高考数学一轮复习专题训练：数列（含详细答案解析）

第7单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=12，S5=90，则等差数列{an}公差d=（）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【解析】∵a1=12，S5=90，∴，解得d=3，故选C．2．在正项等比数列中，已知，，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由题意，正项等比数列中，且，，可得，又因为，所以，则，故选D．3．在等差数列中，，则（）A．72 B．60 C．48 D．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知：，，故本题选B．4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（）A．里 B．里 C．里 D．里【答案】A【解析】设马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，，，故答案为A．5．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，又，所以，，且，所以，，所以满足的最大正整数的值为10．6．已知等差数列的公差不为零，为其前项和，，且，，构成等比数列，则（）A．15 B． C．30 D．25【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题意，解得．∴．故选D．7．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于（）A．66 B．132 C． D．【答案】D【解析】因为，是方程的两根，所以，又，所以，，故选D．8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（）A．110 B．114 C．124 D．125【答案】B【解析】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B．9．已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，，当且时，，则，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，本题正确选项C．10．已知数列满足，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当时，，排除A；当时，，B符合题意；当时，，排除C；当时，，排除D，故选B．11．已知数列：，那么数列前项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知：，，，本题正确选项B．12．已知数列满足递推关系：，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴，则．故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知等比数列满足，且，则_______．【答案】8【解析】∵，∴，则，∴，故答案为8．14．若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为，可设三数为，，，可得，求出，公比的值为1．15．在数列中，，猜想数列的通项公式为________．【答案】【解析】由，，可得，，，……，猜想数列的通项公式为，本题正确结果．16．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________．【答案】2【解析】正项等比数列满足，，整理得，又，解得，存在两项，使得，，整理得，，则的最小值为2，当且仅当取等号，但此时，．又，所以只有当，时，取得最小值是2．故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）成等比数列，，即，化简得，∵公差，，，，．（2）由（1）知，故是首项为4、公差为2的等差数列，所以．18．（12分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列的公差为()，由题意得，则，化简得，解得，所以．（2）证明：，所以．19．（12分）已知数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，当时，，两式相减可得，即，整理可得，，解得，所以数列为首项为，公比为的等比数列，．（2）由题意可得：，所以，两式相减可得，∴．20．（12分）已知数列满足，，．（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：．【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析．【解析】（1）由，得，即，且，数列是以为首项，为公比的等比数列，，数列的通项公式为．（2）由（1）得：，，，又，，，即．21．（12分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件，得，即，，所以{an}的通项公式是．（2）由（1）知，，（1）当（k=1，2，3，…）即n为奇数时，，，；（2）当（k=1，2，3，…）：即n为偶数时，，，，综上所述，．22．（12分）设正项数列的前n项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见证明，；（2）．【解析】（1）证明：∵，且，当时，，解得．当时，有，即，即．于是，即．∵，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．（2）由（1）可得，∴，，即对任意都成立，①当为偶数时，恒成立，令，，在上为增函数，；②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，，∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第7单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记为等差数列的前n项和．已知，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，解得，∴，故选A．2．已知等比数列中，，，则的值是（）A．16 B．14 C．6 D．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知，由，得，，本题正确选项D．3．等比数列中，，，则（）A．240 B．±240 C．480 D．±480【答案】C【解析】设等比数列中的公比为，由，，得，解得，．4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（）A．369 B．321 C．45 D．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于，根据等差数列的求和公式，，故选A．5．已知1，，，9四个实数成等差数列，1，，，，9五个数成等比数列，则（）A．8 B．-8 C．±8 D．【答案】A【解析】由1，，，9成等差数列，得公差，由1，，，，9成等比数列，得，∴，当时，1，，成等比数列，此时无解，所以，∴．故选A．6．已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且，，成等差数列，则（）A． B．6 C．7 D．9【答案】C【解析】数列是公比不为l的等比数列，满足，即，且，，成等差数列，得，即，解得，则．故选C．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，；n=2时，；…，由此我们可以推断：，∴．故选C．8．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．15【答案】B【解析】因为，故答案选B．9．已知数列{}的前n项和为，，（），则（）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【解析】由，得，又，∴，∴，即数列{1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，则．∴．故选B．10．数列满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】数列为等比数列，即，上式恒成立，可知，本题正确选项B．11．已知函数，若等比数列满足，则（）A．2019 B． C．2 D．【答案】A【解析】，，为等比数列，则，，即．12．已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，成等比数列得，又是公比不为1的等比数列，设公比为q，则，整理得，，数列的前项和，数列是单调递增数列，则当n=1时取到最小值为，可得，即的最大值为，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知是等差数列，，则_________．【答案】36【解析】是等差数列，，，得出，又由．14．在数列中，，则数列的通项________．【答案】【解析】当时，，，当，也适用，所以．15．设数列的前项和为，且．请写出一个满足条件的数列的通项公式________．【答案】（答案不唯一）【解析】，则数列是递增的，，即最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列的一个通项公式（答案不唯一）．16．已知函数，数列中，，则数列的前40项之和__________．【答案】【解析】函数且数列中，，可得；；；；；；…，可得数列为，，，，，，，，，，…，即有数列的前项之和：，本题正确结果．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且满足：，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设的公比为q，的公差为d，由题意，由已知，有，即，所以的通项公式为，的通项公式为．（2），分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到．18．（12分）己知数列的前n项和为且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前100项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，，两式相减得，当时，，满足，．（2）由（1）可知，所以数列的前100项和．19．（12分）已知数列满足：，．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以是首项为3，公差为3的等差数列，所以，所以．（2）由（1）可知：，所以由，①；②，①-②得．20．（12分）已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和及的最小值．【答案】（1）；（2），最小值．【解析】（1）当n=1时，，解得，当时，，解得．则，故是首项为，公比为2的等比数列，．（2），则，两式作差得，所以，令，有，对恒成立，则数列是递减数列，故为递增数列，则．21．（12分）已知正项数列的前项和为，且，，数列满足，且．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）当时，，即，，由，可得，即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，由两式相除，得，