2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练40直线的方程

课时规范练40直线的方程基础巩固组1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的 ()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为 ()A.(-1,-3) B.(17,-9)C.(-1,3) D.(-17,9)3.已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4 B.21313 C.54.(多选)已知直线l:3x-y+1=0,则下列结论正确的是 ()A.直线l的倾斜角为πB.若直线m:x-3y+1=0,则l⊥mC.点(3,0)到直线l的距离为2D.过点(23,2),且与直线l平行的直线方程为3x-y-4=05.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0垂直,则这两条直线的交点坐标为()A.-25C.25,-6.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则a=,此时点P的坐标为.

7.已知正方形的两边所在直线的方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.

综合提升组8.已知点P是曲线y=x2-lnx上随意一点,则点P到直线x-y-2=0的最短距离为()A.3 B.332 C.29.(多选)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是 ()A.不论a为何值,l1与l2都相互垂直B.当a变更时,直线l1,l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)C.不论a为何值,直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M,则|MO|的最大值为210.若关于x,y的二元一次方程组mx+9y=m+611.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为2,则直线l的条数为.

12.已知直线x+my-2m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A,且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;(2)若直线l经过点A,且坐标原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.创新应用组13.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同始终线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=014.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.

①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43x;④直线y=2x+1参考答案课时规范练40直线的方程1.B由点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3,得|3×2+4×1+C|32+42=3,解得C=2.A设点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a,b),则a+32故所求点的坐标为(-1,-3).故选A.3.D因为直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,所以3m-12=0,解得m=4.直线方程6x+4y+1=0可转化为3x+2y+12=0,则两平行线之间的距离d=4.CD对于A,直线l:3x-y+1=0的斜率k=3,故直线l的倾斜角为π3对于B,因为直线m:x-3y+1=0的斜率k'=33,kk'=1≠-1,故直线l与直线m对于C,点(3,0)到直线l的距离d=|3×对于D,过点(23,2),且与直线l平行的直线方程为y-2=3(x-23),即3x-y-4=0,故D正确.故选CD.5.B依题意,2a·1+1×[-(a+1)]=0,解得a=1.由2x+故这两条直线的交点坐标为25,6.1(3,3)∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,∴a·1+1·(a-2)=0,解得a=1.由x+y-6=0,7.2由题意可知正方形的边长等于两条平行直线之间的距离,所以正方形的边长为22=8.D当过点P的切线与直线x-y-2=0平行时,点P到直线x-y-2=0的距离最短.因为y=x2-lnx,x>0,所以y'=2x-1x.令2x-1x=1,解得所以P(1,1),所以点P到直线x-y-2=0的最短距离d=|1-9.ABD对于A,因为a·1+(-1)·a=0恒成立,所以不论a为何值,直线l1与l2相互垂直恒成立,故A正确;对于B,易知直线l1恒过点A(0,1),直线l2恒过点B(-1,0),故B正确;对于C,在直线l1上任取点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入直线l2的方程x+ay+1=0,可知左边不恒等于0,故C不正确;对于D,由ax-y+1=0,x+ay+1=0所以|MO|=(-a-1a2+1)10.-3因为关于x,y的二元一次方程组mx+9y=m+6,x+my=m无解,所以直线mx+9y=m+6与直线经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3.11.4若直线l在两坐标轴上的截距为0,则设直线l的方程为y=kx(k≠0).由题意知|k-3|k2+1=2,解得k=1或若直线l在两坐标轴上的截距不为0,则设直线l的方程为x+y-a=0(a≠0).由题意知|1+3-a|12+12=2,解得a=2或a=6.故直线综上,直线l的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.故直线l的条数为4.12.解由x+my-2m-1=0,得x-1+m(y-2)=0,当x=1时,y=2,所以恒过定点A(1,2).(1)因为直线2x+y-5=0的斜率为-2,直线l与直线2x+y-5=0垂直,所以直线l的斜率为12.又直线l经过点A,所以直线l的方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0.由坐标原点到直线l的距离为1,得|2-k|所以直线l的方程为34x-y+2-34=0,即3x-4y+5=综上所述,直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.13.D∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0.∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,∴△ABC的欧拉线方程为214.②③①点M到直线