高中数学必修二 期中模拟试题（三）（含答案）

2020-2021学年高一数学下学期期中

模拟试题（三）

选择题

1.已知A(-2,l),8(3,—2)两点，且A户=4/喑，则点尸的坐标为

A.(2,1)B.((2)C.(2,-1)D.(-(2)

【答案】C

【解析】设P(x,y)，则A户=(x+2,y-l),PB=(3-x,-2-y),

A户=4/勿，

(x+2,y-l)=4(-3-x,-2-y),即(x+2,y-l)=(12-4x,-8-4y),

[x+2=12-4x

故"！，

[y-l=-8-4y

7

解得x=2>y=—，

5

7

所以尸(2,-g).

故选C.

2.设复数z满足(1—i)z=l+i,则z等于

A.-iB.iC.-2/D.2i

【答案】B

1+Z(1+0(14-0l+2i+/2i.

【解析】由（l—i）z=l+i,得Z=----=-----------------——=i,

l-z(1-0(1+/)12+122

故选B.

3.若复数Z满足Z(l—i)=l+i,i为虚数单位，则Z239=

A.-2zB.iC.-iD.2i

【答案】C

【解析】由z(l-i)=l+i,得2=^^=―——=i,

l-z(l-i)(l+i)

.,.Z-2019=I«2019=I*4x504+3=-I•.

故选c.

1+严21

4.设复数2=------,则Z的虚部是

2-z

3.

A.-B.c.-D.-

5555

【答案】A

1./2O211+i(l+i)(2+i)13.

【解析】复数z=*-：=---=----------=—1—i>

2-i2-i(2-0(2+/)55

5

故选A.

5.若单位向量a,B满足|22+B|=2加，则向量4，5夹角的余弦值为

3333

A.-B.-C.--D.--

4545

【答案】A

【解析】根据题意，设向量a,5夹角为0,

若单位向量a,B满足I2d+6h=2近，

则有.(21+5)2=+£+44•6=5+4cos<9=8,

则有cos，=3,

4

故选A.

6.已知矩形ABCD中，AB=3,AD=4,£为AB上的点，且看2=2丽，/为BC的中点，则不户

A.—2B.—5C.—6D.—8

【答案】B

【解析】以点5为坐标原点，8C所在直线为x轴，R4所在直线为y轴，距离如图所示的直角坐标系,

则8(0,0),A(0,3),0(4,3).E(0,2),F(2,0),4尸=(2,-3),DE=(-4,-1),

则AF-DE=2x(-4)+(-3)x(-1)=-5.

故选B.

A.若a//a,blip,allb则a///?B.若a_L/?,则a///7

C.若a_L〃，aLyfZ?Q/=«，则a_LaD.若a///?,alia,则a//£

【答案】C

【解析】A.若a//a,blip,a//。，则a//夕，不正确,可能相交;

B.若a_L〃，a_La,则。///?或au/7,因此不正确；

C.若a_L/?,a_Ly,/7p]/=a,则〃_La,正确：

证明：设二「|尸=匕，crQ/=c,取尸£a,过点尸分别作znU),〃_Lc,

贝,/.mLaynJLa,又〃2n"二尸，:.aLa.

D.若a///?,alia,则〃//〃或au〃.

8.在四面体PABC中，PA±PB,PA=PB=3,AC=2Ji,BC=底,则该四面体外接球的表面积

为

A.12几B.14万C.16万D.18万

【答案】D

【解析】由R4_LPB,PA=PB=3,可知A8=3夜.

因为AC=2>/5,BC=R,所以AB2=AC2+BC2,即AC_LBC.

设A3的中点为O,则。4=OB=OC=OP=逑，

2

即四面体的外接球半径为逆，外接球表面积为18万.

2

故选D.

二.多选题

9.已知向量2=(2,1),4=(-3,1),则

A.(a+b)//a

B.向量a在向量5上的投影向量为

2

c.I与(1-5)的夹角余弦值为乎

D.若；=(1,-半)，则

【答案】BCD

【解析】对于A,向量々=(2,1),6=(-3,1),所以1+方=(-1,2),且一1x1—2x2=—5x0,所以汗+5与1

不平行，A错误；

对于B>向量1在向量5上的投影向量为|&|cos。・二~=二二二■5=b=—b,所以3正确；

\b\|M2102

d

对于C,因为1-石=(5,0),所以cos<G,a-b>==_J2-=3ji,所以c正确；

\d\x\d-b|V5x55

对于C,因为e=(4，-乎)，所以H=2x冬4怜S所以互_|_^,选项。正确.

故选BCD.

3

10.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若QcosA=bcos8,且c=2,sinC=-,

5

则AABC的面积为

A.3B.-C.-D.6

33

【答案】AC

【解析】由acosA=bcosB,利用正弦定理可得sinAcosA=sin4cos4，

即sin2A=sin2B，

,：A,BG(0,7T),

-rr

..A=3或A+3=—,

2

3

又sinC=2,:.A=B,

5

a

当C为锐角时，•••sinC=2,

5

4

cosC=—，

5

,cVlo

••sin—=---,

210

cc

由s呜或幕,b=a=VlO，

.•.AA8C中43边上的高为3,

S=—x2x3=3；

2

当C为钝角时,

34,C3A/10

,/sinC=-»cosC=-sin-=----

55210

cc

1^sinf4=i：.b=aW

3

AABC中AB边上的高为1,

3

S=-x2x-=-

233

故选AC.

11.如图，在长方体ABC。-ABCR中，AA,=AB=4,BC=2,M,N分别为棱GR,cc,的中点,

则下列说法正确的是（）

A.A、M、N、3四点共面B.直线5N与所成角的为60。

C.BN〃平面ADMD.平面4W_L平面C£）£>C

【答案】

【解析】对于A，A、B、M在平面4BG。内，N在平面ABGA外，故A错误;

对于3，如图，取8中点E，连接应;，NE,可得BE//BM,NEBN为直线BN与B】M所成角,

由题意可得&处为边长为2a的等边三角形，则NEBN=60。，故5正确：

对于C,若BN//平面ADW，又BC//平面4DM，则平面BCC4〃平面4W,

而平面8CGBJ/平面AOQA，矛盾，故C错误；

对于。，在长方体A8CD-A4CQ中，4。_1平面。。.。|，ADu平面ADM，.•.平面4WL平面CORC「

故。正确.

故选：BD.

12.在棱长为2的正方体ABCO-A4CQi中，E,产分别为AB,AA的中点，则

A.BDLB.C

B.E尸//平面£>48

C.AG_L平面片QC

D.过直线所且与直线8A平行的平面截该正方体所得截面面积为72

【答案】BC

【解析】对于A,,.•4C//A。，是即与所成角（或所成角）的补角，

••・4。=80=48,..幺。8=60。，..瓦）与8c不垂直，故A错误；

对于3,取A。中点G,连接FG,EG,则EG//BD,FG//BB,,

•.EGQFG=G,8力0|8月=8,二平面EFG//平面。乌8,

•jEFu平面瓦G,；.EF//平面£）8出,故5正确；

对于C,A,C,18,0,,A4,JLg"，4Gp|AA,=A，

AG、AAtu平面AAG,

B、D\_L平面AC,u平面4AG,/.AC,LBtDt,

同理AG，4C,

旦口口^^=B[,B]0、B、Cu平面BRC)

.•・AGL平面与RC，故c正确；

对于D,取A4中点H,连接F"、EH,

则切//8Q,GF!IBB,,

■.■FH^\GF=F,用20|84=月，平面E”尸G//平面BBQ。，

BD、u平面BBRD,EFu平面EHFG，

：.过直线EF且与直线8。1平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG,

.GF=2,GE=-BD=-V4+4=J2,

22

过直线EF且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为5=20,故。错误.

故选BC.

三.填空题

13.已知i为虚数单位，若复数2=言今3€/?)为纯虚数，则a

【答案】一2

[解析]z_a_i_(a_/)(1+2z)_(a+2)+(2a—l)z

h1Z-l-2z-*(l-20(14-2f)~5-

因为z为纯虚数，所以a+2=0,得a=-2

故答案为：-2.

14.已知向量G=(2,-1),6=(-3,〃。，若G/历，则|万+2刈=.

【答案】2非

□□

【解析1Va//h,.-.2m-3=o,解得切=士，则X=(-3:)，

22

u+2.=(—4,2)f

|a+2^|=7M)2+22=26.

故答案为：2也.

15.已知单位向量1、5的夹角为120。，姐+5与24-5垂直，则％=

【答案】-

5

【解析】根据题意，单位向量1、5的夹角为120。，则无6=-1,

2

若fai+5与21-6垂直，则(%+6).(24-E)=2k-I+g-l=0,

解可得：k=-,

5

故答案为：—.

5

16.直三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1,=6,若球。的表面积为207,

则这个三棱柱的体积为一.

【答案】G

【解析】设A4BC和△A4G的外心分别为。1、02,连接002,

可得外接球的球心O为。Q的中点，连接。4、。8、OC、O|A、O,C，

AB1+AC2-BC-1

AABC中，cos4=

2ABAC~2

,/AG(0,4),/.A=—，

3

根据正弦定理，得AABC外接圆半径«A==1

2sinA

•.•球。的表面积为20万，4万川=20万，R=后,

川△OQA中，0、0=小0外一01瓜=2,可得GO?=200=4,

・・•直三棱柱ABC-A4G的底面积=-ABACsin—=—,

234

直三棱柱A8C-的体积为$43cX。。?=6•

17.已知复数z为纯虚数，且/为实数.

l+i

(1)求复数z；

(2)设帆eR,若复数(〃?+z)2在复平面内对应的点位于第四象限，求，”的取值范围.

【答案】(1)z=-2Z；(2)(2,”).

【解析】(1)设2=沅，〃w0,则2心=二1^=。-2+(2+颂

1+/1+z2

三为实数，.-.b=-2,即z=-27.

1+z

(2)(m+z)2=(m—2/)2=n?2—4-4/nz,

由题知机2—4>0且TmvO,

解得m>2.

二.m的取值范围是(2,+oo).

18.已知z=(M-8m+15)+(〃，-5帆+6)i,其中i是虚数单位，加为实数.

(1)当z为纯虚数时，求tn的值;

(2)当复数z“在复平面内对应的点位于第二象限时，求团的取值范围.

【答案】(1)tn=5；(2)(-00,2)kJ(5,-t-oo).

【解析】(1)・.・z为纯虚数,

38〃,+15=。，解得一=5；

m"-5m+6w0

(2),/=-(m2-5???+6)+(m2-Sm+15)z在复平面内对应的点位于第二象限，

•一6＜。，解得祖＜2或加＞5.

[w2-8/n+15＞0

，加的取值范围是(70,2)U(5,+00).

19.平面内给定两个向量d=(3,l),6=(-1,2)

(1)求|34+2b|；

(2)若3+防)//(2万-5),求实数★的值.

【答案】(1)7应；(2)k=-L

2

【解析】(1)由条件知：3商+2方=(7,7),

t^|3a+2^|=V72+72=772.

(2)a+kb=(3,1)+k(-i,2)=(3-k,l+2k),2a-b=(l,0).

v(a+kb)//(2a-b),

.•.(3—£l*0—7(l+2Z)=0,

解得A=—L

2

20.如图，在四边形ABC。中，AB=2,PD=DC=BC=l,ABI/DC,NBCD=90。,尸为钻上的点且

AF=~,若P3JL平面ABC£＞,£为PC的中点.

2

(1)求证：£r//平面必。；

(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.

【解析】（1）证明：取CZ）的中点为H，连结FH,

因为E为尸C的中点，所以EH//PD，

又因为PDu平面平面皿),所以EH//平面PAD,

乂因为C£>=1,AB//DC，AF=~,所以。"//A/7,DH=AF=L

22

所以四边形47忆>是平行四边形，所以F”//A£>,

又因为4)u平面皿>,用,平面皿),所以FH〃平面B4Z),

又£77「|尸”=”，EH,FHu平面EFH，所以平面R4£>//平面,

乂因为EFu平面耳H,所以所//平面修£>；

(2)解：因为N8CD=90。，所以CDJ-8C，

又因为PZ)_L平面458,所以叨_LBC,

又PDCCD=D,PD，C£>u平面PDC，所以BC_L平面PDC，

又PCu平面PDC,所以PC_L3C,

所以APDC,^PDA,APCB为直角三角形，

因为AB=2,DC=BC=l,ABUDC，NBCD=90°,

所以PC=垃,AD=&,PA=6,PB=y{i,

所以S^PBC=~^~、S旷酸=,S"AB=V2，

所以四棱锥Q-ABCD的侧面积为也+,+立+&=生旦里

2222

21.在AA8C中，内角A、B、C对应的边长分别为。、b、c,且满足一"。。‘，一』」

4cos4+5sinAsinBcosC

(1)求cosA；

(2)若a=3,求匕+c的最大值.

4.—

【答案】(1)cosA=一；(2)VW.

5

［解析］(1)因为一5"cos-c

4cosJ5+5sinAsinBcosC

所以由正弦定理，可得:sinAcos'二4sin8=^£

4cos8+5sinAsinBcosC

整理得5sinAcos(3+C)=4sin(3+C),

又A+3+C=;r,所以5sinAcos(九-A)=4sin(万-A),

即一5sinAcosA=4sinA,

因为0vAv4,sinA>0,

4

所以cosA=——.

5

4

(2)因为a=3,cosA=——

5

+「2—2h2+仁2—94

由余弦定理，得cosA=g+c_±,所以一之士°J=

2bc2bc5

2

整理可得(b+C)-