安徽省合肥市重点中学2024-2025学年高二数学上学期期中联考试题含解析_第1页
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文档简介

Page20一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若直线的倾斜角满意,且,则其斜率满意()A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】依据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.【详解】斜率,因为,且,故或,即或,故选:C.【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系,一般地,假如直线的倾斜角为,则当时,直线的斜率不存在,当时,斜率.2.直线过点且与直线垂直,则的方程为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率,然后利用点斜式可写出直线的方程,化为一般式可得出答案.【详解】直线的斜率为,则直线的斜率为,因此,直线的方程为,即.故选:A.【点睛】本题考查垂线方程的求解,一般要求出直线的斜率,也可以利用垂直直线系方程来求解,考查计算实力,属于基础题.3.已知,,是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基底的定义,逐项推断作答.【详解】向量是不共面的三个向量,对于A,,则向量共面,A不能构成空间基底;对于B,,则向量共面,B不能构成空间基底;对于D,,则向量共面,D不能构成空间基底;对于C,假定向量共面,则存在不全为0的实数,使得,整理得,而向量不共面,则有,明显不成立,所以向量不共面,能构成空间的一个基底,C能构成空间基底.故选:C4.在平行六面体中,向量是()A.有相同起点的向量 B.等长的向量C.共面对量 D.不共面对量【答案】C【解析】【分析】依据空间向量的概念和共面定理推断.详解】如图所示:向量明显不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又因为,所以共面,C正确,D不正确.故选:C5.如图,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度为A14米 B.15米 C.米 D.米【答案】D【解析】【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得:A(6,﹣2),设圆的半径为r,则C(0,﹣r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2,将A的坐标代入圆的方程可得r=10,所以圆的方程是:x2+(y+10)2=100则当水面下降1米后可设A′的坐标为(x0,﹣3)(x0>0)代入圆的方程可得x0,所以当水面下降1米后,水面宽为2米.故选:D.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且则m,n的值分别为()A.,- B.-,- C.-, D.,【答案】A【解析】【分析】干脆利用向量的线性运算化简得,比较系数得.【详解】由于,所以.故选:A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理,意在考查学生对这些学问的驾驭水平和分析推理实力.7.四棱锥中,,则这个四棱锥的高为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出平面的法向量,计算法向量与的夹角得出与平面的夹角,从而可求出到平面的距离.【详解】解:设平面的法向量为,,,则,,令可得,,即,2,,,设与平面所成角为,则,于是到平面的距离为,即四棱锥的高为.故选:.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用,属于基础题.8.已知⊙M:,直线:,为上的动点,过点作⊙M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可推断直线与圆相离,依据圆的学问可知,四点共圆,且,依据可知,当直线时,最小,求出以为直径的圆的方程,依据圆系的学问即可求出直线的方程.【详解】圆的方程可化为,点到直线的距离为,所以直线与圆相离.依圆的学问可知,四点四点共圆,且,所以,而,当直线时,,,此时最小.∴即,由解得,.所以以为直径的圆的方程为,即,两圆的方程相减可得:,即为直线的方程.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化实力和数学运算实力,属于中档题.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.直线必过定点B.直线在y轴上的截距为C.直线的倾斜角为D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为【答案】AC【解析】【分析】干脆利用直线的方程,直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项推断即可得结论.【详解】对于A:直线,整理得,所以该直线经过点,故A正确;对于B:直线,令,解得,故直线在y轴上的截距为2,故B错误;对于C:直线,所以直线的斜率,所以,由于故,故C正确;对于D:直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,则,所以直线的斜率为,故D不正确.故选:AC.10.已知,,,则下列结论正确的是()A. B.C.为钝角 D.在方向上投影向量为【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直,平行的坐标关系推断A,B,依据向量夹角公式推断C,依据投影向量和投影数量的关系计算求解推断D.【详解】因为,所以,不垂直,A错,因为,所以,B对,因为,所以,所以不是钝角,C错,因为在方向上的投影向量,D对,故选:BD.11.圆C:,直线,点P在圆C上,点Q在直线l上,则下列结论正确的是()A.直线l与圆C相交B.的最小值是1C.若P到直线l的距离为2,则点P有2个D.从Q点向圆C引切线,则切线段的最小值是3【答案】BCD【解析】【分析】对于A:求出圆心到直线的距离,即可推断直线与圆相离;对于B:利用几何法求出的最小值,即可推断;对于C:设直线m与l平行,且m到l的距离为2.求出m的方程,推断出直线m与圆C相交,有两个交点,即可推断;对于D:依据图形知,过Q作QR与圆C相切于R,连结CR.要使切线长最小,只需最小.利用几何法求出切线段的最小值,即可推断.【详解】对于A:由圆C:,得圆C的标准方程为,圆心到直线的距离,所以直线与圆相离.故A错误;对于B:圆心到直线的距离,所以的最小值为.故B正确;对于C:设直线m与l平行,且m到l的距离为2.则可设.由,解得:或.当时,直线,圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相交,有两个交点,且这两个点到直线l的距离为1.当时,直线,圆心到直线的距离,所以直线m与圆C相离,不合题意.综上所述,圆上到直线l的距离为1的点有且只有2个.故C正确.对于D:依据图形知,过Q作QR与圆C相切于R,连结CR.则切线长.要使切线长最小,只需最小.点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离d=5,由勾股定理得切线长的最小值为,故D正确.故选:BCD12.如图,在棱长为1的正方体中()A.AC与的夹角为B.三棱锥外接球的体积为C.与平面所成角的正切值D.点D到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用坐标法逐项推断即得.【详解】如图建立空间直角坐标系,则,对于A,,则,即,所以AC与的夹角为,故A错误;对于B,三棱锥外接球与正方体的外接球相同,又正方体的外接球的直径等于体对角线的长,所以三棱锥外接球的半径为,所以三棱锥外接球的体积为,故B正确;对于C,设平面的法向量为,,所以,令,得到,,则,因为,设与平面所成角为,则,则,故C正确;因为,设点D到平面的距离为d,则,故D正确.故选:三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若实数x、y满意x2+y2+4x-2y-4=0,则的最大值是____.【答案】+3【解析】【详解】将方程x2+y2+4x-2y-4=0化为,表示以为圆心,半径为3的圆,表示圆上的点与原点之间的距离,简洁推断原点(0,0)在圆内,且原点与圆心之间的距离为,所以的最大值为.点睛:本题主要考查圆内的点与圆上的点之间的距离最大值问题,属于中档题.本题留意数形结合,将代数问题转化为几何问题求解.14.如图,在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,若,且,则的长为_________.【答案】【解析】【详解】试题分析:因为,所以,即,故.15.已知矩形,,,沿对角线将折起,若二面角的大小为,则,两点之间的距离为______.【答案】【解析】【分析】过分别作由题意可求得由二面角的大小为,得到再利用可求得结果.【详解】过分别作则二面角的大小为,,则,即两点间的距离为.故答案为:.16.瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:随意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点,,其欧拉线方程为,则顶点的坐标可以是_________【答案】或【解析】【分析】设,依题意可确定的外心为,可得出一个关系式,求出重心坐标,代入欧拉直线方程,又可得出另一个关系式,解方程组,即可得出结论.【详解】设的垂直平分线为,的外心为欧拉线方程为与直线的交点为,∴①由,,重心为,代入欧拉线方程,得②由①②可得或.故答案:或.【点睛】本题以数学文化为背景,考查圆的性质和三角形的外心与重心,考查逻辑思维实力和计算实力,属于较难题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间向量,,.(1)若,求;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用空间向量共线定理,列式求解x的值,由向量模的坐标运算求解即可;(2)利用向量垂直的坐标表示,求出x的值,从而得到,由空间向量的夹角公式求解即可.【详解】解:(1)空间向量,,,因为,所以存在实数k,使得,所以,解得,则.(2)因为,则,解得,所以,故.18.已知ABC的顶点,AB边上的中线CM所在直线方程为,AC的边上的高BH所在直线方程为.(1)求顶点C的坐标;(2)求直线BC的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设,利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解;(2)设,利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解;【小问1详解】解:设,∵AB边上的中线CM所在直线方程为,AC边上的高BH所在直线方程为.∴,解得.∴.【小问2详解】设,则,解得.∴.∴.∴直线BC的方程为,即为.19.已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆C的方程;(2)过点的作圆C的切线,求切线方程.【答案】(1);(2)和.【解析】【分析】(1)由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程;(2)分类探讨,检验斜率不存在的直线是否为切线,斜率存在时设出切线方程,由圆心到切线的距离等于半径得结论.【小问1详解】由题意,圆半径不,所以圆方程为;【小问2详解】易知过点斜率不存在的直线是圆的切线,再设斜率存在的切线方程为,即,,解得,直线方程为,即.所以切线方程是和.20.如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,E为棱PD的中点.(1)证明:;(2)求直线AE与平面PBD所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)依据线面垂直的性质与判定,证明平面即可;(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面夹角即可.【小问1详解】因为底面,平面,故.又为正方形,故.又,平面,故平面.又平面,故.【小问2详解】以为坐标原点,,,分别为,,轴建立如图空间直角坐标系.设,则,,,,.,,.设平面的法向量,则,即,设则.设直线AE与平面PBD所成角为,则.21.如图,在直四棱柱中,底面为菱形,,,,为棱上一点,,过,,三点作平面交于点.(1)求点到平面的距离;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)如图所示建立空间直角坐标系,确定各点坐标,依据得到,确定平面的法向量,再利用点到平面的距离公式计算得到答案.(2)确定平面与平面的法向量,再依据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图所示:取为中点,为菱形,,则,故,,,以,,为轴建立空间直角坐标系,则,,,,,设,则,即,故,解得,故,设平面的法向量为,则,取,得到,点到平面的距离为.【小问2详解】设平面的法向量为,则,取,得到;设平面的法向量为,则,取,得到;平面与平面夹角为锐角,余弦值为.22.在平面直角坐标系xOy中,圆C的圆心在直线x+y-3=0上,圆C经过点A(0,4),且与直线3x-4y+16=0相切.(1)求圆C的方程;(2)设直线l交圆C于P,Q两点,若直线AP,AQ的斜率之积为2,求证:直线l过一个定点,并求出该定点坐标.【答案】(1)(x-3)2+y2=25;(2)证明见解析,定点为.【解析】【分析】(1)由圆心在直线上,可设圆心坐标C(a,3-a),由圆心到切线的距离等于半径列方程解得后可得圆方程;(2)分类探讨,直线斜率不存在时,设,,x0≠0,由已知求出x0,但此直线与圆无交点,不合题意;直线l的斜率存在.设直线l的方程y=kx+t(t≠4),,,把已知用坐标表示出来,记为①式,由直线与圆相交,直线方程与圆方程联立,消元后应用韦达定理得,代入①式,得出的关系式,代入直线方程整理可得直线过定点的坐标.【详解】(1)因为圆心C在直线x+y-3=0上,所以设C(a,3-a),因为圆C经过点A(0,4)

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