安徽省六安市霍邱县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

霍邱县2023-2024学年度第二学期期中考试八年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分）1.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的取值范围即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故选D．2.下列方程中属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断作答即可．【详解】解：A中，有2个未知数，不属于一元二次方程，故不符要求；B中，不是整式，不属于一元二次方程，故不符要求；C中，属于一元二次方程，故符要求；D中，当时，不属于一元二次方程，故不符要求；故选：C．3.下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.，2， C.4，5，6 D.8，15，19【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、∵，∴三边长为1，2，3，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，∴三边长为，2，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；C、∵，∴三边长为4，5，6，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵，∴三边长为8，15，19，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式加减法运算法则判断A，B，根据二次根式乘法运算法则判断C，根据二次根式的除法法则判断D．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；B、与不同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；C、原式，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法和乘法的运算法则是解题关键．5.用配方法解方程时，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】先移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．【详解】解：，，．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．6.在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（）A.1，0 B.1， C.1， D.无法确定【答案】B【解析】【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．【详解】解：当时，，当时，，所以方程的根分别为1或．故选：B．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程的根，理解定义，找出满足等式的未知数的值是解题的关键．7.某商品一月份售价100元，二月份涨价，三月份再次涨价后售价132元，下列所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用公式增长率），那么两次涨价后售价为，然后根据题意可得出方程．【详解】解：依题意得：两次涨价后售价为，．故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到两次增长后的价格的关系式是解决本题的关键．8.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25【答案】C【解析】【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．【详解】∵，∴．∵，∴．∴a，b是直角三角形的直角边，∵，是互质的奇数，∴A．，∴当，时，，，，∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B．，∴当，时，，，，∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C．，，∵，是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D．，∴当，时，，，，∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．9.如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．【详解】解：∵正方形的边长为2，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，故选：D．10.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根x0，则下列关于的值判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，即可得到结论．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，且，则．故选：B．【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）11.若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝____．【答案】1【解析】【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义解决此题．【详解】解：，若最简二次根式与二次根式能合并，则．．故答案为：1．【点睛】本题主要考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握最简二次根式、同类二次根式的定义是解决本题的关键．12.设、是方程的两个实数根，则______．【答案】2023【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可．【详解】解：∵、是方程的两个实数根，∴，∴，∴．故答案为：．13.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是__【答案】74【解析】【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可．【详解】解：设这个两位数十位数字为a，个数数字为b，由题意得，，整理得：，∴，即，解得或（舍去），∴，∴原来的两位数是74，故答案为：74．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．14.如图，在等腰直角中，，点和点将斜边三等分，且，（1）若点在边上移动，则的最小值等于______；（2）若点在的边上移动，则满足的点的个数是______．【答案】①.②.6【解析】【分析】本题考查最短路径，勾股定理，（1）作点F关于的对称点M，连接FM交BC于点N，连接交于点H，连接，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可（2）由（1）知在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为，分别判断出点P在上时，和点P在上时的取值范围，确定点的个数，同理得到在上点的个数，即可．【详解】解：（1）如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，则，点E，F将对角线三等分，且，点M与点F关于对称，，即∴的最小值等于；故答案为：；（2）由（1）知在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为在点H右侧，当点P与点C重合时，则点P在上时，，有一个点P使在点H左侧，当点P与点B重合时，，，点P在上时，有一个点P使，在线段上的左右两边各有一个点P使同理在线段、上也都存在两个点使即共有6个点P满足；故答案为：6．三、解答题（本大题共9小题，共计90分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．【详解】解：原式．16.解方程：．【答案】，【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：，，，或，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，按下列要求画三角形并计算求解．（1）在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为，，；（2）求边上的高．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了割补法求三角形面积，勾股定理：（1）利用勾股定理结合网格的特点作图即可；（2）利用割补法求出的面积，再利用三角形面积计算公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示，由勾股定理可得，，，则即为所求；【小问2详解】解：设边上的高为h，∴∴，∴，∴边上的高为．18.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．（1）当时，请直接写出的值；（2）当时，求的值．【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．【详解】解：（1）由题意可得：，，则或，解得或；（2）由题意得：，，，整理得：，∴，则或，解得或，或．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．19.已知关于的方程．（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值．【答案】（1）见解析（2）或【解析】【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，根据勾股定理列出方程并正确解出方程是解题的关键．（1）利用一元二次方程根的判别式、配方法证明即可；（2）根据根与系数的关系求出，再根据勾股定理列出方程，利用公式法解出方程，得到答案．【小问1详解】证明：，，，则，所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：设方程的两根为、，则，，则，由题意得：，整理得：，解得：，，答：的值为或．20.已知实数、、满足，求以、、值为边的三角形的面积．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理，非负数的性质，完全平方公式，由题可得，进而可得、、值，即可判断此三角形为直角三角形，进而即可求得三角形的面积，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析、、的值．【详解】解：，，又根据勾股定理逆定理，此三角形为直角三角形，即该三角形的面积．21.观察下列各式：①；②；③．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______．（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______．（3）利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律，本题属于基础题型．（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）由题意的规律即可用n表示该等式；（3）利用（2）中的结论即可求出答案．【小问1详解】∵①；②；③；…；∴．故答案为：；【小问2详解】由上述规律可得：．故答案为：；【小问3详解】．22.在霍邱万达附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆50元，销售价为每盆80元的某种盆栽平均每天可售出20盆．现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多售出4盆，设每盆降价元．（1）现在每天卖出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）；（2）求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利672元，同时又要使顾客得到较多的实惠；（3）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）（3）不可能每天盈利1000元，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列代数式：（1）根据题意列出对应的代数式即可；（2）根据利润单盆利润销售量列出方程求解即可；（3）假设能盈利1000元，根据利润单盆利润销售量列出方程，看方程是否有解即可得到结论．【小问1详解】解：由题意得，现在每天卖出盆，每盆盈利元，故答案为：；；【小问2详解】解：由题意得，整理得，解得或，又∵要使顾客得到较多的实惠，∴；【小问3详解】解：不可能每天盈利1000元，理由如下：假设能每天盈利1000元，则整理得，此时，则原方程无实数根，∴不可能每天盈利1000元．23.阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：（1）当时，式子的最小值为______（直接写出答案）；（2）如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米