2024八年级数学下册第02讲二次根式的性质与乘除运算核心考点讲与练含解析新版浙教版

Page1第02讲二次根式的性质与乘除运算(核心考点讲与练)一．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：依据分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．二．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．三．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在运用性质•＝（a≥0，b≥0）时确定要留意a≥0，b≥0的条件限制，假如a＜0，b＜0，运用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在运用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．四．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是随意有理数．一．二次根式的性质与化简（共11小题）1．（拱墅区期末）＝（）A．﹣4 B．±4 C．4 D．2【分析】干脆利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝4，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（海口期末）当x＜1时，＝1﹣x．【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：∵x＜1，∴＝1﹣x．故答案为：1﹣x．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．3．（义乌市月考）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】干脆利用二次根式的性质以及立方根的定义分别化简，进而推断得出答案．【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；B.＝﹣2，故此选项符合题意；C.＝4，故此选项不合题意；D.＝＝，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的定义，正确化简二次根式是解题关键．4．（长春期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简﹣．【分析】干脆利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，故原式＝b﹣1+a﹣b＝a﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．5．（南湖区校级模拟）下列计算正确的是（）A． B．x2+x2＝2x4 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6【分析】依据＝|a|推断A选项；依据合并同类项推断B选项；依据完全平方公式推断C选项；依据积的乘方和幂的乘方推断D选项．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，原式＝2x2，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝﹣8x6，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，驾驭＝|a|是解题的关键．6．（拱墅区期中）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】依据平方根的性质、立方根的性质以及确定值的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是娴熟运用二次根式的性质，本题是基础题型．7．（余杭区期中）下列计算正确的是（）A．＝± B．＝ C．±＝ D．±＝±【分析】A：算数平方根的结果不行能出现负值；B：被开方数不能为负；C：正数平方根结果有两个；D：正确．【解答】解：A：原式＝，∴不符合题意；B：原式不成立，∴不符合题意；C：原式＝±，∴不符合题意；D：原式＝±，∴符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、平方根，驾驭二次根式的基本性质，平方根与算数平方根的区分是解题关键．8．（麦积区期末）计算：＝﹣1．【分析】推断1和的大小，依据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次根式的化简，驾驭二次根式的性质是解题的关键．9．（鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．；；；；…依据上面的规律，解决问题：（1）＝＝21；（2）求（用含n的代数式表示）．【分析】（1）视察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；（2）利用（1）发觉的规律解答即可．【解答】解：∵中，1+2＝3，＝6中，1+2+3＝6，＝10中，1+2+3+4＝10，∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）＝＝21．故答案为：，21；（2）由（1）中发觉的规律可得：＝＝1+2+3+•••+n＝．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发觉数字间的变更的规律是解题的关键．10．先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．依据上述方法化简：（1）．（2）．【分析】（1）干脆利用完全平方公式化简求出答案；（2）干脆利用完全平方公式化简求出答案．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝2+．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．11．（永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．∴＝＝+．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，∴＝＝1+；（2）＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记驾驭完全平方公式．二．最简二次根式（共5小题）12．（西湖区校级期末）下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】依据最简二次根式的概念推断即可．【解答】解：A、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是最简二次根式的推断，驾驭被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．13．（宁阳县期末）二次根式、、、、中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】依据最简二次根式的定义逐个推断即可．【解答】解：最简二次根式有，，共2个，故选：B．【点评】本考查了最简二次根式的定义，留意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．14．（建邺区校级期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如+1是型无理数，则是（）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数【分析】将代数式化简即可推断．【解答】解：（﹣）2＝3﹣2××+6＝9﹣2＝9﹣2×3＝9﹣6，故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，娴熟将代数式化简是解题的关键．15．（济南期末）将二次根式化为最简二次根式2．【分析】依据二次根式的乘法，可化简二次根式．【解答】解：，故答案为：2．【点评】本题考查了最简二次根式，利用了二次根式的乘法化简二次根式．16．（法库县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】依据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别推断得出答案．【解答】解：A、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确驾驭最简二次根式的定义是解题关键．三．二次根式的乘除法（共11小题）17．（宁波模拟）（）3的计算结果是（）A．3 B．3 C．9 D．27【分析】依据二次根式的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：（）3＝3，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的乘法，驾驭二次根式的乘方法则是解题的关键．18．（萧山区月考）计算：（）2×．【分析】干脆利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×2＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确驾驭相关运算法则是解题关键．19．（江干区期末）下列计算中正确的是（）A．（﹣）2＝﹣3 B．＝0.1 C．＝1 D．3＝【分析】依据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝＝，故C不符合题意．D、原式＝3×＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是娴熟运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．20．（杭州三模）﹣×＝（）A．5 B．25 C．﹣5 D．﹣25【分析】依据二次根式的乘法法则进行计算求解．【解答】解：﹣＝﹣5，故选：C．【点评】本题考查二次根式的乘法计算，驾驭计算法则精确计算是解题关键．21．（永嘉县校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞2 C．1≤x＜2 D．x≥1且x≠2【分析】依据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，∴x＞2，故选：B．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题题型．22．（耒阳市期末）计算：4×2÷．【分析】干脆利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝8÷＝8×3＝24．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确驾驭运算法则是解题关键．23．（慈溪市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝8＝8×3＝24；（2）原式＝2××＝．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．24．（长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：，则需计算1++，而1++＝＝＝＝＝，所以＝＝＝1+＝1+﹣．（1）依据二次根式的性质，要使＝成立，求a的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：假如b＝++1，求a+b的值；（3）利用②中的结论，计算：+++…+．【分析】（1）依据二次根式成立的条件求解即可；（2）依据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，，∴a＝2，∴b＝++1＝0+0+1＝1，∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+﹣）+（1+﹣）+⋯+（1+﹣）＝1×2024+1﹣＝2024．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是依据数字的变更找寻规律．25．（抚顺县期中）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝＝是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．【分析】依据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．【解答】解：错误，缘由是被开方数应当为非负数．＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，留意被开方数应当为非负数．26．（柯桥区校级月考）你能找出规律吗？（1）计算：×＝6，＝6．×＝20，＝20．（2）请按找到的规律计算：①×；②×．【分析】（1）干脆利用二次根式乘法运算法则化简求出答案；（2）干脆利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）×＝6，＝6.×＝4×5＝20，＝20．故答案为：6，6，20，20；（2）①×＝10；②×＝＝＝4．【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算，正确驾驭运算法则是解题关键．27．（巢湖市月考）已知x为奇数，且，求的值．【分析】本题要先依据已知的等式，求出x的取值范围，已知x为奇数，可求出x的值．然后将x的值代入所求的式子中进行求解即可．【解答】解：∵，∴，解得6≤x＜9；又∵x为奇数，∴x＝7，∴＝+＝+＝8+2．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，依据二次根式成立的条件得出x的取值范围，进而求出x的值是解答本题的关键．四．分母有理化（共9小题）1．（会宁县期末）下列各数中与相乘结果为有理数的是（）A． B． C．2 D．【分析】干脆利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：A、（2﹣）×＝2﹣2，不合题意；B、×＝2，符合题意；C、2×＝2，不合题意；D、×＝，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确驾驭相关运算法则是解题关键．2．（饶平县校级期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．3．（长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A． B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（永嘉县校级期末）实数的整数部分a＝2，小数部分b＝．【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．【解答】解：＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，则小数部分为﹣2＝．故答案为：2；．【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．5．（武进区校级自主招生）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k＝8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边全部的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k＝8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．6．（饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．7．（思明区校级月考）计算：3﹣1+|1﹣|﹣．【分析】依据实数的运算法则、负整数指数幂计算方法、二次根式乘除法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝+﹣＝+2﹣2＝．8．（永嘉县校级期末）【学问链接】（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，假如它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是假如代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：＝＝﹣1，＝＝﹣．【学问理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）干脆写出下列各式分母有理化的结果：①＝﹣；②＝3﹣．【启发运用】（3）计算：+++…+．【分析】（1）由2×＝2x，即可找出2的有理化因式；（2）①分式中分子、分母同时×（﹣），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3﹣），即可得出结论；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，合并同类项即可得出结论．【解答】解：（1）∵2×＝2x，∴2的有理化因式是．故答案为：．（2）①＝＝﹣；②＝＝3﹣．故答案为：①﹣；②3﹣．（3）原式＝+++…+，＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，＝﹣1．【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2×＝2x，找出2的有理化因式；（2）依据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣．9．（寻乌县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，依据平方差公式分解因式，最终进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最终合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝．【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简实力．

题组A基础过关练一．选择题（共11小题）1．（海阳市一模）式子成立的条件是（）A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1【分析】利用二次根式的除法法则及负数没有平方根求出x的范围即可．【解答】解：依据题意得：，解得：0＜x≤1，故选：C．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．2．（乐亭县期末）已知a＝，b＝2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定【分析】把a＝的分母有理化即可．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a＝b．故选：B．【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．3．（长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A． B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（浦江县期末）（）2＝（）A．5 B． C．10 D．【分析】依据二次根式的性质计算即可．【解答】解：（）2＝5，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的计算，驾驭二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）是解题的关键．5．（上海）下列实数中，有理数是（）A． B． C． D．【分析】干脆利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝,不是有理数，不合题意；B.＝,不是有理数，不合题意；C.＝,是有理数，符合题意；D.＝,不是有理数，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．6．（上城区期末）下列各式中，为最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】依据最简二次根式的概念推断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝a，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，驾驭被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．7．（黑山县一模）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】依据最简二次根式的定义逐个推断即可．【解答】解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．8．（永嘉县校级期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】依据最简二次根式的概念推断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、，是最简二次根式；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．9．（江干区模拟）＝（）A． B． C．3 D．5【分析】干脆利用二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），即可得出答案．【解答】解：×＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确驾驭二次根式的乘法法则是解题关键．10．（长兴县月考）依据二次根式的性质，若＝•，则a的取值范围是（）A．a≤5 B．a≥0 C．0≤a≤5 D．a≥5【分析】依据二次根式有意义的条件、二次根式乘除法法则解答即可．【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，解得，0≤a≤5，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，驾驭二次根式的乘除法法则、二次根式有意义的条件是解题的关键．11．（萧山区开学）下列各式中正确的是（）A．＝±6 B．＝﹣2 C．＝ D．（﹣）2＝﹣7【分析】干脆利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝6，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、＝，正确；D、（﹣）2＝7，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二．填空题（共14小题）12．（通州区期末）化简：＝π﹣3．【分析】二次根式的性质：＝a（a≥0），依据性质可以对上式化简．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，依据二次根式的性质，对代数式进行化简．13．（余杭区校级月考）化简的结果是．【分析】利用的化简方法进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的化简方法，正确运用进行化简是解答问题的关键．14．（江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查最简二次根式的定义．依据最简二次根式的定义，最简二次根式必需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．15．（潍坊期中）将化成最简二次根式的是10．【分析】先将被开方数化为能干脆开方的因数与另外因数的积的形式，然后开方即可．【解答】解：＝＝×＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的学问，解题的关键是将被开方数化为能干脆开方的因数与另外因数的积的形式．16．（长兴县月考）计算：×÷＝12．【分析】干脆利用二次根式的乘除运算法则即可求解．【解答】解：原式＝＝＝＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确驾驭相关运算法则是解题的关键．17．（爱辉区期末）计算×（a≥0）的结果是4a．【分析】干脆利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：×（a≥0）＝4a．故答案为：4a．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（虹口区期末）计算：×÷＝3．【分析】干脆利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：×÷＝15÷＝＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确驾驭运算法则是解题关键．19．（饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．20．（天台县一模）已知a＝，b＝，那么ab＝．【分析】干脆利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确驾驭二次根式的性质是解题关键．21．（铁西区期末）的值为零，则x的值为2．【分析】依据分式的值为0的条件进行解答即可．【解答】解：由于的值为零，所以＝0且x+2≠0，所以x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的化简，分式值为0的条件，驾驭分式值为0的条件是正确解答的关键．22．（西湖区校级期中）对于多项式y＝，当x＝1时，y有最小值为2．【分析】干脆利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质得出y的最小值．【解答】解：∵y＝＝，∴当x＝1时，y最小为：＝2．故答案为：1，2．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确进行配方法是解题关键．23．（江干区模拟）计算：＝2．【分析】干脆利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：＝＝＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的除法，正确驾驭二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）是解题关键．24．（永嘉县校级期中）（）2＝7；＝3；×5；2＝．【分析】依据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（）2＝7，＝＝3，×＝＝5，2＝2×＝，故答案为：7，3，5，．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是娴熟运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．25．（郫都区期末）分母有理化：＝2﹣．【分析】给分子分母同乘以（2﹣），分母即可化为平方差形式去掉根式，再进行计算即可得出答案．【解答】解：＝＝＝2．故答案为：2﹣．【点评】本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除，合理运用分母有理化法则进行计算是解决本题的关键．三．解答题（共1小题）26．．【分析】依据二次根式的乘除法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】本题考查了二次根式的乘除法法则，娴熟驾驭运算法则是解题的关键．题组B实力提升练一．选择题（共2小题）1．（鄞州区校级期末）已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为（）A．2a B．2a+ C． D．﹣【分析】干脆利用完全平方公式结合a的取值范围、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴+＝+＝+＝a﹣﹣（a+）＝﹣．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（鄂州模拟）把根号外的因式移入根号内得（）A． B． C． D．【分析】依据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．二．填空题（共5小题）3．（柯桥区月考）已知在数轴上的位置如图所示，化简：++＝2n﹣2m﹣1．【分析】依据＝|a|化简即可．【解答】解：依据数轴得：n＞0，m＜n，m＜﹣1，∴m﹣n＜0，m+1＜0，∴原式＝n+n﹣m﹣（m+1）＝n+n﹣m﹣m﹣1＝2n﹣2m﹣1．故答案为：2n﹣2m﹣1．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，依据数轴推断出确定值里面的数的正负是解题的关键．4．（商河县校级期末）当a＝3时，则＝2．【分析】将a＝3，代入求得即可．【解答】解：∵a＝3，∴．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根，驾驭算术平方根的意义是解题的关键．5．（永嘉县校级期末）已知：，那么a2+b2的值是2．【分析】把已知条件两边平方，再解关于（a2+b2）的一元二次方程，然后利用非负数的性质确定a2+b2的值．【解答】解：∵，∴（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，∴（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣8＝0，∴（a2+b2+4）（a2+b2﹣2）＝0，∴a2+b2+4＝0或a2+b2﹣2＝0，即a2+b2＝﹣4或a2+b2＝2，而a2+b2≥0，∴a2+b2的值为2．故答案为2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：娴熟驾驭二次根式的性质是解决此类问题的关键．6．（恩施市期末）数a、b在数轴上的位置如图所示，化简＝﹣2．【分析】依据数a、b在数轴上的位置确定a+1，b﹣1，a﹣b的符号，再依据二次根式的性质进行开方运算，再合并同类项．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．【点评】解答此题要熟知确定值的性质：＝|a|＝7．（梧州一模）计算：（）2＝3．【分析】原式利用平方根的性质推断即可．【解答】解：原式＝3，故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，娴熟驾驭平方根性质是解本题的关键．三．解答题（共7小题）8．（庆元县校级月考）若实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式﹣|b﹣c|．​【分析】干脆利用数轴进而得出a+c＜0，b﹣c＞0，再化简得出答案．【解答】解：由图可得：a+c＜0，b﹣c＞0，则原式＝﹣a﹣c﹣（b﹣c）＝﹣a﹣b．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．9．（杭州模拟）阅读材料，解答问题．例：若代数式的值是常数2，则a的取