高三高考数学一轮课时练习：已知线线角求其他量

2025届高三高考数学一轮课时练习：已知线线角求其他量一、单选题1．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（

）A．1 B． C． D．2．如图，已知点在正方体的对角线上，设，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（

）A．或 B．4 C． D．或44．在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，是的中点，是棱上一点（不含端点），满足．若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（

）A．2 B．4 C．6 D．86．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（

）A． B． C． D．7．在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（

）A．1 B． C． D．8．已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（

）A．2 B． C．4 D．19．如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则（

）A． B． C．1 D．10．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(

)A．​ B．2 C．​ D．​二、多选题11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（

）A． B． C． D．12．在三棱柱中，是边长为的等边三角形，侧棱长为，则（

）A．直线与直线之间距离的最大值为B．若在底面上的投影恰为的中心，则直线与底面所成角为C．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线与所成的角为D．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为13．在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（

）A． B．1 C． D．14．点M是正方体中侧面正方形内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（

）A．若N为中点，满足的点M的轨迹长度为B．不存在点M，使得直线平面C．若E是棱上靠近的三等分点，平面与平面所成锐二面角的正切值为D．在线段上只存在一点，使异面直线与CD所成的角是三、填空题15．在空间直角坐标系中，向量分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为则16．设动点在棱长为的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是．17．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为.18．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA和EF所成的角的大小为30°，则线段AF长的取值范围是.四、解答题19．如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．如图，在长方体中，为中点，．(1)求；(2)求二面角的正弦值．21．在直三棱柱中，，，M为的中点，．

(1)求的长；(2)求二面角的余弦值．22．如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且．(1)求的长；(2)求锐二面角的余弦值．答案：1．A【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可.【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设，则，所以，解得(负值舍去).故选：A．2．C【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.写出的坐标，根据向量夹角的坐标表示计算可得.【详解】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，所以，所以，因为，所以，整理得，解得或，由题可知，所以.故选：C3．D【分析】根据空间向量基本定理，以向量，，为基底表示向量，利用向量的模厂，计算空间两点间距离.注意异面直线所成角.【详解】以向量，，为基底，由题知，，，，，，或，则，当时，，，当时，，．故选：D4．C【分析】先根据条件建立合适空间直角坐标系，然后表示出点坐标，利用向量法表示出异面直线所成角的余弦值，求解出的倍数关系则可知.【详解】取中点，连接，因为四边形是菱形，，所以均为等边三角形，又因为为中点，所以，又因为，所以，以为坐标原点，以方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：设，所以，设，所以，所以，所以，，所以，化简可得，所以，所以，所以，所以，故选：C.5．D【分析】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解．【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系．设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，，设，其中，则，由已知可得，则，因为，故的取值为，，，，即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4，因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8．故选：D．6．B【分析】根据线面垂直的性质证DP，DC，DA两两互相垂直，构建空间直角坐标，并求直线MN与BD的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数.【详解】因为平面，平面，平面，所以，．因为底面为矩形，所以．所以DP，DC，DA两两互相垂直．以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，．所以，．因为，所以，则．设直线MN与BD所成角为，则．因为，则，化简得，即，解得或（舍去）．故选：B7．A【分析】建立空间直角坐标，设，，表示出，，依题意，即可得到方程，解得即可.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，设，，则，，因为，所以，解得.故选：A8．C【分析】以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设，则，，，，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即.故选：C.9．B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，.因为，所以，解得，即.故选：B10．B【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，解得，故．故选：B．11．AB【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长的取值范围．【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设，因为与为异面直线，所以，，，则，异面直线与成的角，，，，，解得，，线段长的取值范围是．故选：AB．12．AD【解析】建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图示，以A为原点，为y轴正方向，为x轴正方向，过A点垂直于面ABC的向上方向为z轴正方向建系，则设所以对于A:设为直线与直线的公垂线的方向向量，则有：，即解得：设直线与直线之间距离为d，则，即，故A正确；对于B：若在底面上的投影恰为的中心，则底面法向量，设直线与底面所成角为θ，则：，故B错误；对于C：三棱柱的侧棱垂直于底面时，则则设异面直线与所成的角为θ，则,故C错误；对于D：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O为上下底面中心DD1连线的中点,所以外接球的半径，所以.故D正确故选：AD【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.13．AC【分析】过作与平行的直线为轴，取BD的中点O，根据条件可得平面BCD，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则又平面平面BCD，且平面平面所以平面BCD，由过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，，所以．设，则，，则，解得或，故或．故选：AC14．AC【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据空间向量垂直的坐标系形式结合各选项中的条件分别计算后可判断各选项的正误.【详解】在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，则，故.对于A，设，故，又，因为，故，故轨迹为正方形内的一条线段，令，则，令，则，故轨迹（线段）为原点与中点的连线，故轨迹长度为，故A正确.对于B，，设平面的法向量为，故，取，则，故，又，若直线平面，则，故，结合在正方形内，故上的点即为线段（除去两个端点），故B错误.对于C，，，设平面的法向量为，故，取，则，故.又平面的法向量为，故，因为，故，故，故平面与平面所成锐二面角的正切值为，C正确.对于D，因为在线段，故结合B的讨论可得，而，故，而异面直线与CD所成的角是，故，整理得到：，结合可得或，此时均不在正方形内，故D错误.故选：AC.15．【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可.【详解】设，所成角为，则，解得.故答案为：.16．【分析】建立空间直角坐标系，求得，根据求得的取值范围.【详解】由题设可知，以为坐标原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，则，得，所以，，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是.故答案为：

17．/【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值.【详解】连接交于点，平面，平面，则，因为四边形为菱形，则，，、平面，平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，易知平面的一个法向量为，因为平面，所以，，设点，其中，则，由已知可得，因为，解得，即点，设点，则，因为，则，可得，且，可得，所以，点，因为平面，、平面，，，且，所以，.故答案为：.18．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，结合二次函数的性质求得长的取值范围.【详解】设是的中点，则，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设；设，则，设与所成角为，则，，整理得，函数的开口向下，对称轴为，所以函数在上递增，所以，所以的取值范围是.故答案为：19．(1)(2)【分析】（1）建系，设，利用空间向量结合异面直线夹角运算求解；（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）由题意可知：平面，且，如图，以为坐标原点，为轴所在直线建立空间直角坐标系，设，则，可得，由题意可得：，解得，所以.（2）由（1）可得：，设平面的法向量，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)(2)【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，所以，，因为，所以，解得（负值舍去），所以.（2）由（1）可得，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，设二面角为，所以，所以，即二面角的正弦值为.21．(1)4(2)【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的夹角公式即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与二面角的关系即可求解.【详解】（1）以C为原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，，，所以，，故，即，解得．所以.（2