高中数学 极限的四则运算素材 新人教版

分类讨论求极限

例已知数列｛%｝、物,｝都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q,

q

且p制,qxl,设c“=%+”,S”为数列仁,｝的前〃项和，求

"T8S„-1

（1997年全国高考试题，理科难度0.33）

S”二ai(q「)(pfl_1)+仿(0一］期“-1)、

S"-1%(4_1)(婷T)+b|(p-］)(q“T-1)

分两种情况讨论；

(1)当p>l时，；p>q>0,故0<且<1,

P

.s„

..rhm——

=+伉(“T)x0

-。)+4("i)xo

“E=P

(2)当p<l时，0<q<p<\,

lim—

n->oo°£n-\

Hm%(4-1)(〃“-］)+4(〃-［址一］)

EaG_l)(p"T_0+“/?_而1-1)

q(q-l)x(0-1)+4(p-l)x(0—1)

_ai（qT）4（pT）「］

说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和

求极限的方法.

自变量趋向无穷时函数的极限

例求下列极限:

%4—5%2+1

(1)lim

XT81一X2-2X4

x3

(2)lim

42x9-1

00

分析：第（1）题中，当X700时，分子、分母都趋于无穷大，属于“一”型，变形

00

的一般方法是分子、分母同除以X的最高次幕，再应用极限的运算法则.

r'X

第（2）题中，当X-8时，分式「一与-----都趋向于8,这种形式叫“8-8”

2X2-12X+1

型，变形的一般方法是先通分，变成“艺”型或“9”型，再求极限.

GO0

।51

一¥十不

行..x4—5x~4-11

解：⑴lim--------------7lim[x[x

—12―2/J____

X4X2

lim1-lim—+limi

XT8XT8X。X->8X1-nU十nU1

11rl-0-0-2-2

lim—T--lim丁-rlim32

X->00XX—>oc/A->OC

X3(2X+1)-X2(2X2-1)

(2)limlim--------------------------------

x->x2X2-12x+"…(2X2-1)(2X+1)

lim-------j-^―7-

一(2X2-1)(2X+1)

XX

眄1+f_1+01

Hm(2一)1而(2+1)一(2一°)(2+0)方

28X18X

说明：“吃”型的式子求极限类似于数列极限的求法.

无穷减无穷型极限求解

例求极限：

(1)lim(V1+x+x~—y/1—x+x~)

x—>-oo

(2)lim(J1+x+厂-Jl—x+厂)

X->+8

分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限.

解：(1)原式=lim/_'I---

…J1+X+尤2+V1-X+X2

lim-j=----------------

™V1+X+X2+V1-X+X2

-2

lim=-l.

XT-00!+■+

XX

2x

(2)原式=lim//

…J1+X+/+V1-X+X2

=lim.=----.—=1.

ini,ni,

、-亍+-+1+、-y--+l

VxxV%x

说明：当x<0时，因此

Ji+x+/+Ji+i/K+i+i+K-i+i

VxxVxx

利用运算法则求极限

例计算下列极限:

473〃—2)

(1)lim——+——+——+■■•+—：——

…双〃+1W+1n~+1n'+\)

11+…+(一］)”」?

(2)lim--1---

003927

(1992年全国高考试题，文科难度0.63)

；〃(3〃T)

解：(1)原式=lim

n->ocn2+1

说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、

减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则

的适用范围，下面的计算是错误的：

143/1-2

(1)原式=lim^——+lim———H—+lim-----

〃-8n+J"18n+]〃T8n+J

(2)原式

1

lim--lim-+lim'+・・•+lim(-])〃I—=———+-^―+•••+()=

3=1

〃T83”T89n—>0027”TOO3"39274

用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限

、.(用:

例设p£N,求lim-------，-------.

〃->8]

n

分析：把用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得.

211

解：vfl+-Y=l+C；+|l+C；+l(-)+-+C；：I(-)^

nJnnn

n

1Y+I

1+--1

n

n

或：逆用等比数列求和公式：

原式=liml+fl+-Lfl+->|+…++

〃-8(n)n)\n)

=!+1+---F]=p+1

P+1个

说明：要注意P是与“无关的正整数，(1+)J不是无限项，对某些分式求极限应先

对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是

分母、分子有理化或按二项式定理展开等等.

零乘无穷型转化为无穷除无穷型

例求lim(力+1-y/n)〃.

00

分析：当〃―8时，所求极限相当于0・8型，需要设法化为我们熟悉的一型.

00

解：lim(J〃+1-&)品

"->8

(yjn+l+1+4n)4n

=lim

〃T8(VH+T+VH)

，吧J"+l+〃

]_

2

说明：对于这种含有根号的0-8型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现.如

本题是通过分子有理化，从而化为即为方型，也可以将分子、分母同除以〃

J/2+1+&00

的最高次幕即正，完成极限的计算.

根据极限确定字母的范围

4"1

例已知lim--------=」-,求实数机的取值范围.

fo4"+2+(〃？+2)“16

分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决.

4"11

解：lim——z------------=lim-----------------=—

284"+-+(m+2)""T8(机+2Y16

于是空2＜1,即一4＜加+2＜4,-6＜加＜2.

4

说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim-----------------=」-可知I,f-+2>|的

…⑹［加+2)"16(4J

极限必为0,而q"f0的充要条件是同<1,于是解不等式“宁<1・

零比零型的极限

加|ru也+X—1

例求lim------------.

x

()HVI।_i

分析：这是一个V型的极限，显然当Xf0时.，直接从函数”r分子、分母中

0x

约去X有困难，但是标当x-0时也趋近于0,此时X化为(叫工尸-1,这就启

发我们通过换元来解决这一难题，即设》=标工，则》=>|°-1.

解：设^=必10，则》=f°一1,于是，当x->0时，y31.

原式=limnm-------------------=—

)T)Ty4-y+-・・+y+110

说明：本题采用的换元法是把xf0化为y-lf0,这是一种变量代换.灵活地运用

这种代换，可以解决一些9型的极限问题.

o

2-l

例如对于lim-x------,我们一般采用因式分解，然后约去x—l,德ijlim(x+l)=2.其

XT】X—1X->1

实也可以采用这种代换，即设f=x-l,则当Xf1时，ff0,这样就有

lim^—

=lim(r+2)=2.

slx-l/-»0t

组合与极限的综合题

Cn

例lim—^=()

H->00C〃+l\

Jn+2

1

A.0B.2C.-D.

24

分析：将组合项展开后化简再求极限.

Cn

解：limf-

-r"+i

(2〃)!Q+l)!・5+l)!

=lim

n—>oon\n\(2〃+2)!

hm5+0

〃T°°(2〃+1X2及+2)

..〃~+2〃+l1

=lim-z------------=—.

+6〃+24

故应选D.

说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念.

高考填空题

n

1.计算

28n+2

2

2.若数列｛g｝的通项公式是an=--—(neN*),则lim©+nan)

n[n+1)00

3.计算：lim("L+^3)”=

〃+1

n2

1.解析limlim1-

n—xcl〃+27»->ool〃+2

说明：利用数列极限公式lim1+—e,把原题的代数式稍加变形即可获解.本题

〃一>ocln

主要考查灵活运用数列极限公式的能力.

1

2.解析

〃(〃+1)2

•・JimL/，

"_>呻2〃(〃+l)

vZ11、3

…2"2

说明：本题的思考障碍点是如何求功?——只要懂得在通项公式中令〃=1,可立得％

的具体值，本题考查数列极限的基本知识.

3.解析

n+1

2n

2四n+l

=lim(1+——)2=e2

8n+J

说明：本题考查数列极限公式的应用.

根据已知极限和四则运算求其它极限

例若lim2mz〃=l,且lima〃存在，贝Ulim(l=

H—>00M—>00”—>8

A.0B.-C.--D.不存在

22

分析：根据题设知〃明和凡均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求

得结论.

解：•.♦口1112〃%=1,1加〃4“存在，

〃一>8

lim%i

——=lim—=0liman=0

lim2吟nfg2nnT8

n->oo

又lim2nait=l,limnan=—

〃T8A〃fOO”2

lim(l-n)an=lim(a〃-nan)=liman-limnan=0——=—

n—>oon—X»H—>oo/：—>oo22

即lim(l一〃)〃〃=.

〃T82

选C.

说明：lim可是关键，不能错误地认为lim〃“=0,lim(l-=0.

M—>00〃一»8ns

两个数列｛4｝、物，｝的极限存在是两个数列的和.差、积存在极限的充分条件.但,

b„

的极限不一定存在.

化简表达式再求数列的极限

例求下列极限

572714-1

(1)H—5---1—O---+•••+

…入〃+1〃~+1+1n2+1

(2)lim393"

1+卓+.••+】

242"

111

(3)limn\1

345

分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达

式，再进行极限的四则运算.

3+5+7+…+(2〃+1)

解：(1)原式=lim

n—>00+1

i+2

〃(〃+2)

hm-------=lim1

〃一>8"n->oo~~~r

14--2

几

3

24

(2)原式=lim—=—lVim

n—>oc3〃廿

21-

12

4〃-><»〃->认3)41-03

"liml—limpQ31-04

n—>ooM—>ool2J

34n+1=而2=2.

(3)原式=

“Tool345n+2"f8n+2

说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为

'35=0,…,lim丝4=0而得到(1)的结果是0.

lim=0,lim

/»->oc+1”->81n~+\“T8n+1

无穷比无穷和字母讨论的数列极限

例求下列极限:

2M+1-5-3,i+1I-a"

(1)lim(2)lim-5-^-(a>0)

〃一>83-2n+4-3rt

00

分析：第（1）题属“一”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幕的值最大的式子.第

00

（2）题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分

各种情形进行讨论.

22-53”

解:(1)原式=lim

3-2"+4-3"

21im|j-lim15

n—3JM—>oo2x0-1515

3x0+4一一I

3lim+lim4

3j«->oo

(2)当0<a<l时,lim—^-=lim—=0,

“T8]+a"“T8]+]

„fiT-ilimf—j-liml

Qjn—>oo0-1

当a>l时,

“Too(U1\n+1limf—+liml0+1

〃—>8(aj〃->8

说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为

limo,,=0.

H—>00

根据极限确定等比数列首项的取值范围

例已知等比数列｛为｝的首项为佝，公比为g,且有――“"]=!，求为的取

—1+qJ2

值范围.

分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知limq"存在，因此可得口的取值范围，

从而确定出外的取值范围.

解：由lim|—q〃得limq〃存在.

2/i->oo

1+q7

，同<1且q。0或q=1..

当同<1时，有，

111+q2

・・q=—1,

/.\la-1|<1解得0<%<1,

又q。0,因此qwg.

当4=1时，这时有lim(a-l)=',=3.

〃-42)2

综上可得：Ovavl,且劣。,或〃]=3.

112

说明：在解决与数列有关的问题时.，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出

发来考虑q的特点，容易将qWO这一条件忽视，从而导致错误.

求函数在某一点处的极限

例求下列极限:

3x+22x3)

(1)lim

x~+4+2,

5生吐35

(2)

“I%2+13x+40

..sin2x

(3)lim-------

1-cosx

1

(4)lim

13(X-3总

分析：第(1)题中，x=2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限;

(2)、(3)两个极限分子、分母都趋近于0,属“9”型，必须先对函数变形，然后施行四

0

则运算；(4)为“00-8”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算.

(3x4-22x3

解：(1)lim.+3

X+223

2[X+412X+4TX+2

lim(3x+2)lim

x->2XT2

04

lim(x2+4)lim(x3+2)

xf2x->2

31imx+lim221imx3

x-»2x->2.XT2

limx3+lim4limx3+lim2

Xf2Xf2x->2.rr2

3x2+22x22,813

22+423+255.

..2x~+17x+35(x+5)(2x+7)2x+72x(-5)+7

(2)hm--------l-i-m---------------=lim------

7x+13x+40Xf5(X+5)(X+8)XT5X+8(-5)+8

/、、sin2x1-cos2X1+cos

(3)hm------r—limlim,

101-COSXxf0(1-cosx)(l+cosx+cos2x)1+cosx+cosX

1+1_2

1+1+1-3

1