第一章随机过程的基本概念

第一章随机过程的基本概念

自然界和现实生活中发生的现象一般分为两类现象，一类为确定性现象，另

一类为不确定性现象。

何谓确定性现象呢？如果我们向上抛一支粉笔，则该粉笔必然下落；水在

100C必然会开；同性相斥，异性相吸等等，这类现象称为确定性现象。大学一

二年级所学的微积学、代数、议程等主要是研究确定性现象。

对于确定性现象又可称为必然现象。必然现象的主要特点是条件和结果之间

存在着必然联系，即条件具备，某种结果必然发生，因此我们可由条件预测结果。

而另一类现象在自然界社会工程中也是经常出现，即不确定性现象，又可称

为随机现象，或偶然现象，其特点是条件和结果之间不存在的必然联系，无必然

的因果关系，因此不能用必然条件的方法来加以定量研究。如，在相同条件抛同

一枚硬币，其出现的结果可能有两种，正面或反面，但最终结果到底是正面还是

反面不能预先断言。又如商店每天的营业额，一天中不同时刻的气温等这些现象

都是不确定现象。由于不确定现象不存在因果关系，是不是它们就没有规律可研

究呢？

事实上，人们经过长期实践研究后发现，虽然随机现象就每一次试验结果来

说具有不确定性，但在相同条件下大量重复试验其结果就呈现出某种规律性，著

名的蒲丰试验表明在相同条件下大量重复抛一枚硬币出现正面的次数大致等于

出现反面的次数。

上述事实表明，随机现象从一次试验上看，似乎没有什么规律存在，但当它

们大量出现时，从总体上讲却呈现出一种总体规律性，这就是统计规律，这种统

计规律的存在，就是随机数学的研究基础。因此今后我们在随机数学中，一说“统

计规律”时大家就要想到大量重复的试验。

概率统计随机过程就是研究随机现象是否具有统计规律性的一门数学学科。

统计方法的基本思想是从一组样本分析、判断整个系统的状态，或判定某一

论断以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率,简言之就是''由

局部推测总体”，“由特殊来研究一般”，是归纳法的具体应力。为了研究随机现

象，下面我们首先需要给出如下几个定义解释：

随机试验：具有下述三个特点的试验称为随机试验。

①可以在相同的条件下重复进行。

②每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果。

③每次试验前不能确定哪个结果会出现。

随机事件：随机试验的所有可能出现的结果。

必然事件：随机试验中必然发生的事情。

注意必然事件和不可能事件不是随机事件，但为了今后讨论，我们把它作一

种特殊的随机事件。

样本空间：随机试验中所有可能出现的结果（事件样本），组成的集合叫做随

机试验的样本空间，记为S。

随机变量：设E是随机试验，它的样本空间S={e},如果对于每一个ewS,

都有一个实数X（e）与之对应，则X为定义在S上的随机变量。

有了随机变量我们就可以在一定的统计意义下，定量地用随机变量描述随机

现象的变化规律，从而达到认识世界和改造世界的目的。

再者，引入了随机变量，我们可以利用数学分析的方法更好地研究随机现象。

由此我们可以简单的说概率统计的研究对象就是研究随机世界（空间）中随

机变量的变化规律，为此我们自然需要考虑建立随机变量的“函数关系”，这个

“函数关系”在随机数学中我们一般用随机变量的分布函数、或者分布律及数字

特征等来描述。

§1.1随机过程的概念引入

我们知道，在自然界中的变化过程可以广义地分为两类。一类为确定性过程,

另一类为不确定性过程或随机过程。

何谓过程呢？通俗讲凡和时间有关的变化称为过程。

例如真空中的自巾落体运动，假定初速为零，则有

1,

X⑴=”t>0

这个函数关系确定了物体在任意时刻r>0离开初点的精确位置，存在必然确

定的因果关系，显然X与时间f有关，构成一个过程。这个过程我们把它称为确

定性过程。另一类过程是没有确定的变化形式，没有必然的变化规律，如商店每

天的营业额显然是一个不确定量即随机变量，进一步分析知该营业额"还

和时间f有关，即M。），由此M构成一个过程，这里称这个过程为随机过程；

又如传呼台传呼小组每天接到传呼的次数，X显然不能确定，即为随机变量,

进一步分析知这个X还和时间f有关，即XQ）,所以X⑺也构成一个过程，即随

机过程；类似地，气温、气压、商店每天的顾客流量等都构成一个随机过程。

下面我通过一个具体的过程实例来导出随机过程一般的数学定义。

设有一电子直流放大器

U（，）=oX3

图1.1

其中U⑺为输入信号，K为放大器，也表示对输入信号U⑺的放大倍数，X⑺

为放后的输出信号。

显然对于该放大器，当UQ)=O,

也就是没有输入信号时，XQ)应为零,

但是由于放大器内部元件以及外部

电磁波等各种干挠的影响，使得当

U⑺=0时，输出UQ)#0,由此造成

所谓的输出零点漂移。进一步分析发

现这个输出零点漂移在相同条件，比

如每天的某一时刻进行观测，如果我

们观测是了n天，就可得〃条输出零

电子直流放大器的零点飘移

点漂移曲线王(0,X2«…,xQ懈

图1.2电子直流放大器的零点漂移

些曲作出，如图1.2所示。可以发现

这些曲线形态不一样，即每条曲线各不相同，不能用统一的确定函数表示，但它

们都是时间/的函数即零点漂移构成一个随机过程记为X(f),也可以说这些曲线

的全体(时间函数的全体)集合就构成了一个零点漂移随机过程，即

X(f)={xi(t)…2⑺…},其中每一曲线即⑺又可称为随机过程的样本曲线函数(时

间函数)，i=l,2…,“…。显然，由图1.2所所示的在一次实验结果中，随机过程

必取一个样本函数，但究竟取哪•一个函数则在试验前不能确定，但是在大量的重

复实验中，可知道随机过程呈现出统计规律性。因此直观地讲，随机过程既是时

间，的函数，也是试验可能结果e的函数，记为XQ,e)。

进一步分析可以看出对于随机过程X(r)={x/①…}。

当我们取定u力时刻时有

X(G={x«)…当&)…}

由图1.2可以看出，%也),%&),…天6)取值各不相同，没有必然的规律。若

把修(介),…网(功看成是随机过程X(t)在时刻A的各种可能取值，很显然X(t,)是一

个随机变量。

又如：

在地震勘探工作中，我们通过检波器把混有随机干扰的随时间变动的地层结

构信号记录下来，如图1.3所示。

在。点放炮，在4点记录仪把接收到的混有干扰的地震信号波记录下来，

我们在相同条件下做了〃次记录，则可得"个彼此有差异的地震波形(曲线)。

如在时间加观察它们的信号波的值X(fo)是一个随机变量，也就是说，混有随机

干扰的地层结构信号波构成一个依赖于时间t的随机过程。

定义随机过程：设E是随机试

验，它的样本空间是5=卜｝,若对

于每一-个eeS，总有一个确定的时

间函数X(r,e)与之对应。这样对于

所有ees,就可能得到一族时间t

的函数，称为随机过程，族中的每

一个函数称为这个随机过程的样本

函数。

由定义可知，对于一个特定的

图1-3

试验结果4eS,总有一个确定时

间函数该函数是普通意义下确定的时间函数(样本函数)，又由定义知，

当取定"涧,X4,e)与e有关，由于是一个随机变量，如果让《变动，

i=1,2…,可得一族随机变量XX八),…,X©,e)。

因此从这个意义上讲随机过程X(t,e)又可看成是依赖于时间f的一族随机变

量。由此可给出下面另一种形式的随机过程定义。为简便起见，省略e,用X(f)

表示随机过程。

定义随机过程：

如是对于每一给定的f,eT,i=l,2…,X&)都是随机变量，则X⑺是一个随机

过程。或者说，随机过程是依赖于时间的一族随机变量。

随机过程的两种定义本质是一致的，一般在理论分析采用第二定义，在实际

应用中采用第一定义。

§1.2随机过程的分类

随机过程的分类方法很多，由此导致随机过程的类型也很多，下面介绍常用

的几种类型随机过程。

1.按随机变量和指标集类型分类

(1)连续型随机过程：对于随机过程XQ,e),如果随机变量X(e)是连续变化

的，feT也是连续变化的，则称X(/,e)为连续型随机过程。注意这里指标集为0

WtV+8,orT-{t,<x><t<+oo}o如正弦波随机过程X。)=asin3r+e)。

(2)离散型随机过程：对于随机过程X(f,e),如果X«,e)取值离散，而t

是连续，则称X(f,e)为离散型随机过程，如电报信号过程。也可简单地说时间连

续，状态离散。

(3)连续型随序列：对于随机过程x«,e),如果x(e)连续，而eeT是离散

变化，如T={…,-2匕0,-Z,0,k,2Z,…}或T={0/2k，…},则称X(t,e)为连续型随

机序列，也就是时间离散，状态连续。

(4)离散型随机序列：对于随机过程X(f,e),如果状态X(f,e)离散，时间

，也是离散，则称X(f,e)为离散型随机序列。注意，为了适应数字技术的需要，

对连续型随机过程进行量化、分层，就得离散随机序列。如伯努力试验、随机游

动等。

2.按随机过程功能分类

①平稳过程；②高斯过程；③马尔可夫过程；④二阶过程；⑤独立增量过程；

⑥维也纳过程；⑦白噪声过程等。其它过程还很多，如泊松过程、分枝过程、更

新过程、生灭过程等。

§1.3随机过程的描述

我们知道概率统计的研究对象是随机变量的变化规律，由此我们需要建立随

机变量的数学模型或称函数关系，这里函数关系在概率统计中就叫分布函数(或

称概率密度函数)。类似的，随机过程也是要研究XQ)的变化规律，进而建立随

机过程的数学模型或函数关系，下面我们来分析如何建立所谓随机过程的函数关

系0

对于一个随机过程X。)，严格地说我们不能在图上用一条曲线简单地表示一

个过程，因为按随机过程的定义，该随机过程可表为：

乂（，）=&（，）》2（5）,一、七,0）,--｝的集合，为了研究随机过程的变化规律，我们

暂且假定随机过程可以在图上用一条曲线来表示，如图1.4。

当然这条曲线不能作为具体的样本函数，而应把它看作全部可能样本函数的

集合。

XQ）

■

图1.4

现在我们动用记录器来记录X⑺的变化过程，由于记录器不可能连续地记下

过程，而只能记下过程X⑺在确定时刻乙占…/”下的状态。前面已讲过，在确定

的时刻，上，随机过程变成为通常的随机变量，于是记录器在灰…儿时刻，就

记录下相应的结果XQJ,…x”,）。显然，当记录器的速度相当快时;即时间间隔

加=4-%很小（或〃很大）时.，我们可用X（G，X«“）这〃个随机变量的变化来

描述随机过程的变化规律。这样，在一定的近似程度下，我们可以通过研究多维

随机变量的变化规律，即分布函数关系来代替研究随机过程的变化规律，由此进

而建立起近似随机过程的数学模型。简单地说要建立随机过程的函数关系，我们

可以用该过程的多维随机变量的联合分布函数来近似。为此我们需要给出随机过

程的多维分布函数定义。首先定义随机过程的一维、二维分布函数。

定义一维分布函数：对于随机过程X"），当取定々eT时，X（4）为随机变量,

该随机变量X9）的分布函数记为

则称4（XVI）为随机过程X⑺的一维分布函数。

同随机变量一样，若与（七；，1）对X1的偏导数存在，则有

.；f.)..

x；""=Px(x岗)

ox.

这里称Px（x,;t,）为随机过程的一维概率密度。

例1.1求随机过程X«）=xcos创的一维概率密度函数，式中。是常数，X

是一个服从标准正态分布的随机变量。

解对于任意取定时间AeT,X（G=xcos切是一个随机变量，由随机过程的

一维分布函数及一维概率密度函数定义知

Fx(X]；G)=P(XQ])W若)=P(xcotyf]Sx.)

又：x~N(0,l)/|J/(x)=

&(X]।)=中flcosw,ilf(x)dx

BYBY上“1

后exP

21cosa)t])

注意，Fx""）是x"的二元函数，%又可称为是：时刻的状态％=x（G。

结合概率统计知识，显然随机过程X⑺的一维分布函数、一维概率密度具有

普遍随机变量分布函数和概率密度函数的各种性质。惟一的差别是随机过程的一

维分布函数和一维密度都是时间，的函数，即是一个动态的分布函数和概率密度。

由上面的分布知随机过程的一维分布函数仅仅描述了随机过程X"）在=心）

时刻所对应的一个状态X（〃）的变化规律。显然此时由随机过程的一维分布函数

来近似描述X"）的变化规律，其数学模型误差太大。

为了比较全面地描述随机过程XQ）的变化规律，我们引入随机过程的二维分

布函数。

定义随机过程的二维分布函数：

对于随机过程X⑺在任意两个时刻/有X（G，X&）两个随机变量（两个状

态），我们把这两个随机变量的二维分布函数记为：

尸X（X"2；f"2）=P{X（f|）W^,X（f2）X,）

称Fx（X「X23小）为随机函数过程以方）的二维分布函数。

若Fx区,々达,巧）对国,的二阶偏异数存在，则有

所X（西,々，乙，弓）—P（YY-ffA

d^2-八"2'I，2）

称之为随机过程X⑺的二维概率密度。

随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随机过程变化规律更多的

信息，但它仍不能完整地反映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方法,

我们可以引入随机过程X⑺的〃维分布函数和〃维概率密度。

Fx（x],x2,-•,,xn',t},t2•­•,tn）

=p{x&）<笫高&）x2,-,x（tn）xn]

GF、.A；；',…r“）

=?即…,x,

dxtdx2…dxn

显然，当〃取得愈大，随机过程XQ）的〃维分布函数就愈能描述随机过程的

变化规律及其统计特性。

还需要指出，在实际工程中还会遇到需要同时研究两个或两上以上随机过程

的变化规律，如商店每天营业额M⑺和顾客流量。⑺相互间的关系及其变化规

律。类似地，我们可引入两个随机过程XQ）,丫⑺的联合分布函数与联合概率密

度函数定义。

Fx,y（*，…，％”；>1，…，',3）

=P{X&）W跖x„,y（o―…,Sym]

同理，

2d用八王,…，x“；.…，y“;…工）

5x{---dxn办।…②,“

仿概率统计也有性质：

性质1.1若x«）,y（t）,相互独立,则

PxY（X]y”;。……&）

=…怎;-F),耳(M……或)

这里我们要告诉大家在实际工程中，要想通过将〃取得很在来得到过程的我

维分布函数进而用多维分布函数作为X(f)的数学模型，理论上可行，但实际操作

很复杂。

习题一

1.若随机过程X")为XQ)=4,-oo<f<+oo,式中A为(0,1)上均匀分布

的随机变量，求X⑺的一维概率密度Px(x;f)o

2.设随机过程X(f)=Acos(w+6)"eR,其中振幅A及角频率0均为常数,

相位。是在［-肛方］上服从均匀分布的随机变量，求X(f)的…维分布。

第二章随机过程的数字特征

从上面的分析可知，对于一个随机过程XQ),要研究它的变化规律，常常需

要建立起它的“函数关系”，也就是建立随机过程的多维分布。因为随机过程X⑺

的多维分布可以比较全面地描述随机过程的整个变化规律的统计特性，但要建立

过程的分布函数一般比较复杂，使用也不便，甚至不可能。怎么办呢？事实上，

在许多实际应用中，当随机过程的“函数关系”不好确定时，我们往往可以退而

坟其次，像引入随机变量的数字特征一样，引入随机过程的数字特征。用这些数

字特征我们认为基本上能刻划随机过程变化的重要统计规律，而且用随机过程的

XQ)的数字特征，又便于运算和实际测量。

显然，对于随机变量X,它的的数字特征我们主要介绍了数学期望、方差、

相关函数来描述随机过程X。)的主要统计特性。

例2.1设随机变量X具有概率密度

f_fl+x，0

八力一、I,OWWI

求f(x),求(X)o

解：VE(x)=|xf(x)dx

J-00

D(X)=D(X2)-[£(X)]2

E(X)=Ix(l+x)Jx+fx(l-x)

J—1J0

E(X2)=J：x(l+x)dx+rx(l-x)dx=1

,,1

D(X)=E(X2)-[E(X)2]=-

6

注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。

而随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。

§2.1随机过程X⑺的数学期望

对于某个给定时刻t,随机过程成为一个随机变量，因此可按通常随机变量

的数学期望方法来定义随机过程的数学期望。

定义XQ)的数学期望。

r+8

xP

E[X(，)]=机x⑺=Jrx(x；t)dx

式中，心(卬)是x⑺的一维概率密度函数。E[XQ)]又可称为X⑺的均值,

这个均值函数理直力可以理解为

在某一给定时刻t随机过程的所

有样本函数的平均值。如图2.1

所示。显然由图2.1可看出，随机

过程X⑺就在£[%(/)]附近起伏变

化，图中细线表示样本函数，粗

线表示均值函数。

随机过程的数学期望，〃x(t)

如果我们计论的随机过程是

图2.1随机过程的数学期望，〃式。

接收机输出端的一条噪声电压，

这个E[XQ)]就是噪声电压在某一瞬时1的统计平均值(又称集平均值)。

§2.2随机过程的均匀方值与方差

对于某一固定的时一刻，随机过程X⑺就成为-个随机变量，由此可给出随机

过程均方值定义。定义随机过程X(f)的均方值：

22

=E[X(t)]=fxPx(x；t)dx

J—00

式中，为X(f)的一维概率密度函数。

定义随机过程的方差(又可称二阶中心矩)：

&⑺=D[X(r)]=E{[X(/)-Mx(f)『}

显然蟾⑴是关于，的函数，且为非负函数。

定义随机过程的标准离差：

/(5)=亚53"(少

注：随机过程的标准差是表示了随机过程在f时刻偏离均值E[E(r)]的程度

大小，如图2.2所示。

§2.3随机过程的自相关函数

随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个孤立时刻的重要数字特征

值，但它们不能反映随机过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机过程

x（。、y«）来说明。

图2.3具有相同数学期望和方关的两个不同随机过程

对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大致相同的数学期望和方差,

但两个过程的内部结构却有着非常明显的差别，其中X”）随机时间变化缓慢，这

个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较强的相关性，而过程丫⑺的变化要急

剧得多，其不同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研究和反映一个随

机过程在不同时刻的内在联系呢？为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来

描述随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。

定义随机过程的自相关函数：

Rx(%/2)=及＞(4*。2)]

p+oo

XXP(七,""2)dX]dx

J-cox2x2

这就是随机过程x(f)在两个不同时亥"通的状态x(G，x&)之间的混合原点

矩，自相关函数就反映了X(f)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在定义

式中取f=f1=f2，则有

Rx4由)=Rx(t"=E[Xt)X(t)]=E[X\t)]

此时自相关函数即为均方值。

式中，Px^,x2-,t.,t2)为过程X。)的二维概率密度函数。

例2.2求随机相位正弦波过程X(f)=acos(创+6)的均值、方差和自相关函

数，其中。的概率密度为

1/241<3<2TT

f⑹=<

0其它

解当取定fwT时,X(f)=acos(初+。)是一个随机变量，且该随机变量X")

显然是随机变量。的函数。由求随机变量函数的数学期望定理，

E(y)=£[g(X)]=「'g(x)/(x)dx

J-X

有E[X⑻=Mx(f)=J7/+J：

「2/r1

=J()acos(M+0)—d0=O

Rx&,，2)=E[x(G,X(f2)]

=E[acos(a)tx)+0]-acos(cot2+0)

2

=aE[cos(cyf]+6)cos(a)t2+0)]

o.2万1

=acos(69t+0)cos{cot+0)——dO

Jox22)

22

aa~z.

—cosCOT=—cosco(t2-%)

又•••cx(W2)=&(32)-MX(4)MX“2)

当令，I=，2=，，

cx{t,t)=E{[X(t)-Mx⑻2}=D[X(/)]

=Rx(t")-M：⑴=\

例2.3给定随机过程X«)=AcosG，+3sinG/,式中69是常数，A和8是

两个独立的正态随机变量，而且£(4)=石(3)=0,矶42)=矶52)=。2,试求XQ)

的均值和自相关函数。

解VX(t)=Acoscot+Bsincot,且A,B独立

/.E[AB[=E(A)・E(B)=0

当取定，时，X(r)为随机变量

/.E[X(/)]=E[Acoscot]+E[BsinG〃

=co(StE[A\+sin^yrE[B]-0

RX(W2)=E[X(GX«2)]

=E[(Acoscot{+BsincotA)+(Acoscot2+cos6?Z2)]

2

=E[Acosa)t}coscot2+ABcosa)t2]

2

+BAsincot}coscot2+Bsina)txsincot2

2

=cos①八coscot2E[A]+cosa)txsincot2E[AB]

+sina)tcoscotl2E[AB]

2

+sin@八sincot2E\B]

22

=crcos叫coscot2+asincotsincot2

2

=CTCOSCD(tx-t2)

有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻小殳间内在联系，我们还可以

用协方差函数中心化自相关函数来定义。

定义协方差函数：称

Q(W2)=E{[X(力2)-MX(G][X(G-MX«2)]

+00

Jx,-Mx(O][x2-Mx(f2)]

P(x,,xdxdx

nx2{2

为随机过程X⑺的协方差函数。

由定义可知,当取「y时

2

Cx(rp?2)=E{[X(o-Mx(o]}=Z)[x(r)]=(t)

...此时的协方差就是方差。

注意，实际上自相关函数仆由，，2)与Cx«"2)所描述的特性是几乎一致的。

性质2.1“需)〃,区)

证.CX(W2)=E{[X&)—MX(G】[X&)-MX«2)]}

=E[X(GX(f2)-X(GMx(f2)]

-肛(仍。2)+%用)孙心)

=E[X(GX«2)]-E[X(G]Mx(f2)

=Rx(tl,t2)-2Mx(t,)Mx(t2)+Mx(tl)Mx(t2)

=Rx(tl,t2)-Mx(tl)Mx(t2)

从上式分析可知，随机过程的协方差函数CxC%)与其自相关函数仆(小，2)

只差一个统计平均值，特别当随机过程的任意时刻数学期望E[X")]=O时，二

者完全相同。

§2.4两个随机过程之间的互相关函数

随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的内在联系，而要描述两个

过程在不同时亥"为之间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。

定义互相关函数：称

Rxy(t„t2)=E[X(tl)Y(t2)]

:+00,+00

=xyPXi,(x,y;t,,t2)dxdy

J-00J—00

为两个随机过程的互相关函数。

式中：

/^(》/汽也)为在：/2两个不同时刻随机变量*&)、丫&)的联合概率密度

函数。

同理也可给出与之相对应的互协方差函数。

定义互协方差函数：称

CXY(ti,t2)=E{[X(tl)-Mx(tl)][Y(t2)-MY(t2)]}

=rr[X-Mx(tt)][y-My(t2)]

J-00«r—oo

PXY(X,y,t1,t2)dxdy

为两个随机过程的互协方差函数。

性质2.2CXYQI,t1)=Rxy(tl,t1)-Mx(%)My(t2)

证略)o

在上式中，若对任意I"?都有

RxyQi/2)=°

则称XQ),丫⑺为正交过程，此时

Cxy(t„t2)=-Mx(tJ)Mr(t2)

在上式中，若Cx"f"2)=。，又称x«),丫⑺互不相关；此时

推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之，两个随机过程不相关，还

不能断言它们的相互独立。(除非是正态过程)。

注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数，而不再是一个过程。

习题二

1.若随机过程X⑺为X«)=Af-8<f<+8,式中A为(0,1)上均匀分布的

随机变量，求E[X(f)],Rxd)

2.给定一随机过程X⑺和常数«,试以X⑺的相关函数表示随机过程

丫⑺=XQ+a)—XQ)的自相关函数。

3.已知随机过程X(f)的均值Mx⑺和协方差函数Cx(%4)，。⑺是普通函数，

试求随机过程丫⑺=X⑺+9⑺是普通函数，试求随机过程Y(t)=X⑺+夕⑺的均

值和协方差函数。

4.设X(f)=Acosaf+5sinaf,其中A,B是相互独立且服从同一高斯(正

态)分布N(0Q2)的随机变量，。为常数，试求X⑺的值与相关函数。

第三章随机分析简介

§3.1随机过程的收敛性

随机过程的收敛性是研究随机分析的基础，由于随机过程的不确定性，其收

敛性的选择也是多种多样的，本节主要介绍均方收敛，这是因为均方收敛能简化

分析、比较实用。今后，本书分析和研究问题一般都使用均方收敛概念。

定义依均方收敛：考虑随机变量序列｛%,〃=0,1,2…｝,如果存在随机变量x

满足

limE｛|x„-x|2｝=0

则称随机变量序列/依均方收敛于随机变量X,并记为

limx=x

“T8n

或一"<s>xCm•s---是英文Mean一Square的缩写）

1.两个均方收敛性判据

里斯-菲希尔定理：对随机变量序列=0,1,2--）构造柯西序列％-九，

如果满足

lim，瑞-%『｝=0（3.1）

则必然存在一个随机变量X,使得

洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量序歹1」｛乙,〃=0,1,2,-一｝均方收敛于

x的充要条件是

limE[xnxtn\=c（c取常数）

2.均方收敛的性质

（1）如果随机变量序列五,“=0,1,2,…｝依均主收敛于随机变量x,则有

limE{x„}=E{limx„}=E{x}(3.2)

（2）均方收敛是唯一的。如果和x“一则必有x=y

(3)如果x“一,贝U有

lim=E[盯](3.3)

00

(4)如果马和立」,。和匕是任意常数，则有

lim(ax4-by)=ax+by(3.4)

”->8nn

研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有时我们也可以借助数学分

析的工具建立起随机过程的收敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对

随机过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于随机分析，这里我们

只作简介。当然在此基础上，我们还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建

立随机微分方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领域。

§3.2随机过程的连续性

定义：若随机过程X⑺满足limE[IXQ+&)-X(f)F]=0,则称随机过程XQ)

ATT8

于t时刻在均方意义下连续(简称机•S连续)。

另一方面，由定义知

E[|X(f+A)卜XQ)2]

=E[|xQ+&)XQ+△)-XQ+ZV)XQ)-X⑺XQ+加)-X(f)X⑺0

=£[XQ+Af)XQ+&)]_E[XQ+&)XQ)]_E[XQ)XQ+4)]_E[X(f)XQ)]}

=/?x(f+△，/+A/)_/?x(，+A/,t)_/?x(，,，+△，)—Rx(t,t)

.,.有|j"E[|X(r+Af)-X(f)「]

=lim[Rx(f+A/,t+A/)一RxQ+Af,f)—Rx(t,f+)—(f,t)]

对于右边极限式，自相关函数是64的函数。

欲使右边极限为零，则需&&j)中，6=»2=f，才能保证随机过程均方连续。

对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自相关函数，在4=»2=工上

也处处连续。

总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函数所在乙=，2=，上也处处

连续，反之也成立。

性质3.1若随机过程X(f)是〃?"连续的，则它的数学期望也必定连续，即：

lim£[XQ+ZV)]=E[XQ)](3.5)

ArTO

证设丫=*“+加)-乂心是一个随机变量

•*.E[Y]=E[Y2]-E2[Y]

£[y2]=D[r]+£2[r]^E2[y]

，E[Y2]^E2[Y]

：.E[IX(/+Ar)-X(f)I2]S2[X(r+Af)-X(r)]0

又X(t)均方连续

limEIIXQ+加)—XQ)2]=O

4To

由夹挤定理知

limE[IXQ+4)-X(f)]=0

A/TO

limE[IXQ+&)=limE[IXQ)]=E[X⑴]

A/->0A/-»0

，\imE[X(t+加)]=£[limXQ+△，)]=E[X")]

加一>0A/->0

这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是一个非常有用的结果，以

后经常可用到。

§3.3随机过程的微分及其数学期望与相关函数

1.随机过程的微分

我们知道一般函数导数定义是

ry(x+Ax)-y(x)d)

4ToAxdx

对于一个随机过程，在一定条件下，是不是也有类似的导数定义，即：

XQ+4)—XQ),,.dXt)

rlim--------------------v=A⑴=------

A—Ndt

我们说当随机过程的所有样本函数，即

limW△匕⑺，…,1面工3)7“⑺,…

AffO△tA/->0△t

的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在，然而在随机过程

X(f)={%⑺…x"(f)…}中可能有某些样本函数的极限不存在，但大部分都存在，

为此我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下(即平均意义下)的导数存

在定义。

定义均方可微：如果X⑺满足下式

lim[fN+&)-X(f)一*,⑺,=0

则称X(f)在七时刻具有均方导数X'(f)=",记为

dt

=X«)=limX«+Af)X(f)(3.5)

dt4ToN

一般函数存在导数的前提是函数必须连续，因此随机过程存在导数的前提也

需要随机过程必须连续。但是，对一个随机过程要求它们所有样本函数都连续很

困难，为此我们定义了所谓的均方连续，并给出随机过程的均方导数与它的相关

函数关系,即：

性质3.2如果自关函数/?、&2)在乙=£2时连续，且存在二阶偏导数

d-R

则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)

应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连续的，但随机过程的连续性

不能保证过程一定有导数。

2.随机过程的均方导数Xd)的数学期望

设y(x)=x«),由均方导数定义，有

X(f+Af)-X(/)

y«)=X«)=lim

4T0Ar

lim*"4匕X(。

E[Y(t)]=E[XXt)]=E

AT。Z

E[X(f+4)-X(f)]

=lim------------------------

加TOAr

=lim-----------------------------

A—OAz

limMS。)-肛⑺=d网)

ATArdt

dt

上式说明：随机过程X。）的导数X'（t）的数学期望等于它的数学期望的导数,

且上式的量都是普通非随机函数，因此这个导数具有一般意义。

3.随机过程的XQ）的导数X'（f）=y（f）的自相关函数

性质3.3如果x（t）的导数x\t）=y（o存在，则丫⑺的自相关函数可表示为:

dtxdt2

证

Hy（廿2）=以"4）丫口）］

limX（r,+Ar,）-X（r,）

=EY（t2）

Mf。M

EHmX储+。）丫））一XQJY&）

“I-0△八

由©X&+绝》«2）]—aXQJYG）]

|jmRxy（G+△[/）~~勺丫（4/2）

M—O△/]

（3.7）

HRXY（，”，2）

的

又：

RXY（ti,t2）=E[X（tl）Y（t2）]

=EX（GlimX优+颂AX）?）

绝以绝

„」X（GX&+AG）-X（GX&）-

-u1：rn匕

绝一。|_M

=limE[X（GX&+加2）]—E[X（GX«2）]

A12fo绝

_jjmRx（」/2+&I）-RX（，2,4）

42To△右

_dRxQikg

dt2

•••代々,」=".-

dt2

Raf\=2RXY（4%）_e—x（4）

y“2―dt,——嬴、―aZ一,

：.'Ik27（3.8）

dt{dt2

§3.4随机过程的积分

对于一个随机过程X（f）={X（中），…,X«,eJ…}={X］（）…,X.（f）,…},如果

它的每一个时间样本函数可积，在一般意义下可理解随机过程X"）可积，然而

在实际问题中要求所有的时间样本函数都可积很困难，于是我们给出在大多数样

本函数可积条件卜一的所谓随机过程均方可积定义。该定义类似高等数学函数可积

定义：简述为，/（X）在几们上可积，则有

hm£/©）Ax,=/=［于（x）dx

Ax->0Ja

/=1

=㈣囱4）菁-小0

仿此，类似可给出随机过程均方可积定义。

定义随机过程均方可积：当我们把积分区间［a,切分成n个小区间修并令

Ar-max细，当"->8或&0时，若

r„-12'

lim］［=0

"ILi=lJ

则称Y为随机过程在均方意义下的积分。可表示为：

丫=li吗£X（GM=『XQ）d（3.9）

注意，由随机过程x（f）均方可积定义可知其积分结果y应为一个随机变量。

由随机过程的均方可积定义，我们还可给出带有权函数的随机过程均方可积

定义，即

f»b

y(，)=IX(A)h(A,t)dA(3.10)

Ja

式中，〃(/M)是一个权函数，且该函数为普通函数，而积分结果是一个新的

随机过程。

在