高中数学公式大全及公式定理

高中所有数学公式定理

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10内错角相等，两直线平行

11同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，内错角相等

14两直线平行，同旁内角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理(HL)有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一•条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即ab+b八2=c人2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a入2+bt=i2,那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)xi80°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理I两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4-组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(axb)-2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对

称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同•底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半1=(a+b)+2S=Lxh

83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:dwc”匀/牌？

84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(aib)/b=(c±d)/d

85(3)等比性质如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+…+i#0),那么

（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边

89平行于三角形的•边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比

例

90定理平行于三角形•边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有•组量相等那么它们

所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何•个外角都等于它的内对角

121①直线L和。O相交d<r

②直线L和。O相切d=r

③直线L和。O相离d>r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的

夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d<R-r(R>r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公*弦

137定理把圆分成n(n>3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理任何正多边形都有个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)xl800/n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnm/2p表示正n边形的周长

142正三角形面积43a/4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°,因此kx(n-2)180。/n=360。化

为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式:L=n兀R/180

145扇形面积公式：S扇形=n兀RA2/360=LR/2

146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

乘法与因式分解

aA2-bA2=(a+b)(a-b)

aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)

aA3-bA3=(a-b(aA2+ab+bA2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+<(bA2>4ac)/2a-b-Y(bA2-4ac)/2a

根与系数的关系Xl+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韦达定理

判别式

B24ac=0注：方程有两个相等的实根

bM1ac>0注：方程有两个不等的实根

bM4ac<0注：方程没有实根，有共辄复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B尸(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+l)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)A2]

cos2a=(cosa)A2-(sina)A2=2(cosa)A2-l=l-2(sina)A2

半角公式

sin(A/2)=d((1-cosA)/2)sin(A⑵=H((1-cosA)/2)

cos(A/2尸<((1+cosA)/2)cos(A/2)=-^((l+cosA)/2)

tan(A/2)=«(1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2尸H((1-cosA)/((l+cosA))

cot(A/2)=^((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/2

14-3+5+74-9+11+13+15+...+(2n-l)=n2-

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)5

1八2+2八2+3八2+4八2+5八2+6八2+7八2+8八2+...+nA2=n(n+l)(2n+l)/6

1A3+2八3+3A3+4人3+5八3+6八3+...n八3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+D=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理bA2=aA2+cA2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x・a)八2+(y・b)八2=、2注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x人2+y八2+Dx+Ey+F=0注：DA2+EA2-4F>0

抛物线标准方程yA2=2pxyA2=-2pxxA2=2pyxA2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=l/2c*h*正棱台侧面积S=l/2(c+c')h'

圆台侧面积S=l/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=l/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=l/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=SL注：其中S是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h

高中数学所有常用公式及结论

1元素与集合的关系:xeZoxeCb.A,xGCVA=xeZ.00A<^>A^0

2集合｛q,…的子集个数共有2"个；真子集有2〃-1个；非空子集有2"-1个；非空的真子集

有2"-2个.

3二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式/(X)=ax?+Zzx+H0);

(2)顶点式/(刈=。(工-。)2+解。70);(当已知抛物线的顶点坐标(九幻时，设为此式)

(3)零点式/(x)=a(x-x,)(x-0)；(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x„0),(x2,0)时，

设为此式)

2

(4)切线式：/(x)=a(x-x0)+(kx+d\(a0)»(当已知抛物线与直线y=Ax+4相切且切点的

横坐标为与时，设为此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常见结论的否定形式;

充要条件：(1)、p=q,则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

(2)、p=q,且q半>p,则P是q的充分不必要条件；

(3)、pW>p,且一gnp,则P是q的必要不充分条件；

4、p片>p,且qr>p,则P是q的既不充分又不必要条件。

7函数单调性：

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

(2)、数学符号表述是：设f(x)在x^D上有定义，若对任意的4/e0，且X</,都有

/(须)</(&)成立，则就叫fa)在x€D上是增函数。D则就是f(x)的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

(2)、数学符号表述是：设f(X)在X^D上有定义，若对任意的须户2€°，且内<82,都有

/(%)>/(》2)成立，则就叫f(X)在xGD上是减函数。D则就是f(x)的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数：(2)、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性:

单调性

内层函数1tt1

外层函数1tJt

复合函数tt11

等价关系：

(1)设冷》2€[。,可,司工82那么

a_)[/a)-小)]〉o=)区)—/⑷〉o=/(外在上是增函数;

区--/(%)]<0o,区)一/(&)<0o/(x)在除”上是减函数.

⑵设函数y=/(X)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(X)为增函数；如果/'(x)<0,贝u/(x)

为减函数.

8函数的奇偶性：(注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称)

奇函数：

定义：在前提条件下，若有/'(—x)=—/(x)或/'(—x)+/(x)=0,

则f(x)就是奇函数。

性质：(1)、奇函数的图象关于原点对称；

(2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

(3)、定义在R上的奇函数，有f(0)=0.

偶函数：

定义：在前提条件下，若有/(-x)=f(x),则f(x)就是偶函数。

性质：(1)、偶函数的图象关于y轴对称；

(2)、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数•偶函数=奇函数；(2)、奇函数•奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数•偶函数=偶函数；(4)、奇函数土奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的)

(5)、偶函数士偶函数=偶函数；(6)、奇函数土偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，

那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

9函数的周期性：

定义：对函数f(x),若存在TH0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周期函数，其中，T是f(x)

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

⑴、f(x+T)=-f(x),此时周期为2T；

(2)、f(x+m)=f(x+n),此时周期为2何—可；

⑶、=------,此时周期为2mo

/(x)

10常见函数的图像:

11对于函数歹=/(x)(xe/?)>f(x+a)=/3-幻恒成立，则函数/(x)的对称轴是x=誓；两个

函数卜=/(》+。)与'=f(b-x)的图象关于直线》=一对称.

12分数指数幕与根式的性质：

(1)Q〃=(Q>O,M,"EN*,且〃>1).

11

n

(2)a=——=t——(a>G,m,neN*,且〃>1).

an

(3)(折)〃=Q.

(4)当〃为奇数时，当〃为偶数时，V7=|a|=r,6Z-0^.

-a,a<0

13指数式与对数式的互化式：log“N=bu>ah=N(a>0,awl,N>0).

指数性质:

⑴1、；(2)、a°=l(awO)；⑶、a""'=("")"

rs+s

⑷、a-a=a'(a>0,r,SEQ)；(5)、a；=府;

指数函数:

(1)、_y="(“>l)在定义域内是单调递增函数;

(2)、丁="(0<“<1)在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点(0,1)

对数性质：

⑴、logflM+logflN=logfl(MZV)；(2)、logaM-logaN=logfl:

N

n

(3)、log"6"=加•log“b；(4)、logh"=—'logab；⑸、log“1=0

"m

⑹、logf=l；⑺、。嘀"=6

对数函数：

(1)、y=log“x(“>l)在定义域内是单调递增函数；

(2)、»=1。&工(0<。<1)在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点工必工

⑶、log"X〉0=4XW(0,1)或。,XG(1,+8)

(4)、logoX<0<=><7G(0,OWOx€(1,4-00)或67G(l,+OO)pllJxG(0,l)

loeN

14对数的换底公式：log“N=--—(。>0,且加〉0,且mwl,N〉0).

log—

对数恒等式：/°九'="(。>0,且owl,N>0).

n

推论log"b"=—log/(a>0,且ar1,N>0).

"m

15对数的四则运算法则:若a>0,aWLM>0,N>0,则

(1)logu(W)=logflM+logaN;(2)log“N=log0M-log„N;

N

(3)logM"=nlogM(neR);(4)logN"=—logN(n,mwR)。

uu"mH

16平均增长率的问题(负增长时p<0)：

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有、="(1+0)1

17等差数列：

通项公式：(1)。“=。1+(〃一1)4,其中q为首项，d为公差，n为项数，a“为末项。

(2)推广：an=ak+(n-k)d

(3)a,=S“-S,i(〃N2)(注：该公式对任意数列都适用)

前n项和：(1)S,,=〃(%广)；其中巧为首项，n为项数，%为末项。

、cn(n-X),

(2)Sn=na[H-------d

(3)Sn=Sn_^an(n>2)(注：该公式对任意数列都适用)

(4)5〃=6+/+~+可(注：该公式对任意数列都适用)

常用性质：(1)、若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq；

注：若金是。〃,4,的等差中项，则有2品=+4p=n、m、p成等差。

(2)、若｛q｝、也｝为等差数列，则｛4±，｝为等差数列。

(3)、｛%｝为等差数列，S“为其前n项和，则鼠,52,,-5„,53„,-52“,也成等差数列。

⑷、%=%%=0,则%=0；

/、〃(4+1)

(5)1+2+3+…+n=-------

2

等比数列:

通项公式：（1）a“=%q"T=X.q"5cN*）,其中q为首项，n为项数，q为公比。

q

nk

（2）推广:an=ak-q-

（3）a“=S“-S“T（〃》2）（注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）S“=S,i+a“（〃N2）（注：该公式对任意数列都适用）

(2)Sn=a]+a2+---+an（注：该公式对任意数列都适用）

na}(q=i)

⑶S“=<q(l-q")

(#i)

."q

常用性质：⑴、若m+n=p+q,则有am-an=ap-aq；

注：若a,“是。”,盘的等比中项，则有a,“2=%Pp=n、m、p成等比。

（2）、若｛%｝、也｝为等比数列，则｛/也｝为等比数列。

18分期付款(按揭贷款)：每次还款》=幽土”■元(贷款“元，〃次还清，每期利率为6).

(1+Z>)-1

19三角不等式：

冗

(1)若XE(0,5),则sinxcxvtanx.

(2)若x£(0,/),贝iJl<sinx+cosxW>/^.

(3)|sinx|+|cosx|>l.

qinf)

20同角三角函数的基本关系式：sin2^+cos2^=l,tan6=2^,

cos6

21正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

22和角与差角公式

sin(cr±1)=sinacos〃±cosasin0;cos(a±〃)=cosacos尸干sinasin/3;

/,tana±tan3

tan(a±。)=----------—.

1¥tanatan(3

asma^bcosa-\cr+b2sin(a+(p)

(辅助角。所在象限由点(a,b)的象限决定，tane=2).

a

23二倍角公式及降慕公式

.c.2tana

sin2a=smacosa=--------.

l+tan~a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a---幻\°.

1+tan'a

c2tanasin2a1-cos2a

tan2a=--------.tana=--------=---------

1-tan-a1+cos2asin2a

.1-cos2(7)1+cos2a

sin-2a=--------,cos-a=---------

22

24三角函数的周期公式

函数y=sin(0x+0),x£R及函数y=COS(GX+0),x£R(A,3,0为常数，且AWO)的周期

2TT77TT

T=——；函数v=tan(&x+e),xwA7+—,%eZ(A,3,9为常数，且AWO)的周期T=——.

\co\2\co\

三角函数的图像：

25正弦定理：-^—=-^—=-^=2R(R为A48C外接圆的半径).

sin/sin8sinC

=a=27?sinZ,b=2Rsin8,c=27?sinC=a:b:c=sin/:sinB:sinC

26余弦定理：

a2=b~+c2-2bccosA;b2=c2+a~-2cacosB;c2=a~+b2-2abcosC.

27面积定理：

(1)5=—ah=-bh=—ch(h>%、4分别表示a、b、c边上的高).

22h2c

(2)S=-oAsinC=—Z)csinA--easinB.

222

22

(3)S&0AB=^(\0A\-\0B\)-(O40B).

.2sAr_a+f辿\

~内切圆—g+6+c'餐角△内切圆一2/

28三角形内角和定理：/

在△ABC中，有4+8+。=乃=。=万一(Z+B)/

=^=]一^1^=2。=2万一2(4+8).

29实数与向量的积的运算律:设入、口为实数，那么：

(1)结合律：A,(pa)=(Xu)a;

(2)第一分配律：(入+口)a=Xa+ixa-,

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

301与B的数量积(或内积)：a•b=\a\\bIcos^o

31平面向量的坐标运算：

⑴设3=(%,必)，b=(x2,y2),贝U1+6=(须+x2,yt+必).

(2)设G=(XQJ,b=(x2,y2),贝ijG-3=(须-x2,乂一必).

(3)设A(X],乂)，Bg,%),则/8=08-0/=(々-》1，夕2-乂)・

(4)设方=(x,y),4e7?,则4G=(双,右).

(5)设石=(%必)，3=(々,%),则”b={x{x2+yxy2).

32两向量的夹角公式：

八a-bx.x+y.y(_<、1/、、

cos6=--------.——!=2^=~：2(a=(x”M),b=(心，必)).

团.叫府丁•尼瓦

33平面两点间的距离公生______

22

dAB=\AB|=^ABAB=7(x2-x,)+(y2-^,)(A&,乂)，B(马,必)).

34向量的平行与垂直：设)=(%,乂)，3=(&,为)，且往工。，贝U：

a\\boh=Xa=x一马,=。.(交叉相乘差为零)

a.Lb(5wO)=a•b=Q<=>x]x2y]y2=0.(对应相乘和为零)

35线段的定比分公式：设勺&,必)，鸟。2，/)，月(工，月是线段4£的分点，4是实数，且辟=几巫，

_玉+%

x------———..,■•

贝31+2o―=°"+'°巴

,1+Z

y-------

:1+2

————1

<z>OP=tOP+(i-t)OP(/=——).

121+4

三角形的重心坐标公式:

36△ABC三个顶点的坐标分别为A(X1，yj、B(X2,y2),C(X3,丫3),则aABC

的重心的坐标是G(X|+；+.，乂+,+%).

37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设。为A4BC所在平面上一点，角2,8,。所对边长分别为“,6,c,则

(1)。为A48C的外心oa2=砺？=无2.

(2)。为A48C的重心o方+砺+反=6.

(3)。为A48C的垂心o厉•砺=砺灰=双区.

(4)。为A48C的内心oaa+力砺+。历=6.

(5)。为A4BC的NN的旁心="5=6砺+c瓦.

38常用不等式：

(1)4/€H=4+〃22"(当且仅当2=1)时取"=”号).

(2)a,bGR*=>">J茄(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)(73+/?3+c3>3abc(a>0,Z)>0,c>0).

(4)\a\-\h\<\a+b\<\a\+|/?|.

(5).<4Zb<"<(当且仅当a=b时取“=”号)。

a+b2V2

39极值定理：已知x/都是正数，则有

(1)若积xy是定值P，则当x=y时和x+y有最小值24；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积中有最大值一

4

(3)已知q也%/£火+,若QX+勿=1则有

—+—=(ax+")(』+1)=Q+b+"+竺2o+b+2y[ab=(\[a+\fb)2。

xyxyxy

(4)已知若@+^=1则有

xy

x+y-(x+y)(@d)=a+b+—+—>a+b+2y[ab-{s[a+>[b)2

xyxy

40一元二次不等式双？+bx+c>0（或<0）（Qw（）,△=〃-4QC>0）,如果Q与ax?+bx+c同号，则

其解集在两根之外；如果。与办2+反+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

Xx<X<X2<=>（x-x1）（x-x2）<0（^<x2）;

X<X,,>x2<=>（X-Xj）（x-x2）>0（x）<x2）.

41含有绝对值的不等式：当a>0时，有

|x|<<7<=>X2<<72<=>-a<X<67.

\x\>aox2>a2ox>ax<-a.

42斜率公式：

左（ia,乂）、£（%,为））.

x2-X）

43直线的五种方程：

（1）点斜式y-yt=/c（x-x,）（直线/过点片（玉,乂），且斜率为左）.

（2）斜截式y=Ax+6（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式）_♦=A（必-8）（片（王,凹）、鸟（》2，歹2）（%。々，乂*»2））.

xx

y2-yt2-i

两点式的推广：（%2-%）（丁一乂）一（％-乂）（x—xJ=0（无任何限制条件！）

(4)截距式：+91(久b分别为直线的横、纵截距，”0、6/0)

(5)一般式4r+gy+C=0(其中A、B不同时为0).

直线4r+W+C=0的法向量：=方向向量：7=(B,-A)

44夹角公式：

k

2

(l)tana=|;-(l]:y=kxx+b[9l2:y=k2x+b2,kk7^-1)

1+K2K]

(2)tana=\1.([：4x+4〉+C；=0,/2:=0,44+B,B.w0)・

AXA24-B}B2

直线时，直线与，2的夹角是C.

2

454到右的角公式：

k-k.

2

(l)tana='.(/；:y=kxx+b},l2：y=k2x+b2,ktk2H—l)

LIFv^rCt

AB-AB

21

(2)tana=­L-~~算-.Axx+B]y+C]=0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+48,*0).

IT

直线4_L4时，直线到，2的角是

点到直线的距离：4=也仁生立g（点尸（%,九）,直线/：Nx+绘+C=0）.

46

yjA2+B2

47圆的四种方程:

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-bp=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-AFX)).

x=a+rcos0

(3)圆的参数方程<

y=h+rsin0

（4）圆的直径式方程（xf[Xx—电）+3-册口一必）=0（圆的直径的端点是心，珀、耳巧,必»

48点与圆的位置关系：点。（%,九）与圆。一。）2+3-6）2=/的位置关系有三种：

22

若目=yl（a-x0）+（b-y0）,则”>厂=点P在圆外；

d=r=点产在圆上;"<厂=点P在圆内.

49直线与圆的位置关系：直线4x+gy+C=0与圆（x-Q）2+（y-6）2=/的位置关系有三种

_\Aa^Bh^C\

/A2+BT,

d>ro相离=A<0;d=〃O相切<=>A=0;t/<尸=相交=△>（）.

50两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为01，02,半径分别为n,r2,\O{O2\=d9贝IJ：

d>/+「2o外离o4条公切线；

d=八+G=外切o3条公切线；

|r-r\<d<r+ro相交u>2条公切线;

（2]2内含半相交军相离

"=ho内切o1条公切线；e——e—4

0^—d—►r-r^—d—►h+r2^~d

0<d<h-引=内含=无公切线.2

椭圆=+口=1（。>6〉0）的参数方程是<x=ocos6占、生c

51.离心率e=一

aby=bsin0a

2I2

准线到中心的距离为幺，焦点到对应准线的距离（焦准距）P=—

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2

椭圆;+4=l（a>>0）焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

52

ab~

q2a?/FpF

c=11

|尸用=e(xd---)=a+ex9|P/s|=e(----x)=a-ex；SbF[PF、~\yp\^tan—----

53椭圆的的内外部：

（1）点尸（%,%）在椭圆「+《=1（。>6>0）的内部=耳+色<1.

abab~

（2）点Pg/o）在椭圆）+4=1（。>6>0）的外部+

54椭圆的切线方程：

22

⑴椭圆[+2=1（4>6>0）上一点处的切线方程是笔+臀=1.

a~oa"b

(2)过椭圆=1外一点P（Xo/o）所引两条切线的切点弦方程是写+理1.

ab

x2

(3)椭圆j+=1(q>6>0)与直线Ax+By+C=Q相切的条件是A2a2+B-b1=c2.

ab2

x2'b2a2

55双曲线一~一1（4〉0,6〉0）的离心率？=£1+冬，准线到中心的距离为幺，焦点到对应

ab2aa

%2/2

准线的距离（焦准距）〃=幺。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2—.

焦半径公式|产月|=|e(x+—)|=|«+ex|,\PF2\=\e(-—x)|=|。一ex|,

两焦半径与焦距构成三角形的面积=〃cot刍"。

a1’'20

56双曲线的方程与渐近线方程的关系：

2222

(1)若双曲线方程为三―4=1=>渐近线方程：=—4=0=y=±-x.

abab~a

(2)若渐近线方程为>=±±#=0=双曲线可设为三一《=九.

aabah

(3)若双曲线与=-4=1有公共渐近线，可设为=-二=九

ab'ab"

(X>0,焦点在x轴上，Z<0,焦点在y轴上).

(4)焦点到渐近线的距离总是6。

57双曲线的切线方程：

(1)双曲线;—E=l(a>°力>0)上一点P(x。，%)处的切线方程是竿—绊=1•

cTbab

22

⑵过双曲线三-A=1外一点p(x0/o)所引两条切线的切点弦方程是考-岑=1.

abao

y22

(3)双曲线※一v方=1与直线Ax^By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=c2.

58抛物线y?=2px的焦半径公式：

抛物线V=2px(