高三数学二轮培优微专题36讲35.新高考视角下的全概率与贝叶斯公式

新高考视角下的全概率与贝叶斯公式一．基本原理1．全概率公式在全概率的实际问题中我们常常会遇到一些较为困难的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为简洁的状况分别进行考虑一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事务，，且，i＝1，2，…，n，则对随意的事务，有.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．2.贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事务，，且，i＝1，2，…，n，则对随意事务，，有，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．二．典例分析例1.（2024长沙新高考适应性考试）为了调动大家主动学习党的二十大精神，某市举办了党史学问的竞赛．初赛接受“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参与两轮竞赛，两轮竞赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与其次轮竞赛的概率分别是，，乙小组通过第一轮与其次轮竞赛的概率分别是，，且各个小组全部轮次竞赛的结果互不影响.（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最终一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题假如被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．解析：（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事务则，由题意可得，的取值有，，所以设表示事务“该单位的某小组对最终一道题回答正确”，表示事务“甲小组抢到最终一道题”，表示事务“乙小组抢到最终一道题”，则有：，则该题假如被答对，恰好是甲小组答对即为点评：本题其次问即考察了全概率公式与贝叶斯公式，后者虽然不做高考要求，但是可以看到，它实际就是条件概率的应用，完全可以现场依据详细状况得出.再举一道贝叶斯公式的例子例2．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；假如这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______．解析：设事务A表示“乘火车”，事务B表示“乘轮船”，事务C表示“乘飞机”，事务D表示“迟到”，则，，，，，，，由全概率公式得：；假如这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：.故答案为：0.4；0.3三．全概率公式与随机游走虽然贝叶斯公式不做要求，但是全概率公式已经是新高考考查内容了，利用全概率公式，我们可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.进一步，我们假设在与处各有一个吸取壁，当点到达吸取壁时被吸取，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种状况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么依据全概率公式可得：有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2024年全国1卷中的应用.例3.（2024全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验起先时都赐予4分，表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．（i）证明：为等比数列；（ii）求，并依据的值说明这种试验方案的合理性．解析：（1）由题意可知全部可能的取值为：，，；；则的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以为首项，为公比的等比数列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理.注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也干脆把给出，并没有让考生推导这个递推关系，事实上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模型.例4．足球是一项大众宠爱的运动.2024卡塔尔世界杯揭幕战将在2024年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记起先传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．（1）求（干脆写出结果即可）；（2）证明：数列为等比数列，并推断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．解析：（1）由题意得：其次次触球者为乙，丙，丁中的