备考2025届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件与概率

第4讲随机事务与概率1.[命题点1/多选]从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的有（BCD）A.至少有一个黑球与都是黑球是互斥事务B.至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事务C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥事务D.至少有一个黑球与都是红球是对立事务解析解法一（列举法）设两个红球分别为a，b，两个黑球分别为1，2.则从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，全部可能的状况为{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，共6种.对于A，至少有一个黑球与都是黑球都包含事务{1，2}，故二者不是互斥事务，A错误；对于B，至少有一个黑球与至少有一个红球都包含事务{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，故二者不是互斥事务，B正确；对于C，恰好有一个黑球包含事务{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，恰好有两个黑球包含事务{1，2}，故二者是互斥事务，C正确；对于D，至少有一个黑球包含事务{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，都是红球包含事务{a，b}，故二者是对立事务，D正确.故选BCD.解法二从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，设取出的黑球个数为X，则取出的红球个数为2－X，X的全部可能取值为0，1，2.对于A，“至少有一个黑球”对应X≥1，即X＝1或X＝2，“都是黑球”对应X＝2.明显当X＝2时，两个事务同时发生，故A错误.对于B，“至少有一个黑球”对应X≥1，即X＝1或X＝2，“至少有一个红球”对应2－X≥1，即X≤1，即X＝0或X＝1，明显当X＝1时，两个事务同时发生，故B正确.对于C，“恰好有一个黑球”对应X＝1，“恰好有两个黑球”对应X＝2，明显二者不能同时发生，是互斥事务，故C正确.对于D，“至少有一个黑球”对应X≥1，即X＝1或X=2，“都是红球”对应2－X＝2，即X＝0，明显二者不能同时发生，且二者的并事务包含X的全部取值，故两事务是对立事务，故D正确.2.[命题点2/北京高考]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）解析（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为502000＝（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722000＝（3）增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率.3.[命题点3/2024济南3月模拟]从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（C）A.310 B.12 C.35 解析如图所示，正六边形ABCDEF的外接圆为圆O，则AD，BE，CF均为圆O的直径.从正六边形的6个顶点中任取3个顶点，共有C63＝20（种）等可能结果.取定A，D两点时，在B，C，E，F中任取一个点均可构成直角三角形，即此时可构成4个直角三角形；同理，当取定B，E两点或取定C，F两点时，均可构成4个直角三角形.故共可构成4×3＝12（个）直角三角形.所以所得三角形是直角三角形的概率P＝1220＝34.[命题点3/多选]某次数学考试对多项选择题的要求是：在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ABC）A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是1B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是1C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是1D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是1解析对于A，甲同学仅随机选择一个选项，有四种方式，即A，B，C，D，能得2分的选项为C，D，概率为12对于B，乙同学可能选择的状况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，仅在选CD时才能得5分，概率为16对于C，丙同学可能选择的状况有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共15种，能得分的状况有C，D，CD，共3种，故丙同学能得分的概率为315＝1对于D，丁同学可能选择的状况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11种，能得分的状况只有CD1种，故丁同学能得分的概率为111.故选5.[命题点4/全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现