2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高一上学期9月月度质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一上学期9月月度质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2.设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗,因为，当时，，当时，即时，令，解得，则或，则对应实数的值为，则实数a组成的集合的元素有3个，所以实数a组成的集合的真子集个数有，故选：C.3.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得到，又不等式的一个充分条件为，所以，故选：C.4.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对A，取，显然不成立，故A错误；对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；对C，取时，由可得，故C错误；对D，时，显然，故D错误.故选：B.5.若，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.故选：A.6.若正实数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又为正实数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.7.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立，综上，，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C.8.设，在上恒成立，则最大值（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗①当时，，，不成立，②当时，恒成立，则恒成立，即，解得：，此时的最大值是；③当时，恒成立，则，恒成立，即的最大值是；④当时，恒立，则恒成立，即，恒成立，，解得：，此时的最大值是.综上可知，的最大值是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（）A.存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B.集合是“和谐集”C.若都是“和谐集”，则D.对任意两个不同的“和谐集”，总有〖答案〗ABC〖解析〗A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项正确；B项中，设，则，所以集合是“和谐集”，故B项正确；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项正确；D项中，取都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项错误．故选：ABC．10.设正实数x，y满足，则（

）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值为 D.的最小值为2〖答案〗BC〖解析〗对于A，，，当且仅当，即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.11.已知，，且，则下列不等式一定成立的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，因为，，且，所以由基本不等式可得，则，当且仅当时，“=”成立，A正确；对于选项B，因为，所以，则，B正确；对于选项C，因为，所以，当且仅当时，“=”成立，C错误；对于选项D，令，，则，则，由基本不等式可得，，当且仅当时，结合，即“=”成立，故D正确，故选：ABD.12.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（）A.设，则为的二划分B.设，则为的二划分C.存在一个的二划分，使得对于；对于D.存在一个的二划分，使得对于，则；，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由于，故，不是的二划分，A错误；对于B，，，显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式，其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，，故可得，故B正确；对于C，存在满足，对于；对于，C正确；对于D，选项B中集合，使得对于，则；，比如取3，5，则，D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合________.〖答案〗〖解析〗集合中所有三个元素的子集中，每个元素均出现3次，所以，故，所以不妨设，，，，所以，，，，所以集合.故〖答案〗为：.14.若对，使得成立，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由，得．由题意可得，使得成立，即，使得成立．，当且仅当时等号成立，故．故〖答案〗为：.15.已知a，b为正实数，满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗为正实数，满足，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.16.设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求=________；〖答案〗〖解析〗由可得，所以，因为，所以，若，因为，所以，所以，，，故所以，若则，可得或与矛盾，所以此时不成立，若，则，所以，所以，所以即显然，可得或，因为与矛盾，所以，，此时，，所以，由题意知：，即，解得或（舍）综上所述：，，所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，解得或，所以集合（2）由，得.当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，要使，则，即，即，所以，该方程组无解.综上：实数的取值范围是.18.已知集合，求证：（1）；（2）偶数不属于.解：（1）因为，所以.（2）因为，，，当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数；当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数.显然都不满足，所以.19.设.（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数取值范围；（2）已知解关于的不等式解：（1）由对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，当时，，不满足题意；当时，则满足，解得，综上所述，实数取值范围为.（2）由不等式，即，方程的两个根为，①当时，不等式的解集为②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，解集为.20.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为．（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低?（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），则屋子前面新建墙体长为，则即，当且仅当，即时，等号成立，故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（2）由题意可知，当对任意的恒成立，即，所以，即，，当，，即时，的最小值为12，即，所以取值范围是.21.有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质.（1），，判断集合，是否具有性质，并说明理由；（2）设集合，且（），若集合具有性质，求的最大值.解：（1）集合不具有性质，集合具有性质.因为，，所以，，则集合不具有性质，所以，，则集合具有性质.（2），且，，要使取最大，则，，当时，，则不具有性质，要使取最大，则，，当时，，则不具有性质，当时，，则不具有性质，当时，则具有性质，则使得取最大，可得，若集合具有性质，则的最大值为6056.22.若存在常数，使得函数与在给定区间上的任意实数都有，，则称是与的分隔直线函数．当时，被称为双飞燕函数，被称为海鸥函数．（1）当时，取．求的解集；（2）判断：当时，与是否存在着分隔直线函数．若存在，请求出分隔直线函数〖解析〗式；若没有，请说明理由．解：（1），时，，可化为，即，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或.（2）若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；若，，当时，恒成立，恒成立，则是与的分隔直线函数；综上所述，与的分隔直线函数〖解析〗式为.重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一上学期9月月度质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2.设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（）A.2 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗,因为，当时，，当时，即时，令，解得，则或，则对应实数的值为，则实数a组成的集合的元素有3个，所以实数a组成的集合的真子集个数有，故选：C.3.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得到，又不等式的一个充分条件为，所以，故选：C.4.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对A，取，显然不成立，故A错误；对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；对C，取时，由可得，故C错误；对D，时，显然，故D错误.故选：B.5.若，，，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.故选：A.6.若正实数满足，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又为正实数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.7.已知正实数a，b满足，则的最小值为（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立，综上，，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C.8.设，在上恒成立，则最大值（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗①当时，，，不成立，②当时，恒成立，则恒成立，即，解得：，此时的最大值是；③当时，恒成立，则，恒成立，即的最大值是；④当时，恒立，则恒成立，即，恒成立，，解得：，此时的最大值是.综上可知，的最大值是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”．则下列说法中为正确题的是（）A.存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B.集合是“和谐集”C.若都是“和谐集”，则D.对任意两个不同的“和谐集”，总有〖答案〗ABC〖解析〗A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项正确；B项中，设，则，所以集合是“和谐集”，故B项正确；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项正确；D项中，取都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项错误．故选：ABC．10.设正实数x，y满足，则（

）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值为 D.的最小值为2〖答案〗BC〖解析〗对于A，，，当且仅当，即，时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC.11.已知，，且，则下列不等式一定成立的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，因为，，且，所以由基本不等式可得，则，当且仅当时，“=”成立，A正确；对于选项B，因为，所以，则，B正确；对于选项C，因为，所以，当且仅当时，“=”成立，C错误；对于选项D，令，，则，则，由基本不等式可得，，当且仅当时，结合，即“=”成立，故D正确，故选：ABD.12.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（）A.设，则为的二划分B.设，则为的二划分C.存在一个的二划分，使得对于；对于D.存在一个的二划分，使得对于，则；，则〖答案〗BCD〖解析〗对于A，由于，故，不是的二划分，A错误；对于B，，，显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式，其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，，故可得，故B正确；对于C，存在满足，对于；对于，C正确；对于D，选项B中集合，使得对于，则；，比如取3，5，则，D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合________.〖答案〗〖解析〗集合中所有三个元素的子集中，每个元素均出现3次，所以，故，所以不妨设，，，，所以，，，，所以集合.故〖答案〗为：.14.若对，使得成立，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗由，得．由题意可得，使得成立，即，使得成立．，当且仅当时等号成立，故．故〖答案〗为：.15.已知a，b为正实数，满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗为正实数，满足，，，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.16.设整数集，，且，若，满足，的所有元素之和为，求=________；〖答案〗〖解析〗由可得，所以，因为，所以，若，因为，所以，所以，，，故所以，若则，可得或与矛盾，所以此时不成立，若，则，所以，所以，所以即显然，可得或，因为与矛盾，所以，，此时，，所以，由题意知：，即，解得或（舍）综上所述：，，所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，解得或，所以集合（2）由，得.当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，要使，则，即，即，所以，该方程组无解.综上：实数的取值范围是.18.已知集合，求证：（1）；（2）偶数不属于.解：（1）因为，所以.（2）因为，，，当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数；当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数.显然都不满足，所以.19.设.（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数取值范围；（2）已知解关于的不等式解：（1）由对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，当时，，不满足题意；当时，则满足，解得，综上所述，实数取值范围为.（2）由不等式，即，方程的两个根为，①当时，不等式的解集为②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，解集为.20.中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，