分（已知），所以（角平分线的定义）．又因为（已知），所以（等量代换）．所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；；；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．22．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，，．求证：．（要写出每一步的依据）

【答案】见解析【分析】根据同角的补角相等，以及等量关系，结合同位角相等，两直线平行即可求解．【详解】解：证明：（已知），（平角定义），（同角的补角相等），（已知），（等量代换）．（同位角相等，两条直线平行）．【点睛】此题考查的是平行线的判定方法，关键是熟悉同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．23．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P．(1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②；(2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E；(3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有个．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）根据网格作图即可；（2）根据网格作图即可；（3）根据网格作图即可.【详解】（1）解：作图如下：（2）解：作图见（1）（3）如图：故符合题意的点F有6个.故答案为：6【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用