高考高中数学总复习总结

高中数学总复习必考点总结

一、集合与常用逻辑用语

1.常考集合的交集运算，偶尔涉及并集、补集运算，掌握AC8=HxwA且xw

网*或xw阴£4=以以6^/且工任川(〃为全集)的含义.

2.VxeM,p(x)o九0wM.rp(xo).注意其中的“e”不变化.

二、函数

主要考杳函数性质的有关应用，先通过奇偶性、周期性转化,使函数值可

求，再结合单调性即可解函数不等式.

1.函数的单调性与奇偶性

(D中阴性：时定义域内一个区间/,任意X,,x,G/.x,<x2J(x)是增函数o

fkx\)</(孙)J(x)是减函数目(勺)>f(x2).

(易错】①单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式的形式；单调区

间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种单调区间有多个，中间不能用

“U”连接，而是用“，”或“和”连接.

②求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

(2)奇偶性:对定义域内任意*/(*)为偶函数=/(-x)=〃l.rl)；

/(x)为奇函数可(-%)=-/(*);若奇函数/(x)在”0处有定义,则/(0)=0.

【强调】偶函数困象关于y轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称；偶函数

在定义域关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性，奇函数在定义域关于

坐标原点对称的区间上具有相同的单调性.

2.函数的周期性与图象的对称性

(1)若函数满足/(%+")=/(》)，则的一个周期为7=l«l;

(2)若函数满足/(x+“)=-/(*)或/(x+")="卜"或/(#+a)=)

则/(4)的一个周期为T=2"l;

(3)函数、=/(x)满足f("+x)=/(。-*)(。>0),若/(乃为奇函数，则其周

期为7=4”,若/(工)为偶函数，则其周期为7=2。；

(4)若函数>=/(*)满足/(a+x)=/(a-戈)，或者是/(2a-*)=/(x),则

)'=/(x)关于直线x=a对称.

【强调】解决指数函数、对数函数问题时务必要对底数a分类讨论.注意指

数与对数运算的互化法则.

三、导数

1.几何意义

/'(%)为曲线>=/(%)在点(%,/(%))处的切线斜率，切线方程是y-

f(x0)=f'(x0)(x-x0).

2.求导公式与运算法则

(I)C=0(C为常数)；(x")，=nx"1(neQ')；(sinx)f=cosx,(cosx)'=

-sin*;(e*)*=e<,(a1)fsa^lna(a>0,B.a#l);(lnx)*=—,(log„x)*=

xxlna

(。>0,且。#1).

(2)[/(x)土g(#)]'=/'(*)±gf(x)；[Cf(x)]^Cf\x)；

Sr),g(x)]'=/'(X)g(X)+/(*)g'(x)；

[筋]，=3£先产J《wo).

3.函数的单调性及极值、最值

(1).单调性:设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(*)>0,那么/(4)

在此区间内为增函数;如果f'G)<0,那么人工)在此区间内为减函数.

(2)极值与最值:设y=/(z)在区间5.幻上可导，则函数极值与函数单调

性的关系可用下表说明:

Xa(a,c)CbXa(a,C)C(c.6)b

/((X)+0-广⑺-0+

单调单调单网单调

/(X)极大值/(X)极小值

递增递减递减递增

/(")4〃),/(C)中的最大值为函数y=/(X)在区间［明打上的最大值,

/(«)/(6)/(d'b的最小值为函数>=/(x)在区间［“,幻上的最小值.

【易错广可导函数在某点处的导数为零”是“函数在这一点处存在极值”的

必要而不充分条件.

四、三角函数

1.常用公式

同角三京港数Mn2a♦cos2a■1.迦9suma

蓦本关系式cma

疏等公式360±a,l80°±a,-a.90±a,270u土aJ奇变儡不变,符号冷象ST

和.差用公式倍用公式

1.,

正弦«in（as/9）=*inaco»a=­»inla

»in2a=2»inacima

Mncrr<>»01co*axin6

co»（a=，xm2a-con2a-»in2a=.i1-cos2a

余弦«ma=-----------,

<,<*aro»尸彳Mnaxin02nM'a-1=1-2*in2a

..2lunaiI+co*2a

正切-nla+m•黑•一岬々Un2a=.--------roaa=2

1alanfl1-Un*a

辅助fft公式:a・in0+6c<»8=>/a+//sin（。+3）.其中cos华=,：丁.

.6b

sin3=-二一,ten3=—.

yZTb7a

2.三角函数的图象及性质

y=winy»co»x尸Ian工

1VL

/Jk.节.

⑥¥

图象

4&XW

时称轴：在线*■ktt,k€

无对称轴：

内称硼:1*（级X=fcir+-y-.

财称性时称中心：(粤.0).

XGZ：时称中心:“n♦手.0).

对称中心：*F.0）/CZXeZ

/

周期性2v21rW

小调递增区间：J2kv-

外网递增区间：

单递增区网:

手2]A・Z：•

2kir-w.24ir].icZ：(*,-号4+子).

唯测性

,Air♦单调递谶区间：

通网递MX间：:2kit.2lcTt+wl,4eZnz

:■乂“+竽

.A-eZ

当K=2kir-•1EZ

'1x=2ATr+WJ6ZB.f,»

时.，取最小值-1：取最小值-I;

最值XMfL

冷=2hMeZ时.）取〜

当*=2kir♦-y-,kG7.

大值1

时..，取收大ffn

奇偶性奇函敷偶雨数奇南故

【易错】求>=，4&|(-3+夕)(3>0)的单调区间时.则凭要先将x的系微变为正

的,再设法来之

3.解三角形

(1)正弦定理与余弦定理

①正弦定理:七=\=、卸R为外接回半径).

znAsinHsinC

弦定理:a，=b2+J-2bctxn,1,b2-a1+c：-2arc<»B.J-a+b'C

3三角形面积:S=C-gwsinH=-1-Arinin4.

【易错】利用正弦定理解三角形时.若已知三角影的两边及其一边的对角解三角形

时，易忽视三角彩的解的个牝

(2)Y角形中常见的结论

0)4+M+C=ir.△*比*|M>/fc=xi>6««in4>wnftc=x,<*A<a»li.

3三角形内的诱也、式由n(A+B)=wnC；cos(A+B)=-<x»C；

tan(4+H)="laiiCjuin"g"=<x**y-；cxM=Hin

五、平面向量

1.平面向量相等、共线与垂直

一般表示坐标表示（向量坐标结合上下文理解）

相等长度相等旦方向相同（工|•力）=（工2，＞2）=。=*2,%=）1

共线o存在唯•实数人

共线（勺.第），（巧。2）共线0勺力-叼＞1=。

使得。=世

垂直aJ.b<=^a,b=0(阳，).(#2，力)垂阳七+Y\),2=0

2.有关运算

加法法则a+b的平行四边形法则.=角形法则a+b=(X]+x2,y(+y2)

法则a-b的三角形法则O-b=3f,力f)

减法

分解球二水-隔僦=（x、-xw，y,、-）*）

A•。（"0）的方向,入＞0时与0方向相同.

数乘概念Aa=(Ax.Ay)

A＜0时与a方向相反，1人al=1A1lai

概念a•b\a\1^1cos(a.A)a-b=x/2+y|>2

数量

主要lai=J?.lx|X2+力)21小

积a•a\a\2,\a・blwlalibi

性质&+>:•遍+仁

【强调】①若H.C三点共线且殖=A诂+〃无.则入+“=1.

②C是线段48中点的充要条件是说=｝（滔+笳）.

六、数列

1.等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质

(I)公式二%+(n-l)</=aw+(a-m)d(n,meN*);

S"=""芦，=叫+I)d=yn2+(%一卜,

(2)性质：；ani是等差数列，①若m+n=p+(i(m,n,p,qeN,)，则%+

«„=«(,+4；若2"=p+q(n,p,qeN')，则=ap+册.

②若项数为2n(JIeN"),贝I]%="(a.+a“.i),且Sg|-S*=nd,^-=乌-

(其中s命=nan,S儡=〃％+])；若项数为2〃-I(〃wN.),则%_]=(2n-1)an,

且SJJ-Sj,=4，蔡=/、(其中s*=iiaH,Sn=(n-1)a„).

2.等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质

叫,</=>,

a(l-q")a,-aq

｛1K

(2)性质：|a“｝是等比数列,①若m+n=〃+q(m,n,p,qwN,)，则an•

«.=aF•%;若2n=/>+g(n,p,geN'),则a：=%•a,.

②若项数为2“(nwN・)，则$=«.

③公比不为-I时,S"&-s1t51t-s2,，…构成等比数列.

【易错)①等比数列的前n项和公式涉及对公比g的分类讨论;②当公比为

-1时^“^^-工尸巾^^小…不一定构成等比数列。

七、不等式

1.一元二次不等式

一元二次不等式ax2++c>0(或<0)(a#0,A=b2-4w>0),如果"与

ax2+bx+c同号,则其解集在对应一元二次方程的两根之外；如果。与a?+

6x+c异号，则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外，异号两根之间.

2.基本不等式:若a>0,6>0,则y/abw"；"

(I)应用条件:一正、二定、三相等.

(2)具体应用：设都为正数，则有

①若*+y=s(和为定值)，则当•时，积町取得最大值:；

②若孙=/，(积为定值)，贝I］当x=y时，和x+)取得最小值而

3.线性规划

(I)线性规划求解步骤：第一步，囤出可行域;第二步，根据目标函数的几

何意义确定最优解;第三步，求出目标函数的最值.

【易错】①注意区域边界的虚实；②若是实际问题，注意对变量的限制(如

整数、非负等).

(2)目标函数常见形式及几何意义:①截距式：z=ax+与；②点到直线的距

离式:Z=Iax++CI=,/a'+M；③两点间的距离式:Z=

(x-a)2+(y-6)2;④两点连线的斜率式：z=亡吆.

x一a

八、立体几何

1.几何体表面积与体积公式

表面积体积

梭柱s伞=s»i+^«V=S-A

衣而积33sh

S钎S…S我V=-^-5•h

蝇即空间jy=o

几何体y*(s+7^+S)A

梭台se=§■+S]嵬+sF<

暴露在%=W+

砥S全=2++2irrAV-v^h

外的所废+S1h

mt5金=M2+irr/有面的V="1-irrA|srsS

圆台S金-v(ra+/+r7+N)面积之|/=/记/+〃+

和

球%=4TTK%=专而

【易错】常见几何体的体枳计算公式，粉别是校锥、球的体积公式容易忽视

公式中的系数，导致出借.

2.几何体及其外接球、内切球

（1）长方体的外接球直径等于它的体对角线长，正方体的内切球的宜径等

于它的校长.

（2）当四面体为正四面体时,设梭长为“.人令J.内

312

切球的半径r=你,外接球的半径R=综

3.线面位置关系的判定定理与性质定理

判定定理性质定理

线«C£a,ACa,fl.a//b=»a//aa//a,aCfi,aC\fi^b=9a//b

平

面线线平行n线面平行线面平行n线线平行

行

aCp,bC^,anb=P-\“

关面a//a,b//arfi/°a//p.yda=a,yr\p-b=^a//b

系而面而平行=线线平行

线而平行n而而平行

mCa,nCa.mOn=/']:H

建卜"la

垂alm,alnJ

直线线施宜n线面垂H线面垂在n线线平行

关

面aA.fl,aC\p-/,aCa,all=^a邛

系/«L/J/Uana“

面线而垂直=面面垂直面而垂直n线而垂直

【易错】线面平行的证明问题中，往往忽视“。《明。〃6.比。”三个条件中

的某一个.

4.空间角

定义（求解思路）范圉

过空间点作两条升面目线的平行立线（也可以平移两条异

异而直线

面H线中的一条）,H线所成的锐角（或在角）为计ifi"［线所（。母

所成的角0

成的角

过斜线上斜足外点向平面引垂线,得到斜线的附影,斜线与射

线面角e［。创

影所成的锐角（或直角.0。角）为线面角

以交线上的♦点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于校的射

二面角0[O.n]

线,这两个射线构成的角

【易错】（D异面览线所成角利用“平移法”求解时,要注意平移后所得的锐

角（或近角）为所求角.

②求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时.对特殊的角，可

以采用特殊的方法来求解.

九、解析几何

1.直线的M率与方《（

（I）斜卒：当倾斜用为<»（<*»*生）时.斜率k=luna=（x,>**,）.K中

点Ci.y,）.《x,.y,）在1*1线k-

{2）火线方程_______________________________________________________________________

点初式r-y»■*<»-«o><到率为“)(V»轴1«W^fclH.y-JU*A

作*.，轴1*即分例为e.6时.

:工•~一*i■*工•”••>，》.“世

网点式>1-y»*3-«，

1：的网点(*,♦，,).<*,.，,>

4'♦♦C-0(4,♦n1««O)."1O1时斜

一曲式率*=-j.圾数师为-g

（3）两条门线的？行与垂门

①平行：»不瑜介的网条在线4和4的的率邢存〃.时.，，〃，：0*,=幺：当

不丽合的两条“戕/,和/,的斜卒邮不々住时.它们都可i轴乖（*1.11/.〃/,.

②币相：当两条代统人种/,的斜率都存在n不为。时/x/,<=>4.•a=

-I：'吁两条H戏/,4中的一条斜中不存住.另条斜率为。时/±6.

《4》电禽公式

3Pl（*,,yt>下式小.y,）网点之间的小曲tr,Psi-y（*,-x,y-y,）*.

②点/*<”。*。>到在线itAx♦">*C-O的即离d-!啊士膂：包.

­/A1+ft5

③f（线小4*+",+G=0列«娱/,：Ar+丛+G=O的距阀d=

IC,-C,I

"+/

【基铝】CD4阳点X大.叶怅以求五规的方“廿.量注意到”令不存在的

情况；

②JL线.妁我把可M.可食.也可为O.

2.IM的方程

（I）林布为八'：回心、*标（“/，）.半择，.〃界（*-“>'♦（>-/"〉・〉：

一般//程：X’♦y1+〃*+Ev+A'=0（JC,I,If1+*^-4A->0）.

<2>「1""网」，川。阴”"，,......................................................

相交和5相府

直线”畋法AWWI-Tf-HIM/ffttfllXA*

与00儿阿法ti<rd=，d>r

代«法jfrfmummtn/fWfll/i-«(•»ZfWfflXW

m与1»

几何法“1-r,l<«/<r,4r,d«r(»rj或《/aI，,-r,IdAr,♦r,i<</<lr,-r,1

上表中.北线'”阳的位置关裁中为酬心判”线的岬，阀：IMI，IMI的位W关

系中.〃为两阀的删心跖.

3.悌回

▼曲内与四个定点.£.尸，的知内之和等于备.数2“（大于1H小1=2C的点

3

的轨迹叫做倘阀.（//=<?-e.a>h）

子♦方=,<«>6>O)

标“方Mi%♦-TT=1(“>4»>0)

y

Bj

二^^人,丁吊,

BBM<±

H、

疮网1«1<o.lylC6lyl1*1w6

4(-a.O).^,(a.O).<4,(0.-«).4(O.a),

m点I

«,(O.-*).HjtO.fr)-fi.O).Btib.O)

对廊1方Mtx»O,y»0

对鞫:中心(0.0)

・心・e<r<i)

双号葛内勺两个定点巴.人的踞腐之力的绝时值等『常■数加（小尸1居&1=2e）

的点的轨迹叫做双肺上必（必-<,-«2）

方理,^y--Jy-■I(a>0.6>O)(a>O.b>O)

/

£

国都K

mis««-a!>H*A«i.yeRy<-aj&>»«.»CK

对称性关于»Hl.»M及原点对你关于3知.、*1及冷点对称

J«点，,(-«,O),4a(«.0>4,(0.-“».42(O.«)

网心率«■上*<*>1)

渐近歧,一十

【号调】以双出线，-£=1（。>0.4>0》为例.①及启列渐近蛾妁播篇近几

②Mdb及方口为，-，-I—而过我方模：*一，»0<=>r"+-^-xt

渐过段方和为>==0=»双3我方4s可3更为三"-方"=A（人~O）；

«.西珑与：；-£-=1有公真渐选戏.方枇可设为:;-=A.*A>O.*4

XK.*.Ax4*上；芾4vO.JH也烹&,抬上.

5.抛输俄

Y'lftl内列个定点尸和条定打线”建点广不在定“线，上）嗣;附相等的

点的轨迹是她物线.（ML点到*纹的或，腐等尸〃.〃><）.仙参®O

标也尸=2〃*<夕>0:*?=2py*,»-2py

方和(P>0><P>0>(P>O)

3

51

图影三I~

1-----A

蛇国»»O.rcRB«0.»cR»>0.«eR,wO."uR

对称制•Wl•Wl'Ml7M

焦点代专。）«-专。）个田“（oT）

■•专T

方程…专

（强调】加、.优饮：纣于购物”.相=2/«（p>O）.过焦点的斯之报物效.于4（x,.

场点.则IA"I=*（♦*,,。=需-《“为4.同所在・战妁X料商》.

Xi7a--/・*,—■攵.

十、计数原理

1.排列组合

(I)排列:从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，按照一定的次序排成一

列,叫做从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的一个排列,所有不同排列的个

数,叫做从n个不同元索中取出m(mWn)个元索的排列数,用符号A：袤示.

排列数公式：A7=n(n-I)(n-2)•••(n-m+I)=7-W'.(n,meN,,

(n-m)!

mW”)，规定0!=I.

(2)组合：从n个不同元素中，任意取出m(mWn)个元素并成一组叫做从

n个不同元素中取出m(mW“)个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n

个不同元素中取出m(mWn)个元索的组合数,用符号丧示.

组合数公式:C；=-3.二,C：=^,C：=C：-,C7.,=C：

二,D+

C：-'(m.neN"，且mW").

(3)解决排列组合问题的常用策略

①特殊元索(或位置)优先安排的方法：首先考虑问题中的特殊元索或

位置，然后排列H他一般元素或位置.

②捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看成•个整体参

与其他元素排列.同时注意捆绑元索的内部排列.

③插空法:不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，

再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

④“含”或”不含”某此元素:“含”，则先将这些元素取出，再由其他元素补

足;“不含二则先将这些元素剔除，再从其余元素中选择.

⑤“至少”“至多”含有几个元素：要注意题目中“至少”“至多”等关键词的

含义，漏防重复和漏解.用出接法和间接法都可求解，通常用出接法分类复杂

时,考虑逆向思维，用间接法处理.

2.二项式定理

(«+6)"=C>"6"+C：a-%+•••+C：a…6'+…+C：a°6"(C：叫做二项式

系数).

通项公式=C：a”'y(其中0WrWn,reN,neN・).

【强调】①在二项展开式中与首末两项“等距寓”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大：当n是偶数时，中间项是第彳-+1

项，它的二项式系数C?最大；当"是奇数时，中间项为两项，即第妥项和第

等+1项，它们的二项式系数(2竽=最大.

③二项式系数和C+C+C：+…+C：+…+C：=2".

(易错】对二项式展开式要区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔

细.项的系数与a,b有关，可正可负；二项式系数只与n有关，恒为正.计算二项式

系数和与各项系数和的思路，如(I+2x)"=《(2工)°+C：(2x)+C：(2X)2+…+

C：(2*)",二项式系数分别为C,C：,…,C：,计算二项式系数和，令2x=l；各项系

数分别为《2°.C：2',C：2)…,C：2”，计算各项系数和，令*=1.

十一、概率与统计

1.互斥事件与对立事件的概率

(】)事件上8互斥.则。(4U5)=&4)+P(8)._

(2)小件A与它的对立M件.4的概率满足。储)*P(4)=1.

2.古典慨型与几何概型

(I)古典概取的使用条件:试验结果的在限性和所有结果的等可能性.

古典微型的概率汁算公式

从包含的基本鼻件数

。(

4)一总的肱本事件个数.

(2)几何慨他的特点：试验中所仃可能出现的结果(基本岁件)有无限多

个.每个基本事件出现的可能性相等.

几何魁型的概率计算公式

构成奈件A的区域长度(面枳或体积)

{1~试验的全部结果所构成的区城长度(面积或体枳).

3.离散型随机变■的分布列与期望、方差

(I)条件概率。事件的独立性

①条件限率：在那件4发生的条件下.那件8发生的微率,巴"")=

笔萼JUI有如F性质QWP(*/I)WI;5.C互斥.P(BUC\A)+

r\J\)

P(C\A).

②步件的独立性：小件4与事件8满足尸(4C"=。/)尸(8),事件A与

骅件8相互独立.

(2)分布列

高散型随机变收的所市取值及取僮的概率列成的我格

X*1*2

PPlPlP“

胸散型随机变城的分布列的两个性质gN0(i=l2….。)；0+…+p.=1.

(3)期柒与方差

公式:£(6)=*必+”1+•••+”..

0«)=(航-£«))'•小+(的-£需)产・乃+…>

性质:£(*+分)=“£(£)+6；。(喈=/。(9.

若f.则£(《)=np,"(f)=叩(I-p).

若f服从几何分布.且=A)=«*.p)=(1-p)…p,则£")二［"•

。<0=宁

(4)特殊分布

超几何P(X=A)wQ.l,2.….m.JC中tn=minXI,n.flnW、，

c、

分布

”WV.n.W.，、wN，

l

二项分布P(A=*)=(：y(l-p)"(*=0J.2.-.fl).X-fl(n.p)

gx)=7」「钾图象称为lE态梯度曲线,随机变址'满足

/2wor

正态分布

”(“<XW"=J：MX)Jt.则徐V的分布为正套分布.记为X-N3.

.正态带度曲线的特点:曲线关于在战、=从对称

4.统计

U)随机抽样、样本估计总体

①荷雌随机抽样：从总体中逐个抽取且不放mi抽取样本