方向角与方位角问题

年级：九年级下册 科目：数学 主备: 课题：28.2方位角与方向角问题学习目标：重点与难点重点：直角三角形的解法．难点：三角函数在解直角三角形中的敏捷运用。一、用一用用解直角三角形学问解决测量中的方位角问题．方位角与方向角方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图〔1〕中的目标方向线OA，OB，OC60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，假设目标方45°的角，如图〔1〕OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．〔1〕 〔2〕方位角从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图〔2〕中，目标方向线PA，PB，PC40°，135°，225°．用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要擅长将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素〔边、角〕之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．-1-解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清和未知．将条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直再把条件和问题转化到这个直角三角形．依据直角三角形〔或通过作垂线构造直角三角形〕元素〔边、角〕之间关系解有关的直角三角形．1、如下图，一艘海轮位于灯塔P6580海里的AP34B所在的BP？〔0.01〕分析：由于△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACPPCB．PC是东西走向的一条直线．ABABPC互垂直的，即∠ACPBDP均为直角．再通过65APCAPC；通34BPCBPC．解：如图，在Rt△APC∵cos〔90°-65°〕= ∴PC= =Rt△BPCB=34°，∵sinB= ，∴PB= ≈

因此，当海轮到达位于P34°方向时，它距离灯塔P130.23-2-例2、解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要依据实际状况敏捷运用相关学问．例如，当我们要测量如图〔1〕所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度Lh=Lsinα．但是，当我们要测量如图〔2〕h时，问题就不那么简洁了．这是由于不能很便利地得到仰角α和山坡长度L．〔1〕 〔2〕与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图〔3〕表示其中一局部小段．划分小段时，留意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h=Lsinα．1 1 1〔3〕在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h，h1 2然后我们再“积零为整”，把h，h，…相加，于是得到山高h．1 2以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的根本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，还会更多地了解这方面的内容．二、总一总利用解直角三角形的学问解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题〔画出平面图形，转化为解直角三角形的问题〕．-3-依据条件的特点，适中选用锐角三角函数等去解直角三角形．得到数学问题的答案．得到实际问题的答案．三、做一做〔一〕、选择题．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B35°，那么同时从B测到轮船的方向是〔〕．南偏西35° B．东偏西35° C．南偏东55° D．南偏东35°B 北C 东“://czsx.cn/“czsx.cn(第1题) (第5题) (第8题)300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°〔假设风筝线是拉直的〕，则三人所放风筝〔〕．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高38123045°，一棵树的10m，则树在地面上影长h〔〕．A．5<h≤103 B．10≤h≤103 C．10<h<15 D．h>103△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是〔〕．A．30° B．45° C．60° D．无法确定6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，CDi=1：2，则坝底AD〔〕．A．42m B．〔30+243〕m C．78m D．〔30+83〕m-4-1△ABC中，cosA2

+〔tanB-3〕2=0AB=4，则△ABC〔〕．A．43 B．4 C．23 D．2一渔船上的渔民在A处观察灯塔M6028/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处观察灯塔M15°方向，此时，灯塔M渔船的距离是〔〕．A．72 B．142C．7D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时间线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为〔〕．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m1.8C．sin80

D．1.8cot80°m4126°，则较短的对角线长为〔〕．A．4sin54°B．4cos63°C．8sin27°D．8cos27°9A20/小时的速度向正北方向航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C距离是〔〕．A．20B．36C．72D．40北NCBA(第10题) (第11题)如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高-5-的直杆，量得其影长为0.5AB落在地上的影子BD3CD2AB的高，请你计算电AB〔〕．A．5B．6C．7D．8二、填空题．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，假设双眼离地面1.5m，则旗杆高度为 m．〔用含根号的式子表示〕在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为 ．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，依据图示数据得下底宽AD= 米．(第14题) (第15题)如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是〔0，4〕，〔3，0〕，并且∠ACB=90°，∠B=30°，则顶点B的坐标是 ．如图，燕尾槽的外口宽AD=90mm70mm60°，则里口宽为 ．(第16题) (第17题)如图从高出海平面500m的直升飞机上测得两艘船的俯角分别为45°和30°，假设这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为 ．-6-三、解答题．甲、乙两船同时从港口O16．1/35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．〔0.1/小时〕〔参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈