2024年高中数学专题1-2重难点题型培优检测空间向量及其线性运算教师版新人教A版选择性必修第一册

专题1.2空间向量及其线性运算一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）已知a→A．与a→共面的单位向量有多数个B．与a→垂直的单位向量有多数个C．与a→平行的单位向量只有一个D．与a→【解题思路】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行推断，即可确定每个选项的正确性．【解答过程】解：与a→共面的单位向量，方向可随意，所以有多数个，故A与a→垂直的单位向量，方向可随意，所以有多数个，故B与a→平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C与a→同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D故选：C．2．（3分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为ACA．AA1→+C．AB→+B【解题思路】可先画出正方体，依据图形及相等向量、向量加法的集合意义即可化简每个选项，从而得出正确答案．【解答过程】解：如图，A.AA1B.AB→C.AB→D.AB1→∴B正确．故选：B．3．（3分）若空间四点M、A、B、C共面且OA→+2OBA．1 B．2 C．3 D．6【解题思路】化简可得OM→=1【解答过程】解：依题意OM→由四点共面，则系数和1k+2k+故选：D．4．（3分）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则DA→A．DE→ B．ED→ C．DC→【解题思路】干脆利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则AE→=1所以DA→故选：D．5．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设AB→=aA．-12a→-12b→【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可．【解答过程】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，∴B1M→=B故选：C．6．（3分）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，BC→=3CEA．AB→+13C．AB→+1【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵BC→∴D==AB故选：A．7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：①（AB→+BC②（AA1→③（AB→+D④（AD1→其中运算结果为向量ACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】结合图形，对每一个算式进行推断即可．【解答过程】解：∵①（AB→+BC②（AA1③（AB→+DD1→）④（AD1→∴以上4个算式运算的结果都是向量AC故选：D．8．（3分）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→A．﹣3 B．-13 C．3 D【解题思路】由m→∥n→，可得n→=λ【解答过程】解：m→n→=x(a→+b→)-y(b→+c→因为m→∥n→，所以即x+3=λx所以xy=故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为ACA．AB→+AD→C．AB→+C【解题思路】利用向量的线性表示分别求出各选项中的向量即可推断．【解答过程】解：AB→+ADAA1→AB→+CAA→1+故选：BD．10．（4分）如图正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则下列向量相等的是（）A．DO→与BO→ B．AC→与DB→ C．AD→与B【解题思路】依据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次推断选项即可．【解答过程】解：由正四棱柱可知，A：|DO→|=|BO→B：|AC→|=|DB→C：|AD→|=|B→D：|A1B→|=|D1故选：CD．11．（4分）若向量{a→，b→，cA．a→+b→，a→-b→，a→+C．a→-b→，c→，a→+b→【解题思路】干脆利用向量的基底和向量的线性运算的应用推断A、B、C、D的结论．【解答过程】解：对于A：由于向量{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，且满足a对于B：由于a→-b对于C：由于a→+b对于D：由于a→-2故选：ABD．12．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（）A．OA→+ODB．OB→-OCC．OA1→D．OA→+【解题思路】可画出图形，依据图形即可推断每个选项的两向量是否互为相反向量．【解答过程】解：如图，依据图形可看出：选项A，D的两向量互为相反向量；OB→-OC→=CB→，OA1→-OD1→故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量OA→，OB→，OC→表示向量AD→的表达式为【解题思路】依据向量的线性运算求出向量AD→【解答过程】解：结合图像得：AD==OB→-=-故答案为：-OA14．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，若MN→=aAB→+bAD→+cAA1→，则a【解题思路】利用向量加法公式干脆求解．【解答过程】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，MN==-∵MN→=aAB→+b∴a=-12，b=12∴a﹣b﹣c＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（4分）设e1→，e2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e1→-e2→，BC→=3e【解题思路】先由AC→=AB→+BC→求出AC→，在依据A，C，D三点共线，得到AC→∥【解答过程】解：∵AB→=2e1→-∴AC→又∵A，C，D三点共线，∴AC→∴2﹣5k＝0，∴k=2故答案为：2516．（4分）对于空间随意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是①③（填序号）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【解题思路】由空间共线向量定理即可求解．【解答过程】解：对于①，∵OP→=OA→+∴OP→-OA→=tAB→（t≠0∴点P、A、B共线，故①正确；对于②，∵5OP→=OA→+AB→，∴P、O、B共线，点P、A、B不愿定共线，故②错误；对于③，∵OP→=OA→+AB→（t≠0），∴AP→=-tAB→（t≠0），∴AP→，AB→对于④，∵OP→=-OA∴OP→=-2∴BP→=-2OA→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、故选：①③．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：（1）AB→（2）AB→（3）12【解题思路】干脆利用相等向量以及向量的加法和减法进行转化即可．【解答过程】解：（1）AB→（2）AB→（3）1218．（6分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【解题思路】法一：分别求出EF→，FB法二：求出EF→=23FB→，结合EF∩FB＝F，从而证明【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB，A1B．因为A1E→所以EF==2FB==3明显，EF→=2又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．【方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB．由题意，A1E→易得EF→所以EF→∥FB→．又EF∩FB＝F，故E，19．（8分）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心．（1）求证：OA→（2）化简：SA→【解题思路】（1）依据O为△ABC的重心，用AB→、AC→、BC→表示OA→、（2）依据空间向量的线性表示与运算法则，计算即可．【解答过程】（1）证明：因为O为△ABC的重心，所以OA→=-AO→=-23同理OB→=-OC→=-所以①+②+③得OA→（2）解：因为CO→所以SA=CA20．（8分）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→=kAC1→，BN→=kBC→（0≤k≤【解题思路】利用向量的线性运算即可推断向量MN→是否与向量AB→，【解答过程】解：∵AN→=AB→+BN→=AB→+kAM→=kAC1∴MN→=AN→-AM→∴向量MN→与向量AB→，21．（8分）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N=14C1B，设MN→=xAB→+yAD→+z【解题思路】干脆利用向量的加法和线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N=14C1依据向量的运算：MN→故x=122．（8分）如图，在正方体ABCD﹣A1